2021-2022学年山东省淄博市沂源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省淄博市沂源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 二次根式中的不能取下列哪个数？(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组二次根式中，不可以合并的是(    )

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

4. 如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 把根号外的因式移入根号内得(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 线段的长为，点是线段的黄金分割点，则线段的长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列说法正确的是(    )

A. 相似多边形都是位似多边形
B. 有一个角是的两个等腰三角形一定相似
C. 两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似
D. 所有的菱形都相似

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

11. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子图中的所有点，线同一平面内，图中相似而不全等的三角形有几对(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在边长为的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点若，则这个菱形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

13. ，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长是______．
14. 已知等式成立，化简的结果为______．
15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则 ______ ．
16. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过点、作于点，于点，若，，则的长为______ ．

17. 如图，正方形中．点，分别在，上，是等边三角形、连接交于点过点作于点，若，则等于______．

三、计算题（本大题共2小题，共16分）

18. 解方程：．
19. 已知，，求的值．

四、解答题（本大题共5小题，共54分）

20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根、．
    求实数的取值范围；
    若方程的两实数根、满足，求的值．
21. 如图，中，，分别是，的中点，，过点作，交的延长线于点．
    求证：四边形是菱形．
    若，，求菱形的面积．

22. 年月日---月日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通大类，共大项、多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，年第一季度的利润为万元，第三季度的利润为万元．
    求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；
    若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业年的年利润总和能否突破亿元？
23. 如图，在中，，点在边上移动点不与点，重合，满足，且点、分别在边、上．
    求证：∽；
    当点移动到的中点时，求证：平分．

24. 如图，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当时，求证：；
    如图，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当锐角时，中的结论是否依然成立？若成立请说明理由；若不成立，请说明与的数量关系，并说明理由；
    如图，在中，，，点为边中点．点是边上一个动点，由点出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且点的运动时间为秒，当为等腰三角形时，请直接求出的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
所以，上列数，，，中，不能取，
故选：．
根据二次根式进行计算即可判断．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
本题考查同类二次根式以及最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：由于，，所以，与是同类二次根式，可以合并，因此选项A不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，因此选项B符合题意；
C.与是同类二次根式，可以合并，因此选项C不符合题意；
D.与是同类二次根式，可以合并，因此选项D不符合题意；
故选：．
将各个选项中的二次根式进行化简，再判断是否为同类二次根式即可．
本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，理解同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次根式进行化简是正确解答的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式


，
故选：．
根据二次根式的乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件及二次根式的乘除，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于，含分母的分母不为．
根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
【解答】
解：成立，
，即，
原式．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以整数的最小值为．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根判别式的意义得到且，然后求出的范围后确定最小整数值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，，
，
或，
故选：．
根据黄金分割点的定义，知可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．
本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、相似多边形对应点连线不一定交于一点，不一定都是位似多边形，本选项说法错误；
B、有一个角是的两个等腰三角形一定相似，本选项说法正确；
C、两边对应成比例，必须是夹角对应相等的两个三角形一定相似，本选项说法错误；
D、所有的菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，本选项说法错误；
故选：．
根据位似图形的概念、相似多边形的判定定理判断即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形和相似多边形的判定，掌握位似图形的概念、相似多边形的判定定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：图中相似而不全等的三角形有：∽，∽，∽．
和都是等腰直角三角形，
，
；
和中，是公共角，
∽；
同理，可得∽．
∽．
故选：．
根据相似不包括全等三角形的判定可以得出结论．
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图，
四边形为菱形，
，，，，，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
菱形的面积．
故选：．
连接交于，如图，根据菱形的性质得到，，，，，再利用得到，证明得到，则，所以，接着利用勾股定理计算出，从而得到，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积、是两条对角线的长度．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，是成比例线段，
：：，
，，，
：：，
解得．
故答案为：．
根据线段成比例，可以列出方程：：，代入数值求解即可．
本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：等式成立，
，
解得：，


．
故答案为：．
直接利用二次根式的除法运算法则得出的取值范围，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出的取值范围是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得：

解得或，
当时，与都不是最简二次根式，
不合题意，舍去．
因此．
由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么它们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于的方程，进而可求出的值．
本题虽然不难求出的值，但是要注意题中给出的根式都是最简根式，因此可根据这个条件舍去不合题意的解．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故答案为．
只要证明≌得，，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用等角的余角相等证明角相等，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，．
等边三角形，
，．
．
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
垂直平分，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
通过条件可以得出≌，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，得到，根据相似三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题的关键是运用勾股定理的性质．
 

18.【答案】解：原方程可变形为，
，
，，
，． 

【解析】整理后把方程的左边分解因式得出，得出方程，，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程因式分解法等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：当，时，
原式

，
的值为． 

【解析】将已知字母的值代入原式进行计算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，分数线相当于小括号．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键．
 

20.【答案】解：方程整理为，
根据题意得，
解得；
根据题意得，，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，舍去，
． 

【解析】根根的判别式即可求出答案；
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

21.【答案】证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，过点作于点，
由知，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形．再证，即可得出结论；
根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：或不合题意，舍去．
答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为．
万元，
万元亿元．
答：该企业年的年利润总和突破亿元． 

【解析】设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为，根据第一季度及第三季度的利润，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，取其正值即可；
根据平均增长率求出四个季度的利润和，与亿元比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据平均增长率求出四个季度的利润和．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
，
，
∽；

∽，
，
点是的中点，
，
，
，
∽，
，
平分． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和、平角的定义得到，于是得到结论；
根据相似三角形的性质得到，，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图中，

，
，
，
，
∽，
，
；
解：成立，满足．
理由：如图中，

，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：如图，连接，．

，，，
，
，
当时，
，
，
，
由知∽，
，
，
，，
经检验：是分式方程的解，
当时，，同法可得，
解得，，，
经检验，是分式方程的解，
当时，，，同法可得，，
解得，，，
经检验，或是分式方程的解，
当是等腰三角形时，的值为或或或或或． 

【解析】如图，由可得，即可证到∽，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
如图，由可得，即可证到∽，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
如图，连接，，分三种情形：，，，利用相似三角形的性质，构建方程求解．
本题是对型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．