2021-2022学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 实数相邻两个之间依次多一个，其中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，添加一个条件，仍不能证明四边形为正方形的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 化简，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

7. 已知，那么的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

9. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，、是菱形边上的两点，过点作，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在直角坐标系中，点、、在同一条直线上，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

12. 已知关于的不等式组的整数解共有个，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，为内一点，将绕点逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长等于______．

14. 观察图象，可以得出不等式组的解集是______．

15. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______．
16. 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是______ ．

17. 如图，在▱中，，的平分线交的延长线于点，则的长为______．

18. 将从开始的连续自然数按以下规律排列：
    
    若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分）

19. 计算题：
    ；
    ．
20. 解不等式：；
    解不等式组：，并把解集在数据上表示出来．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
    将向下平移个单位后得到；
    将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；
    判断以，，为顶点的三角形的形状，并说明理由．

22. 光华农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台，乙型台，先将这台联合收割机派往、两地区收割小麦，其中台派往地区，台派往地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表：

设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求与间的函数关系式，并写出的取值范围；
若使农机租赁公司这台联合收割机一天获得的租金总额不低于 元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
如果要使这台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议．

23. 已知：如图，四边形是矩形，，，于点试判断四边形的形状，并证明你的结论．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线相交于点．
    求，的值；
    直线与轴交于点，动点从点开始沿线段以每秒个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒．
    若的面积为，求的值；
    是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

25. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
    证明四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

26. 如图所示，在中，于点，，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、当时，，当时，，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义对各项进行分析即可．
本题主要考查最简二次根式，解答的关键是熟记最简二次根式的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：无理数有，，共个，
故选：．
根据无理数的定义无理数就是无限不循环小数判断即可．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，，
，
，
四边形是菱形；
当时，
，
则时，菱形是正方形．
，，


菱形是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当时，无法得出菱形是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，进而得出四边形是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
首先根据二次根式被开方数为非负数分析的取值范围，再把化为，根据二次根式的乘法进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是正确分析出的取值范围．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
所以，，
所以，
的平方根是．
故选：．
根据非负数的性质列式求出求出、的值，然后代入代数式进行计算，再进一步求平方根即可得解．
本题考查了平方根、立方根的定义以及非负数的性质，几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

8.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，可得；，解不等式就可以求解．
本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长．
已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
是矩形的对角线的中点，，
是的中位线，
，
，
，
，
．
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
设，，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
整理得：，
由得：，
解得：，
即，
故选：．
设，，则，求出，则，得，再求出，由即可求解．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，由题意得出、的方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为．
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
．
故选：．
根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式组得，
因为不等式组的整数解共有个，则这四个值是，，，，
所以，
则的最小值是．
故选A．
首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围，即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的解法与一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质和等腰直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．根据旋转的性质知：旋转角度是，根据旋转的性质得出，即是等腰直角三角形，腰长，则可用勾股定理求出斜边的长．
【解答】
解：绕点逆时针旋转后与重合，
≌，
，
即线段旋转后到，
旋转了，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由图象知，函数与轴交于点，即当时，函数值的范围是；
当时，的取值范围是；
函数与轴交于点，即当时，函数值的范围是；
当时，的取值范围是；
原不等式组的解集是．
故答案为：．
观察图象可知，当时，；当时，所以该不等式组的解集是这两个不等式解集的公共部分．
本题考查了一次函数与一元一次不等式．认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系．利用数形结合是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，得：，
则，
，
，
解得：．
故答案为：．
方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，从而求出盒子的对角线长度即可．
【解答】
解：由题意知：盒子底面对角长为，
盒子的对角线长：，
细木棒长，故细木棒露在盒外面的最短长度是：，
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得，，再结合平分，可得，从而可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第行的最后一个数是，第行有个数，
在第行倒数第二个，
第行有：个数，
的有序数对是．
故答案为：．
根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第行的最后一个数是，第行有个数是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】直接利用二次根式的混合运算法则进而计算得出答案；
直接利用乘法公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
系数化为得：；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
． 

【解析】不等式整理后，去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解集；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式及不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：如图即为所求．
如图即为所求．
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．

理由：，，，
，，
，
是等腰直角三角形． 

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
以，，为顶点的三角形的是等腰直角三角形，利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：若派往地区的乙型收割机为台，
则派往地区的甲型收割机为台，
派往地区的乙型收割机为台，
派往地区的甲型收割机为台．
，
的取值范围是：，是正整数；
由题意得，解不等式得，
由于，是正整数，
取，，这三个值，
有种不同的分配方案．
当时，即派往地区的甲型收割机为台，乙型收割机为台；派往地区的甲型收割机为台，乙型收割机为台；
当时，即派往地区的甲型收割机为台，乙型收割机为台；派往地区的甲型收割机为台，乙型收割机为台；
当时，即台乙型收割机全部派往地区；台甲型收割机全部派往地区；
由于一次函数的值是随着的增大而增大的，
所以当时，取得最大值，
如果要使农机租赁公司这台联合收割机每天获得租金最高，只需，此时．
建议农机租赁公司将台乙型收割机全部派往地区；台甲型收割机全部派往地区，可使公司获得的租金最高． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是能根据题意列出函数关系式．
在、两地分配甲、乙两种类型的收割机，注意各数之间的联系；
由租金总额不低于元求出的取值范围设计分配方案；
在的方案中选择使每天获得的租金最高的方案即可．
 

23.【答案】解：四边形是平行四边形，
理由如下：四边形是矩形，
，，，
．
，
，
，
，，
．
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】由矩形的性质得出，，，得出，证出，证出，再证明≌，得出，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：点在直线上，
，
，
在直线上，
，
，
；
由题意得：，
对于直线，令，得，
，
对于直线，令，得，
，
，
，
，
，
；
 存在，使为等腰三角形，理由如下：
为等腰三角形，所以分三种情况：
当时，如图，过作于，
，
，
，
，
当时，如图，
令，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，如图，过作轴于，
在中，由勾股定理可得，
，
，
，
，
当为或或时，为等腰三角形．
 

【解析】因为是两条直线得交点，所以把点代入到直线中得的值，求出点坐标，再把点坐标代入代入到直线中，求出的值；
令，则，所以，由此得到点坐标，同理，求出点坐标，由题意可得，所以用表示出线段的长，的纵坐标，为的边上的高，利用三角形面积为，列出关于的方程，即可求解；
要使为等腰三角形，故分三类讨论，即，，，画出各自条件下的图形，数形结合，计算出此时的值．
本题是一次函数综合题，利用解析式求出特殊点的坐标，由坐标写出线段长，是解决此题的基本要求，例如中如何用表示出线段的长度，还考查了等腰三角形存在性问题，注意每个顶点都可能是等腰三角形顶点，故分三类讨论，是解决此问的关键．
 

25.【答案】证明：如图，，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
≌；
．
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；

解：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
． 

【解析】首先根据题意画出图形，由是的中点，，易证得≌，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形；
首先连接，易得四边形是平行四边形，即可求得的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
 

26.【答案】解：如图，过点作于，交于，

设，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
设，则原方程可化为：，
，
或，
当时，，
此种情况不是锐角，因为边，
当时，，
，
综上，的长为． 

【解析】如图，过点作于，交于，设，证明∽，列比例式可得，根据是等腰直角三角形，则，由面积法列式可得方程，解方程可得结论．
本题主要了勾股定理，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，解一元二次方程等知识，正确作辅助线构建直角三角形，利用参数表示线段的长，并结合方程是解题的关键．