数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用习题ppt课件

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| 自 学 导 引 |
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则：
空间垂直关系的向量表示
u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直．(　　)(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行．(　　)(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直．(　　)【答案】(1)√　(2)√　(3)√【解析】(1)根据直线的方向向量和线线垂直的定义，该判断正确．(2)根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义，该判断正确．(3)根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义，该判断正确．
2．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为(　　)A．l与α斜交　B．l⊂αC．l∥α　D．l⊥α【答案】D【解析】因为a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，所以n＝－2a，故n∥a.即直线l的方向向量与平面α的法向量平行，故l⊥α.
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.【答案】－4【解析】因为α⊥β，且向量a，b分别是平面α，β的法向量，所以a⊥b，a·b＝x－2＋6＝0，所以x＝－4.
用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
【答案】提示：需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
| 课 堂 互 动 |
　如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(　　)A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．【答案】B
1．利用向量法证明线线垂直的依据和关键点(1)依据：转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.(2)关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量．2．应用线线垂直求点的坐标的策略(1)设出点的坐标．(2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程．(3)通过解方程的方法求出点的坐标．
1．如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1.求证：BC1⊥AB1.
证明：如图，以点C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C中点．求证：MN⊥平面A1BD．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系．(2)将直线的方向向量用坐标表示．(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系．(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)求出平面的法向量．(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．提醒：用坐标证明垂直问题，关键是根据题目中的垂直关系建立适当的坐标系．
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，
方向2　探究性问题 　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)将一平面内两相交直线的方向向量用坐标表示．(3)由两条相交直线的方向向量，计算两组向量的数量积，得到数量积为0.(4)同理求出另一个平面的法向量．
【拓展延伸】探索性问题的解决方法(1)猜测法：猜测满足的条件，然后以此为基础结合题目中的其他条件进行证明结论成立，或者利用题目条件用变量设出条件，再结合结论逆向推导出变量的取值．(2)逆推法：利用结论探求条件；如果是存在型问题，那么先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．
3．在三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC．证明：方法一，如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
　如图，在棱长为2的正方体中ABCD－A1B1C1D1，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
规范解答　利用空间向量解答平行、垂直问题
审题指导：(1)要证明BC1∥平面EFPQ，只要证明BC1与平面EFPQ内的一条直线平行，依据题意可证BC1∥FP.(2)由平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角知，两个平面互相垂直，故它们的法向量互相垂直，由此可根据数量积为0，求λ的值．
【题后悟道】1．关注解决空间平行、垂直关系的依据平行、垂直关系的向量表示是解题依据，是解题的前提和根本，也是避免无谓丢分的关键，如本例利用向量平行证明线线平行；通过证明两个平面的法向量互相垂直，得两个平面互相垂直．2．准确计算，避免失误利用向量法解决空间平行垂直问题的最大特点是通过计算证明位置关系，这也是向量法与几何法的主要区别．因此，准确计算是此类问题的关键，如本例中两个平面的法向量坐标必须计算准确.
| 素 养 达 成 |
空间垂直关系的解决策略
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则(　　)A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1，l2相交不垂直D．不能确定【答案】B【解析】因为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，即a·b＝0，所以a⊥b.所以l1⊥l2.
2．两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　)A．－3B．6C．－6D．－12【答案】B【解析】α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
4．向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2,3,1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．【答案】否【解析】m·a＝(2,3,1)·(－1,2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2,3,1)·(2，－2,3)＝4－6＋3＝1≠0.所以l与α不垂直．
5．如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.