2021-2022学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数的实部为，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 函数的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素．现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克所含维生素的量单位：，得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是(    )

A. 每克柚子维生素含量的众数为
B. 每克猕猴桃维生素含量的极差为
C. 每克猕猴桃维生素含量的中位数为
D. 每克猕猴桃维生素含量的平均数小于每克柚子维生素含量的平均数

6. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知各项不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 有一道数学难题，学生解出的概率为，学生解出的概率为，学生解出的概率为，若、，三人独立去解答此题，则恰有人解出的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数有三个不同的零点，，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 图中，小方格是边长为的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 设等差数列的前项和为，若，，则______．
15. 设，满足约束条件，则的最小值为______．
16. 定义在上的函数满足，则不等式的解集为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 设等比数列的前项和为，且满足，．
    求数列的通项公式；
    设，求数列的前项和．
18. 微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人，为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性、女性用户各名，将他们平均每天使用微信的时间单位：分成组；，，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
    
    Ⅰ根据频率分布直方图估计男性用户平均每天使用微信的时间；
    Ⅱ若把每天使用微信超过的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，请你根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“微信控”与性别有关．

附，其中

19. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，平面，点，分别是线段，的中点
    Ⅰ证明：平面；
    Ⅱ求三棱锥的体积．

20. 在中，内角，，所对的边分别为，，，．
    求；
    若的面积为，且，求．
21. 已知函数是自然对数的底数，曲线在点处的切线为．
    求，的值；
    若不等式在上恒成立，求正实数的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，且直线，的斜率之积是，记的轨迹为．
    Ⅰ求的方程；
    Ⅱ若过点且不与轴重合的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为与不重合，直线与轴交于点，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
先化简，再运算．
本题考查集合基本运算，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设复数，则，
由题意得，
，
，
故选：．
设出复数，再利用复数的运算，即可解出．
本题考查了复数的代数运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，
可得，解得．
故选：．
根据抛物线的定义，可得，即得．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，得为奇函数，排除；
又，故为增函数，排除，
故选：．
根据函数的奇偶性，单调性，导数工具，基本不等式即可求解．
本题考查函数的奇偶性，单调性，导数工具，基本不等式，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由茎叶图中的数据可知，每克柚子维生素的含量的众数为，所以A正确；
由茎叶图中的数据，根据数据极差的定义和计算方法，可得每克猕猴桃维生素含量的极差为，所以B正确；
由茎叶图中的数据，根据数据中位数的定义和，可得每克猕猴桃维生素含量的中位数为，所以不正确；
由茎叶图中的数据，根据平均数的计算公式，可得每克猕猴桃维生素含量的平均数为：
，每克柚子维生素含量的平均数为：，所以D正确．
故选：．
根据众数、中位数、极差的定义，可判定的正误，利用数据平均数的计算公式，可判定的正误，得到答案．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：：，，为真命题，为假，
：，，，为真命题，为假，
为真命题，
故选：．
判断出命题，的真假，再根据复合命题的真假进行判断即可．
判断出命题、的真假是本题的关键，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：各项不为零的等差数列满足，，
由可得，或，
当时，不符合题意，舍去．
当时，，，
故选：．
利用等差数列的性质可把原式化简可得，从而可求，再由等比数列的性质可得，从而可求的值．
本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的综合应用，利用性质可以简化基本运算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：一道数学难题，恰有人解出，包括：
解出，B、 解不出，概率为．
解出，、解不出，概率为．
解出，A、 解不出，概率为．
所以恰有人解出的概率为．
故选：．
利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求的概率．
本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数有三个不同的零点，
即与在上有三个不同交点，
如图，

则．
故选：．
问题转化为与在上有三个不同交点，画出图形，数形结合得答案．
本题考查函数零点的判定及应用，考查数形结合思想，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找出异面直线所成的角是解题的关键，考查学生的空间想象力，属于基础题．
利用平移的思想，找出异面直线与所成角，即可得解．

【解答】

解：如图所示，由题可知，四边形和均为正方形，为正三角形，
，，
或其补角为异面直线与所成角，
为正三角形，
．

故答案选：．

11.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为和，高为的四棱锥．
如图所示：

故外接球的半径满足；
解得：，
所以；
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出四棱锥的外接球半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体和球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，则，
两式相减得，
所以，
因为是的中点，
所以，，
因为直线的斜率为，
所以，
因为过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点，
所以，
所以，得，
所以，
所以离心率为．
故选：．
设，，，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出，从而可求出，进而可求出离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，；
；
；
解得．
故答案为：．
可求出，，根据即可得出，解出即可．
考查向量加法、减法的坐标运算，以及平行向量的坐标关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：等差数列的前项和为，设它的公差为，
则由，，
可得，，则，
故答案为：．
由题意，利用等差数列的通项公式和前项和公式，计算求得的值．
本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，，令，得，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，
则，
在单调递增，
而，
则，
，即．
不等式的解集为．
故答案为：．
令，求导后结合已知可得函数的单调性，把不等式转化为，求出的范围即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，等比数列中，设其公比为，
若，即，解可得
又由，即，
解得，
则．
根据题意，设，
则
则数列是首项为公差为的等差数列．
所以． 

【解析】Ⅰ直接利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；
Ⅱ利用对数的运算和数列的求和的应用求出结果．
本题考查的知识要点：等比数列的性质，等比数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由男性的频率分布直方图得，，解得，
故男性用户平均每天使用微信的时间为：．
Ⅱ男性微信控的人数为，女性微信控的人数为，
则列联表如下：

，
有的把握认为“微信控“与性别有关． 

【解析】Ⅰ根据已知条件，结合平均数公式，即可求解；
Ⅱ根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】Ⅰ证明：平面，平面，
，
又，，，
≌，，
，，平面，
平面．
Ⅱ解：，
三棱锥的体积为． 

【解析】Ⅰ根据条件证明≌，从而，又由条件可知，从而由线面垂直的判定定理可证结论；
Ⅱ根据所给数据计算三角形的面积，代入锥体体积计算公式求解即可．
本题考查了线面垂直的证明以及三棱锥的体积计算，属于基础题．
 

20.【答案】解：，
利用正弦定理；
由于：，
整理得；
故A；
由于的面积为，
所以，
整理得：；
所以，
解得，
由于，
所以，
由余弦定理，
解得． 

【解析】直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出的值；
利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，可得，
因为曲线在点处的切线为，
所以，解得，；
由知，
不等式在上恒成立，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
令时，解得．
当时，，为减函数；当时，，为增函数，
的最小值为，
，
正实数的取值范围为． 

【解析】求导，由切线为，可得，运算即得解；
参变分离可得，令，求导分析单调性，可得的最小值为，分析即得解
本题考查了转化思想，也考查了利用导数求函数的最值，属于中档题．
 

22.【答案】解：设，则直线的斜率为，直线的斜率为，
，整理得，故E的方程为；
证明：由题意知，过点的直线的斜率存在且不为可设其方程为，
设，，则，
将代入，得，
则，
，则直线方程为，令，
则，
点的坐标为． 

【解析】设，由已知可得，化简可得的方程；
设方程为，，，则，将直线方程代入椭圆方程可得，可得方程为，运算可求点的坐标．
本题考查求点的轨迹方程与求定点坐标问题，属中档题．