第十章 概率 单元测试卷-高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

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第十章 概率 单元测试卷
一、单选题
1．（2021·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程有实数根的样本点个数为（       ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
直接列举即可得到.
【详解】
一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个；方程有实数根，需满足；
样本点中满足的有（2，1）､（3，1）､（3，2）､（4，1）､（4，2）､（4，3）､（4，4）､（5，1）､（5，2）､（5，3）､（5，4）､（5，5）､（5，6）､（6，1）､（6，2）､（6，3）､（6，4）､（6，5）､（6，6），共19个.
故选：C
2．（2021·全国·高一课时练习）某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本事件的概念一一列举即可得出选项.
【详解】
解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、
计算机和航空模型，所以样本点有3个.
故选：C
3．（2022·湖南·高一课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（       ）
A．A⊆D
B．B∩D＝
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
【答案】D
【解析】
【分析】
按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.
【详解】
“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D ，A∪C＝D
B，D为互斥事件，B∩D＝；
A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等
故选：D
4．（2021·全国·高一单元测试）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.
【详解】
设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：
、、，齐王获胜三局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，田忌获胜两局；
、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为
故选：B
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.
5．（2021·全国·高一课时练习）10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率.
故选：B.
6．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，
其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，
故所求概率为.
故选：C
7．（2021·黑龙江实验中学高二阶段练习）在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（       ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用列举法求解即可
【详解】
解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，
则从这5个国家中任取2个国家有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，
其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，
所以所求概率为.
故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习（理））抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（       ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．
【答案】C
【解析】
根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件，然后计算概率．
【详解】
与不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，
事件表示向上点数为之一，∴．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题．
二、多选题
9．（2021·重庆·高三开学考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（       ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意可知，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，根据对立事件和相互独立事件的概率计算公式，分别求出各选项中的概率，从而可判断得出答案.
【详解】
解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，
则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，
对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；
对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；
对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.
故选：ACD.
10．（2021·广东佛山·高二阶段练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（       ）
A．至少有一个白球与都是白球
B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义和性质判断.
【详解】
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD.
【点睛】
本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.
11．（2022·全国·高二单元测试）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用n次的独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式，分别求得的值，即可求解.
【详解】
由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，
根据独立重复试验的概率计算公式，
可得：，
由，故A是错误的；
由，故B是错误的；
由，故C是正确的；
由，故D是正确的.
故选：CD
【点睛】
本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
12．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二阶段练习）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.
【详解】
由已知，，
由已知有，，，
所以，则A正确；
，则B正确；
事件、、不相互独立，故错误，即C错误
，则D正确；
综上可知正确的为ABD.
故选:ABD．
【点睛】
本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.
【答案】0.21##
【解析】
【分析】
设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.
【详解】
设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C
则，则
故答案为：0.21
14．（2021·全国·高一课时练习）从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】
直接列举基本事件即可.
【详解】
从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.
故答案为：4.
15．（2021·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______

【答案】0.686
【解析】
【分析】
根据题意，先求得与至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.
【详解】
由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，
则与至少有一个正常工作的概率为，
所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；
故答案为：0.686；
【点睛】
本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
16．（2021·全国·高一课时练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：
7527   0293   7140   9857   0347   4373   8636   6947   1417   4698
0371   6233   2616   8045   6011   3661   9597   7424   7610   4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．
【答案】
【解析】
根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.
【详解】
由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，
所以射击4次至少击中3次的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习（文））从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．
【解析】
【分析】
(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】
解：(1)第六组的频率为，
∴第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
18．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是，，；（2）.
【解析】
（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，由已知列出的方程组可得答案；
（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.
【详解】
（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，
由于，，为互斥事件，
根据已知，得，
解得，
所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是，，.
（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为，
则两个球颜色不相同的概率是.
【点睛】
本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生(即A1、A2、…、An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
19．（2021·全国·高一课时练习）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】
解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
20．（2021·海南·海口市灵山中学高二期中）某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．
（单位：人次）
满意度
老年人
中年人
青年人
自助餐
点餐
自助餐
点餐
自助餐
点餐
10分（满意）
12
1
20
2
20
1
5分（一般）
2
2
6
3
4
12
0分（不满意）
1
1
6
2
3
2

（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?
（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；
（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式?
【答案】（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）；（3）建议其选择自助餐．
【解析】
(1)分别求出三种年龄层次的人群中，选择自助餐的概率，进行比较从而得出结论.
(2)点餐不满意的人群中，老年人1人（设为），中年人2人（设为，），青年人2人（设为，），列出选2人的基本事件，得出基本事件数和两人都是中年人所包含的事件数，由古典概率公式可得答案.
(3)分别求出自助餐和点餐满意的均值，建议选择满意度平均值大.
【详解】
（1）由题知，老年人选择自助餐的频率，
中年人选择自助餐的频率，
青年人选择自助餐的频率，
则，
即中年人更倾向于选择自助餐．
（2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为），中年人2人（设为，），青年人2人（设为，）．
从中选取2人，其基本事件有，，，，，
，，，，，共10个
基本事件，其中2人都是中年人仅有一个符合题意；
故两人都是中年人的概率为．
（3）由表可知，自助餐满意的均值为：．
点餐满意的均值为：
，故建议其选择自助餐．
21．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
【答案】（1）频率为：；平均分为；（2）.
【解析】
（1）利用所有组频率和为即可求得第七组的频率，然后利用（其中表示第组的中间值，表示该组的频率）求出平均值；
（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
.
用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分为：

.
（2）样本成绩属于第六组的有人，设为，样本成绩属于第八组的有人，设为，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件有： AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB，AC，BC，ab 共 4个
∴他们的分差的绝对值小于10分的概率.
【点睛】
本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.
（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案；
（2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数.
22．（2021·全国·高二课时练习）A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．
（2）根据对立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：（1）设表示事件:一个试验组中，服用有效的小鼠有只，，1，2，
表示事件“一个试验组中，服用有效的小鼠有只“，，1，2，
依题意有：，．，
，所求概率为：


（2）依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率；
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的概率计算，属于中档题.