人教版高考物理一轮复习第11章交变电流传感器第1讲交变电流的产生及描述学案

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第1讲 交变电流的产生及描述
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识点1 交变电流
1．定义：
大小和方向都随时间做周期性变化的电流叫作交变电流。
2．图像：如图所示，
图甲、乙、丙、丁所示电流都属于交变电流，图戊所示电流属于恒定电流。
知识点2 正弦式交变电流的产生和变化规律
1．产生：如图所示，在匀强磁场里，线圈绕垂直磁场方向的轴匀速转动时，可产生正弦式交变电流。
注意：交变电流的种类有很多，但同时具备这三个条件才会产生正弦式交变电流：匀强磁场；线圈转轴和磁场垂直；匀速转动。
2．中性面及其特点。
(1)定义：与磁场方向垂直的平面。
(2)特点：
①线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零。
②线圈转动一周，2次经过中性面，线圈每经过中性面一次，电流的方向就改变一次。
3．图像：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图像为正弦曲线，如图所示。
4．变化规律(线圈从中性面位置开始计时)
(1)电动势e随时间变化的规律：e＝E msin ωt。
(2)电压u随时间变化的规律：u＝U msin ωt。
(3)电流i随时间变化的规律：i＝I msin ωt。
其中ω是线圈转动的角速度，E m＝nBSω。
知识点3 描述交变电流的物理量
1．周期和频率
(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化，即线圈转一周所需要的时间，单位是秒(s)，公式T＝eq \f(2π,ω)。
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz)。
(3)周期和频率的关系：T＝eq \f(1,f)或f＝eq \f(1,T)。
2．交变电流的“四值”
(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数。
(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值。
(3)有效值：让交变电流与恒定电流分别通过相同的电阻，如果它们在交变电流的一个周期内产生的热量相等，则这个恒定电流I、恒定电压U就是这个交变电流的有效值。
(4)正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系
I＝eq \f(I m,\r(2))，U＝eq \f(U m,\r(2))，E＝eq \f(E m,\r(2))。
(5)平均值：交变电流图像中波形与横轴所围面积跟时间的比值，其数值可以用eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)计算。
思考：如图为交流发电机线圈的平面图，设磁感应强度为B，线圈边长为l，匝数为n，以O1O2为起点、角速度ω匀速转动，经过时间t转至实线位置，试推导此时线圈中感应电动势的表达式。
[答案] AB边产生的感应电动势e1＝n·B·l·υsin θ，θ为线圈转过的角度，因为v＝ω·r＝eq \f(1,2)ω·l，θ＝ω·t，可得e1＝eq \f(1,2)nBl2ω·sin ωt；同理CD边产生的感应电动势e2＝eq \f(1,2)nBl2ω·sin ωt。则线圈中感应电动势e＝nBl2ω·sin ωt。
双基自测
一、堵点疏通
1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流。( × )
2．线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大。( × )
3．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时，线圈中的感应电动势为零，电流方向发生改变。( √ )
4．交流电气设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。( √ )
5．交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值。( × )
6．交变电流的峰值总是有效值的eq \r(2)倍。( × )
二、对点激活
1．图中闭合线圈都在匀强磁场中绕虚线所示的固定转轴匀速转动，不能产生正弦式交变电流的是( C )
[解析] 只要闭合线圈绕垂直磁感线的轴匀速转动，就能产生正弦式交流电，与轴的位置、线圈的形状无关。除C项的轴与磁感线平行外，其他都能产生正弦式交流电。 所以C项正确，A、B、D三项错误。
2．(多选)关于中性面，下列说法正确的是( AC )
A．线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零
B．线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大
C．线圈每经过一次中性面，感应电流的方向就改变一次
D．线圈每转动一周经过中性面一次，所以线圈每转动一周，感应电流的方向就改变一次
[解析] 中性面是线圈平面与磁感线垂直的位置，线圈经过该位置时，穿过线圈的磁通量最大，各边都不切割磁感线，不产生感应电动势，所以磁通量的变化率为零，A项正确，B项错误；线圈每经过一次中性面，感应电流的方向改变一次，但线圈每转一周时要经过中性面两次，所以每转一周，感应电流方向就改变两次，C项正确，D项错误。
3．(2021·陕西商洛期末)一交流电压的瞬时值表达式为u＝200eq \r(2)sin 50πt(V)，下列判断正确的是( D )
A．该交流电压的频率为50 Hz
B．t＝0.01 s时，该交流电压的瞬时值为50eq \r(2) V
C．直接用电压表测该交流电压，其示数为200eq \r(2) V
D．若将该交流电压加在阻值为2 kΩ的电阻两端，则电阻的发热功率为20 W
[解析] 本题考查交变电流的相关物理量的计算问题。由交流电压的瞬时值表达式可知ω＝50 π rad/s，由ω＝2 πf可得该交流电压的频率为f＝25 Hz，选项A错误；在t＝0.01 s时，该交流电压的瞬时值为200eq \r(2) V，选项B错误；直接用电压表测量交流电压，测量的结果为有效值，示数为U＝200 V，选项C错误；若将该交流电压加在阻值为2 kΩ的电阻两端，由P＝eq \f(U2,R)可知发热功率为20 W，选项D正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 交变电流的产生及变化规律
1．正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
2．两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，eq \f(ΔΦ,Δt)＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变。
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，eq \f(ΔΦ,Δt)最大，e、i都最大。
例1 如图所示，图(a)→图(b)→图(c)→图(d)过程是交流发电机发电的示意图，线圈的ab边连在金属滑环K上，cd边连在金属滑环L上，用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接。下列说法正确的是( C )
A．图(a)中，线圈平面与磁感线垂直，磁通量变化率最大
B．从图(b)开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系是i＝Imsin ωt
C．当线圈转到图(c)位置时，感应电流为0，且感应电流方向改变
D．当线圈转到图(d)位置时，感应电动势最小，ab边感应电流方向为b→a
[解析] 图(a)中，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化率为0，选项A错误；图(b)不是中性面，从线圈在中性面位置开始计时的表达式才是i＝Imsin ωt，选项B错误；当线圈转到图(c)位置时，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电流最小，为零，电流方向将改变，选项C正确；当线圈转到图(d)位置时，磁通量最小，磁通量的变化率最大，故感应电动势最大，ab边感应电流方向为b→a，选项D错误。
考点二 交变电流有效值的求解
1．正弦交变电流的有效值的计算
利用I＝eq \f(I m,\r(2))，U＝eq \f(U m,\r(2))，E＝eq \f(E m,\r(2))计算。
2．非正弦交变电流的有效值的计算
根据电流的热效应计算，注意“三同”：即“相同电阻”，“相同时间”内产生“相同热量”，利用公式Q＝I2Rt或Q＝eq \f(U2,R)t列式求解，“相同时间”一般取一个周期。
3．几种常用的电流及其有效值
例2 如图所示电路，电阻R1与电阻R2的阻值都为R，理想二极管D(正向电阻可看作为0，反向电阻可看作无穷大)与R1并联，在A、B间加一正弦交流电压u＝20 sin(100 πt)V，则加在R2上的电压有效值为( B )
A．5eq \r(2) V B．5eq \r(5) V
C．10eq \r(2) V D．5eq \r(10) V
[解析] 当电源在正半轴时二极管导通，R1被短路，R2电压为电源电压eq \f(20,\r(2))V＝10eq \r(2) V；电源在负半轴时二极管截止，R1和R2串联，R2两端的电压为5eq \r(2) V，根据有效值的定义：
eq \f(U2,R)T＝eq \f(10\r(2)2,R)·eq \f(T,2)＋eq \f(5\r(2)2,R)·eq \f(T,2)
解得：U＝5eq \r(5)V，故B项正确，A、C、D三项错误。
规律总结 计算交变电流有效值的方法
(1)分段计算电热，再求和得出一个周期内产生的总热量。
(2)利用两个公式Q＝I2Rt和Q＝eq \f(U2,R)t可分别求得电流有效值和电压有效值。
(3)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的eq \f(1,4)(但必须是从零至最大值或从最大值至零)和eq \f(1,2)周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝eq \f(I m,\r(2))、U＝eq \f(U m,\r(2))求解。
〔变式训练1〕如图所示，将一根均匀导线围成圆心角为60°的扇形导线框OMN，O为圆心，半径为R，线框总电阻为r，将线框O点置于坐标系的原点，在第二、四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。从t＝0时刻开始，导线框绕O点以角速度ω匀速转动，则导线框中感应电流的有效值为( C )
A．eq \f(BωR2,2r) B．eq \f(\r(2)BωR2,4r)
C．eq \f(\r(6)BωR2,6r) D．eq \f(\r(15)BωR2,6r)
[解析] 本题考查旋转线框切割磁感线产生交变电流有效值的计算。线框转动一周过程中，两次进入磁场、两次离开磁场，所以产生感应电流的时间为t＝eq \f(4×60°,360°)T＝eq \f(2,3)T；转动切割磁感线产生的感应电动势E′＝eq \f(1,2)BR2ω，设感应电动势的有效值为E，根据有效值的计算公式可得eq \f(E2,r)T＝eq \f(E′2,r)t，解得E＝eq \f(\r(6)BωR2,6)，则导线框中感应电流的有效值为I＝eq \f(E,r)＝eq \f(\r(6)BωR2,6r)，故C正确，A、B、D错误。
考点三 交变电流“四值”的比较
交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
例3 如图所示，线圈平面与磁感线平行，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈的总电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路中的电阻R＝4 Ω，不计摩擦，求：
(1)由图示位置计时感应电动势的瞬时表达式；
(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势；
(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势；
(4)交流电压表的示数；
(5)线圈转动一周产生的总热量；
(6)从图示位置开始的eq \f(1,6)周期内通过R的电荷量；
(7)外力使线圈转动一周所做的功．
[解析] (1)感应电动势的最大值为
Em＝nBSω＝100×0.5×0.12×2π V≈3.14 V
感应电动势瞬时表达式为e＝Emcsωt＝3.14 cs2πt(V)。
(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势为
e＝Emcs60°＝3. 14×0.5 V＝1. 57 V。
(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势为
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(BSsin60°,\f(1,6)T)＝100×eq \f(0.5×0.1×0.1×\f(\r(3),2),\f(1,6)×\f(2π,2π))V≈2.6 V。
(4)交流电压表的示数为外电路两端电压的有效值，即
U＝eq \f(E,R＋r)R＝eq \f(3.14,\r(2))×eq \f(4,4＋1)V≈1.78 V。
(5)线圈转动一周产生的总热量为
Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Em,\r(2))))2,R＋r)T≈0.99 J。
(6)在eq \f(1,6)周期内通过电阻R的电荷量为
q＝I×eq \f(T,6)＝eq \f(E,R＋r)×eq \f(T,6)＝eq \f(2.6,4＋1)×eq \f(1,6)C≈0.087 C
(7)外力使线圈转动一周所做的功等于线圈转动一周产生的总热量，为0.99 J。
[答案] (1)e＝3.14 cs2πt (V)
(2)1. 57 V (3)2.6 V
(4)1. 78 V (5)0. 99 J (6)0. 087 C (7)0. 99 J
名师点拨 书写交变电流瞬时值表达式的基本思路
(1)求出角速度，ω＝eq \f(2π,T)＝2πf。
(2)根据公式Em＝nBSω求出相应峰值。
(3)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。
①开始计时线圈与中性面重合，则i－t函数式为i＝Imsinωt；
②开始计时线圈与中性面垂直，则i－t函数式为i＝Imcsωt；
③开始计时线圈与中性面夹角为θ，则i－t函数式为i＝Imsin(ωt＋θ)。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
交变电流规律的“等效”应用
有些题目中，产生交变电流的方式与发电机不同，但产生的交变电流相似，可以等效应用交变电流规律求解相应的物理量。
例4 (2021·安徽模拟)如图所示，两根金属直导轨OM和PN平行放置且OM与x轴重合，两导轨间距为d，两导轨间垂直纸面向里的匀强磁场沿y轴方向的宽度按y＝d|sin eq \f(π,2d)x|的规律分布，两金属圆环固定在同一绝缘平面内，外圆环与两导轨接触良好，现有一根与两导轨接触良好的导体棒从OP开始始终垂直导轨沿x轴正方向以速度v做匀速运动，规定内圆环a端电势高于b端时，a、b间的电压uab为正，下列uab－x图像可能正确的是( D )
[解析] 本题考查交变电流的产生和交变电流图像问题。导体棒向右匀速运动切割磁感线产生感应电动势，e＝Byv＝Bdv|sineq \f(π,2d)x|，外圆环内的电流为正弦交变电流；在通过第一个磁场区域的前一半时间内，通过外圆环的电流为顺时针增加的，由楞次定律可判断内环内a端电势高于b端，因电流的变化率逐渐减小，故Uab逐渐减小，同理可知，在通过第一个磁场区域的后一半时间内，通过大圆环的电流为顺时针减小的，则由楞次定律可知，a端电势低于b端，Uab为负值，因电流的变化率逐渐变大，故内环的电动势变大，D正确。
〔变式训练2〕(多选)面积都为S且电阻相同的正方形线圈和圆形线圈，分别放在如图所示的磁场中，图甲中是磁感应强度为B0的匀强磁场，线圈在磁场中以周期T绕OO′轴做匀速转动，图乙中磁场变化规律为B＝B0cseq \f(2πt,T)，从图示位置开始计时，则 ( ACD )
A．两线圈的磁通量变化规律相同
B．两线圈中感应电动势达到最大值的时刻不同
C．经相同的时间t(t>T)，两线圈产生的热量相同
D．从图示位置时刻起，经eq \f(T,4)时间，流过两线圈横截面的电荷量相同
[解析] 图甲中通过线圈的磁通量变化规律为Φ甲＝B0Scseq \f(2π,T)t，图乙中通过线圈的磁通量变化规律为Φ乙＝B0Scseq \f(2π,T)t。由于两线圈的磁通量变化规律相同，则两线圈中感应电动势的变化规律相同，达到最大值的时刻也相同，有效值E也相同。又因两线圈电阻相同，所以Q＝eq \f(E2,R)t也相同，经过eq \f(T,4)时间，流过两线圈横截面的电荷量q＝eq \f(ΔΦ,R)也相同，故A、C、D三项正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2019·天津卷，8)(多选)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图所示。下列说法正确的是( BC )
A．eq \f(T,2)时刻线框平面与中性面垂直
B．线框的感应电动势有效值为eq \f(\r(2)πΦm,T)
C．线框转一周外力所做的功为eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)
D．从t＝0到t＝eq \f(T,4)过程中线框的平均感应电动势为eq \f(πΦm,T)
[解析] A错：中性面的特点是线框平面与磁场垂直，穿过的磁通量最大，磁通量变化率最小，则eq \f(T,2)时刻线框在中性面上。B对：电动势最大值为Em＝Φmω＝Φmeq \f(2π,T)，对正弦交流电，E有＝eq \f(Em,\r(2))＝eq \f(\r(2)πΦm,T)。C对：由功能关系知，线框转一周外力做的功等于产生的电能，W＝E电＝eq \f(E\\al(2,有),R)·T＝eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)。D错：由法拉第电磁感应定律知，eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(Φm,\f(T,4))＝eq \f(4Φm,T)。
2．(2020·北京朝阳质检)大型发电机几乎都是旋转磁极式发电机，如图为其原理简图。竖直平面内闭合线圈abcd固定不动，磁铁绕图中的虚线旋转，线圈中就会产生感应电流。若条形磁铁以10πrad/s的角速度匀速转动，且图示时刻N极正在向里转。现以图示时刻为计时起点，则下列推断正确的是( B )
A．该发电机产生的交流电频率是10 Hz
B．t＝0时线圈中的电流方向为abcda
C．t＝0.5 s时线圈中的电流方向发生变化
D．t ＝5 s时线圈中的电流最小
[解析] 该发电机产生的交流电频率是f＝eq \f(ω,2π)＝5 Hz，选项A错误；由右手定则可知，t＝0时线圈中的电流方向为abcda，选项B正确；t＝0.5 s时线圈转过的角度为5π，此位置线圈中的电流最大，电流方向没有发生变化，选项C错误；t＝5 s时线圈转过的角度为50π，线圈恰在题图位置，此位置线圈中的电流最大，选项D错误。故选B。
课程标准
命题热点
1．通过实验，认识交变电流。能用公式和图像描述正弦交变电流。
2．通过实验，探究并了解变压器原、副线圈电压与匝数的关系。了解从变电站到用户的输电过程，知道远距离输电时用高电压的道理。
3．了解发电机和电动机工作过程中的能量转化。认识电磁学在人类生活和社会发展中的作用。
4．知道非电学量转化成电学量的技术意义。
5．通过实验，了解常见传感器的工作原理。会利用传感器设计并制作简单的自动控制装置。
6．列举传感器在生产生活中的应用。
(1)交变电流的图像、表达式及其“四值”的应用。
(2)理想变压器的基本原理及动态分析。
(3)远距离输电问题。
规律物理量
函数表达式
图像
磁通量
Φ＝Φmcs ωt＝BScs ωt
电动势
e＝E msin ωt＝nBSωsin ωt
电压
u＝U msin ωt＝eq \f(RE m,R＋r)sin ωt
电流
i＝I msin ωt＝eq \f(E m,R＋r)sin ωt
名称
电流(电压)图像
有效值
正弦式交
变电流
I＝eq \f(I m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
正弦式半波
脉冲电流
I＝eq \f(I m,2)
U＝eq \f(U m,2)
正弦式单向
脉冲电流
I＝eq \f(I m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
矩形脉
冲电流
I＝eq \r(\f(t1,T))I1
U＝eq \r(\f(t1,T))U1
非对称性
交变电流
I＝eq \r(\f(1,2)I\\al(2,1)＋I\\al(2,2))
U＝eq \r(\f(1,2)U\\al(2,1)＋U\\al(2,2))
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝E msin ωt
i＝I msin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
E m＝nBSω
I m＝eq \f(E m,R＋r)
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝eq \f(E m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
I＝eq \f(I m,\r(2))
(只适用于正弦式交变电流)
(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是指有效值
(3)保险丝的熔断电流为有效值
(4)交流电压表和电流表的读数为有效值
平均值
某段时间内感应电动势或电流的平均值大小
eq \x\t(E)＝BLeq \x\t(v)
eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)
计算通过电路截面的电荷量