新高考数学二轮专题《平面向量》第1讲 平面向量基本概念和基本定理（2份打包，解析版+原卷版）

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第1讲 平面向量基本概念和基本定理题型1 平面向量的线性运算1．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则　　A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：与的夹角为，与的夹角为，且；对两边平方得：①；对两边同乘得：，两边平方得：②；①②得：；根据图象知，，，代入得，；．故选：．2．已知向量满足，若为的中点，并且，则的最大值是　　A． B． C． D．【解析】解：如图所示，向量满足，，不妨取，．为的中点，．，，，．，，设，，，．则，当时取等号．的最大值是．故选：．3．在中，，．若点满足　　A． B． C． D．【解析】解：由题意可得故选：．4．已知，是两个单位向量，且．若点在内，且，，则　　A． B．3 C． D．【解析】解：因为，是两个单位向量，且．所以，故可建立直角坐标系如图所示．则，，故，，，，又点在内，所以点的坐标为，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，，所以，故选：．5．在中，为边上任意一点，为中点，，则的值为　　A． B． C． D．1【解析】解：设则，故选：．6．点是的边上任意一点，在线段上，且，若，则的面积与的面积的比值是　　A． B． C． D．【解析】解：如图，设，，，，且，，则．，则，又与的底边相等，的面积与的面积的比值是．故选：．7．中，为边上任意一点，为线段上一点，且，又，则的值为　　A． B． C． D．1【解析】解：设，，，又，所以故选：．8．在中，点满足，则　　．【解析】解：点满足，，又，，．又，，．．故答案为：．9．如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为　　．【解析】解：以为原点，以所在的为轴，建立坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，，．设，．再由向量，，，，，，，．由题意得，，．求得，故在，上是增函数，故当时，即，这时取最小值为，故答案为：．10．如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足．若，则的最小值为　　．【解析】解：不妨设，，，，，，，当时，有最小值，最小值为，故答案为：．题型2 平行问题1．已知，若与平行，则　　A． B．1 C．2 D．3【解析】解：，，当与平行时，，解得．故选：．2．已知向量，则实数为　　A． B．或 C．1 D．【解析】解：由题意可得：，，，，，，，，，解得故选：．3．已知向量，，若，则　30　．【解析】解：向量，，且，，即．则，，．故答案为：30．4．已知向量，，若，则向量的模为　10　．【解析】解：向量，，若，则，解得，，向量的模为．故答案为：10．5．已知，，，则向量　或　．【解析】解；设：，，，解得；或等于或故答案为或．题型3 模长问题1．设向量，满足，，则　　A．1 B．2 C．3 D．5【解析】解：，，分别平方得，，两式相减得，即，故选：．2．若向量，满足，，，则　　A．2 B． C．1 D．【解析】解：向量，满足，，，，，．故选：．3．已知向量，的夹角为，且，，则　　A． B． C． D．【解析】解：因为向量，的夹角为，且，，所以，即，解得或（舍．故选：．4．已知向量与的夹角为，且，，则向量　1　．【解析】解：根据题意得，故答案为1．5．已知向量，夹角为，且，，则　　．【解析】解：根据题意，得；．故答案为：．6．已知向量，则　5　．【解析】解：向量，又即即即故答案为：57．已知向量满足，，与的夹角为，则　　．【解析】解：向量满足，，与的夹角为，则．故答案为：．题型4 夹角问题1．已知向量，，若向量，的夹角为，则实数　　A． B． C．0 D．【解析】解：由题意可得，解得，故选：．2．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　A． B． C． D．【解析】解：由已知非零向量，满足，且，可得，设与的夹角为，则有，即，又因为，，所以，故选：．3．已知非零向量满足：，则与的夹角为　　A． B． C． D．【解析】解：由，所以，解得，且；所以；又，，所以，即与的夹角为．故选：．4．已知非零向量满足，则与的夹角为　　A． B． C． D．【解析】解：由于非零向量满足，等号两边同时平方化简得：，则夹角为，故选：．5．已知向量，，若，则与的夹角为　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，设与的夹角为，向量，，若，则有，解可得，则，则，则有，，且，则有，则；故选：．6．在中，，，点为边上一点，且，则　　．【解析】解：由题意可知为的靠近的三等分点，，．故答案为：．题型5 平面向量的坐标运算1．已知，，若，则的值为　　A．2 B． C．3 D．【解析】解：，，，，可得：，可得，．故选：．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　A．2 B．4 C． D．【解析】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得，，，，解之得且，因此，则故选：．3．已知向量，，则　　A． B．0 C．1 D．2【解析】解：，，故选：．4．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则　　A． B． C． D．【解析】解：点是的中点故选：．5．已知正方形的边长为2，为的中点，则　　A． B．6 C．2 D．【解析】解：根据题意，如图：以为坐标原点建立坐标系，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，则，则，，则，故选：．6．已知向量，，若，，，则的值为　　．【解析】解：向量，，若可得，解得，，．故答案为：．7．已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　．【解析】解：以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，，，，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，故答案为：．题型6 投影问题1．已知点，，，，则向量在方向上的投影为　　A． B． C． D．【解析】解：；向量在方向上的投影为：．故选：．2．已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向的投影为　　A． B． C． D．【解析】解：由知，为的中点，如图所示；又为外接圆的圆心，半径为1，为直径，且，，；向量在向量方向的投影为．故选：．3．已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为　　A．3 B． C． D．【解析】解：的外接圆的圆心为，半径为2，且，，为平行四边形．的外接圆的圆心为，半径为2，得，四边形是边长为2的菱形，且，因此，，向量在方向上的投影为：，故选：．4．已知向量，的夹角为，且，，则向量在方向上的投影等于　　A． B． C． D．1【解析】解：，，，，解得或（舍去），在方向上的投影等于．故选：．5．已知向量，，且向量满足，则向量在方向上的投影为　　A． B． C．2或 D．2或【解析】解：向量，，，可得：，解得，，当时，，向量在方向上的投影为，当时，，向量在方向上的投影为，故选：．6．向量，满足，，，则在方向上的投影为　　A． B． C． D．1【解析】解：向量，满足，，，可得，所以，则在方向上的投影为：．故选：．7．已知向量，向量在方向上的投影为，若，则实数的值为　　A．3 B． C． D．【解析】解：，在方向上的投影为，，，又，，解得．故选：．8．若为单位向量，，则向量在向量方向上的投影为　　A． B．1 C． D．【解析】解：，，，在方向上的投影为：．故选：．9．已知非零向量，满足，，在方向上的投影为1，则　36　．【解析】解：设，的夹角为，则在方向上的投影为，，，，，解得：，，．故答案为：36．10．已知边长为的等边中，则向量在向量方向上的投影为　　．【解析】解：根据题意，，在方向上的投影为：．故答案为：．11．已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为　2　．【解析】解：，在的方向上的投影为．故答案为：2．12．若两单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影为　　．【解析】解：，，，在方向上的投影为：．故答案为：．13．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为　　．【解析】解：，，，，在方向上的投影是．故答案为：．题型7 垂直问题1．已知向量，，且，则　　A． B．5 C．6 D．7【解析】解：，，且，，解得．故选：．2．已知向量，，，若，，则　　A．14 B． C．10 D．6【解析】解：向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，则．故选：．3．已知向量，向量，且，则　　A．6 B．2 C． D．【解析】解：向量，向量，且，，则，故选：．4．已知向量，．若向量与垂直，则　　A．6 B．3 C．7 D．【解析】解：已知向量，，若向量与垂直，则，求得，故选：．5．设，，向量且，，则　　A． B． C． D．10【解析】解：；；；；；；；；．故选：．6．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则　　．【解析】解：两个单位向量，的夹角为，．，，，，解得，故答案为：．