新高考数学二轮专题《平面向量》第7讲 等和线（2份打包，解析版+原卷版）

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第7讲 等和线一．选择题（共7小题）1．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，，则的最大值是　　A． B．3 C． D．5【解析】解：点在以为圆心的圆弧上运动，可以设圆的参数方程，，，，其中，，当且仅当时取等号．的最大值是，当三角函数取到1时成立．故选：．2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，设，可得，，，由若，，得，，，，，，，的范围为，，故选：．3．如图，在扇形中，，为弧上且与，不重合的一个动点，，若存在最大值，则的取值范围为　　A． B． C． D．【解析】解：以为原点，为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，，则，，，由，得，，，存在最大值，存在极值点，在上有零点．令，则，，，，的取值范围为．故选：．4．已知向量满足，若为的中点，并且，则的最大值是　　A． B． C． D．【解析】解：如图所示，向量满足，，不妨取，．为的中点，．，，，．，，设，，，．则，当时取等号．的最大值是．故选：．5．如图正六边形中，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：建立如图坐标系，设，则，，，，，，，则的方程：；的方程：；因为是内（包括边界）的动点，则可行域为又，则，所以，，，，．故选：．6．在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点，满足，，则点集所表示的区域的面积是．　　A． B． C． D．【解析】解：，，即．（1）若，，设，，则，，故当时，，，三点共线，故点表示的区域为，此时．（2）若，，设，，则，，故当时，，，三点共线，故点表示的区域为，此时．同理可得：当，时，点表示的区域面积为，当，时，点表示的区域面积为，综上，点表示的区域面积为．故选：．7．如图，在直角梯形中，，，，，图中圆弧所在圆的圆心为点，半径为，且点在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，，则的最大值为　　A． B． C．2 D．【解析】解：以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，直线的方程为，到的距离圆弧以点为圆心的圆方程为，设则，，，若，，，，在圆内或圆上，设，则，代入上式整理得，设，，，则，解得，故的最大值为，故选：．二．多选题（共1小题）8．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则可能的整数值为　　A．3 B．2 C．1 D．【解析】解：如图建立平面直角坐标系，由题意得，，．，圆的半径．故圆的方程为，所以设，．且．可得，，，，，，故，，选项都对．故选：．三．填空题（共5小题）9．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为　3　．【解析】解：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，，圆的方程为，设点的坐标为，，，，，，，，，，，其中，，，故的最大值为3，故答案为：310．在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为　　．【解析】解：如图，设，，，，，，，，点满足的约束条件为：，，，，，，，，，当且仅当时取等号，的最大值为．故答案为：．11．如图，在扇形中，，为弧上的一个动点，若，则的取值范围是　，　．【解析】解：设半径为1，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，建立直角坐标系，其中，；；（其中有若，，，；整理得：；，解得，，则，其中；易知，为增函数，由单调性易得其值域为，故答案为：，12．如图，在扇形中，，为弧上的一个动点．若，则的取值范围是　，　．【解析】解：如图所示，过点作，交于，再作，交于，可得四边形是平行四边形，、均为正数且中的系数较大，当点沿弧由向运动的过程中，变短而变长．当与重合时，达到最大而达到最小，此时有最小值为1；当与重合时，达到最小而达到最大，此时有最大值为4．即的取值范围是，故答案为：，．13．如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于　　．【解析】解：以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，设点，，则，，，，．所以，．由于点在内（包含边界），目标函数为，如图（2）所示，当点为点时，取得最大值，其最大值为，故答案为：．图（1），图（2）