高考数学二轮专题大题优练11 导数恒成立问题(2份打包，教师版+原卷版)

例1．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，对，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），所以，

当时，，在上单调递增；

当时，由，得；

由，得；由，得，

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）若，则．

对都有成立，等价于对都有，

由（1）知在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为，

，，

函数在上是增函数，，

所以，解得，

又，所以，

所以实数的取值范围是．

例2．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．

（1）求，，的值；

（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．

【答案】（1），，；（2）3．

【解析】（1）由已知得，

且函数的图象过点，，

则，解得，，．

（2）由（1）得．

若在上恒成立，

则在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，所以，从而可得在上恒成立．

令，则，

令，则恒成立，在上为增函数．

又，，

所以存在，使得，得，

且当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则．

又，所以，代入上式，得．

又，所以．

因为，且，所以，故的最大值为3．

例3．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）由题意，函数，可得，

①当时，在上单调递减；

②当时，，所以在上单调递减；

③当时，令，即，解得或；

令，即，解得，

所以在，单调递增，在单调递减．

（2）当时，函数，由（1）可知在单调递减，

不妨设，则，，

所以，即，

即对任意的成立，

所以在单调递减，

则，即对恒成立，

令，可得，

令，即，解得，

令，即，解得或，

所以在单调递增，在单调递减，

当时，函数取得最大值，最大值为，

所以，即实数的取值范围．

例4．已知实数，设函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）．

【解析】（1）当时，由，解得．

当时，，故在内单调递增；

当时，，故在内单调递减，

函数在取得极小值，无极大值．

（2）由，则有．

令，得，．

当时，不等式显然成立，

当时，两边取对数，即恒成立．

令函数，

即在内恒成立．

由，得．

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

因此．

令函数，其中，

则，得，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又，，

故当时，恒成立，因此恒成立，

即当时，对任意的，均有成立．

1．已知函数，且．

（1）求的解析式；

（2）设，若对任意，，求实数的取值范围．

2．已知函数，．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．

3．已知三次函数．

（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，

求出实数的取值范围．

4．已知函数 ，．

（1）求函数在上的值域；

（2）若，，使得，求实数的取值范围．

5．已知且，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，存在，使成立．求实数的取值范围．

6．已知函数．

（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；

（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，

则，解得，

因此，．

（2）①当时，则成立，此时；

②当时，由题意得恒成立，

令，其中，得，以下只需求．

，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以，所以，

综上所述，实数的取值范围是．

2．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

∴，，即，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（2）由，即对有．

若对任意，有恒成立，

则对任意都有，

∴，即．

下面证明当时，对任意有．

由题意，．

①当，即时，易知在上单调递增，

∴当时，，即在上单调递增，

∴当时，，满足条件；

②当，即时，设，

易知函数在上单调递增，

而，，

∴在上有唯一零点，且，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴．

设，则，

故在上单调递减，

∴，所以，满足条件，

综上，实数的取值范围为．

3．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，

由题意知，解得，，，

．

（2）由（1）知，令，得，

所以在和上分别单调递增，在上单调递减，

而，，，，

在区间上，，

对于区间上任意两个自变量，，

都有，．

4．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

因为，所以，即函数为减函数，

因为，，所以值域为．

（2）因为，，使得，

所以，

因为，所以，

所以，即．

5．【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，

由已知，

，，

由，得增区间；由，得减区间．

（2）由已知：，

设在上的最大值为，最小值为，

依题意：，

，，

，为增函数，

时，，递增；时，，递减，

故，，

设，，

，在上递增，

时，，此时；

时，，此时，

当时，，

设，，在上递增，

又，所以由，得；

当时，，，

由，得，

综上：的取值范围是．

6．【答案】（1）极小值，极大值为；（2）．

【解析】（1）由题意知函数的定义域为，

因为，所以，

由函数在点处的切线方程为，

则，可解得，

则，

所以，

令，解得，，

所以当时，；当时，；当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减．

所以函数的极小值为，

函数极大值为．

（2）当时，，

不等式可化为，

即，

令，则，，

所以原不等式可化为，

因为对任意，当时，不等式恒成立，

则可知在上单调递减，

因为，

所以在上恒成立，则在上恒成立，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，所以，

所以实数的取值范围为．