新高考数学模拟卷分类汇编（一期)专题11《 概率与统计》（解答题2份打包，解析版+原卷版）

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专题11 概率与统计解答题
1．（2021·江苏扬州市高三模拟）甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率.
（2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列.
【解析】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，
.
（2）的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
故的概率分布为：

1
2
3




2．（2021·辽宁高三二模）中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．


关注
没关注
合计
男



女



合计



附：

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
，其中
（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）根据题意即可完善列联表，计算卡方，根据临界值作出结论；
（2）由题意可知随机变量，利用二项分布求分布列期望即可.
【解析】（1）列联表如下：

关注
没关注
合计
男
30
30
60
女
12
28
40
合计
42
58
100
所以，
所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；
（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，
又因为，所以随机变量的分布列为：

0
1
2
3





故．
3．（2021·江苏南通市高三三模）某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．
方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．
小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：
维修次数
0
1
2
3
空调台数
20
30
30
20
用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；
（2）请问小李选择哪种质保方案更合算．
【答案】（1）；（2）方案二．
【分析】（1）根据100台这种空调质保期内两年内维修次数的统计表，结合独立事件的概率计算公式，即可求解；
（2）分别求得方案一和方案二的维修费用期望，结合期望，即可求解.
【解析】（1）由题意，根据100台这种空调质保期内两年内维修次数的统计表，
可得两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率为：

（2）方案一的维修费用期望为：元，
维修总费用为：元，
方案二的维修费用期望为：元
维修总费用为：元，
故方案二更合算．
4．（2021·湖南高三模拟）扶贫期间，扶贫工作组从地到地修建了公路，脱贫后，为了了解地到地公路的交通通行状况，工作组调查了从地到地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.
（2）由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差（）.
（ⅰ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于84.8千米/时的车辆数（精确到个位）；
（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于84.8千米/时的车辆数为，求的数学期望.
附：若，则，，，取.
【答案】（1）70.5千米/时；（2）（ⅰ）1587，（ⅱ）8.4135.
【分析】（1）根据平均数的计算方法计算出平均数.
（2）（ⅰ）根据正态分布首先计算出，然后计算出，从而求得估计值.
（ⅱ）根据二项分布的数学期望计算公式，计算出.
【解析】（1）由题意知
中点值
45
55
65
75
85
95
频率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
所以，
所以这4000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.
（2）依题意，服从正态分布，其中，，所以.
（ⅰ）因为，
所以，
所以车速不低于84.8千米/时的车辆数的估计值为.
（ⅱ）行车速度低于84.8千米/时的概率为，
而，
所以.
5．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）随着商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕用户的争夺越来越激烈，手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有人，甲、乙均在其中．
（1）求甲在第一次中奖且乙在第二次中奖的概率是多少；
（2）求甲乙参加抽奖活动次数之和的分布列和期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）利用独立重复事件的概率求解即可；
（2）设甲乙参加抽奖活动的次数之和为，则，然后根据题意求出各自在对应的概率，从而可得到分布列和期望
【解析】（1）甲在第一次中奖且乙在第二次中奖概率；
设甲乙参加抽奖活动的次数之和为，则
；
；
；
；
，
随机变量的分布列为













6．（2021·河北保定市高三二模）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”､“双人对战”两个比赛模块.某人在一天的学习过程中，每日登录积1分，除此之外只参与了“四人赛”.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二､三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，且每次答题相互独立，
（1）求该人在一天学习过程中积3分的概率；
（2）设该人在一天学习过程中积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见详解；数学期望为.
【分析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可求解.
（2）ξ的取值为，再利用相互独立事件的概率计算公式求出随机变量的概率，进而得出分布列，根据数学期望的计算公式即可求解.
【解析】（1）依题意可知，登录积1分，
所以若积3分，则需比赛得分
即第一局积1分，第二局积1分，
所以.
（2）ξ的取值为，
；；
；
.
故ξ的分布列为










所以
7．（2021·河北石家庄市高三二模）2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社会主义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，其中保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年—2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量（万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，年份用变量表示，其取值依次为1，2，3，……）．
（1）由图1可知，变量与具有很强的线性相关关系，求关于的回归方程，并预测2021年该地区农村居民人均消费支出；

2016-2020年该地区农村居民人均消费支出
（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%~50%为小康，30%~40%为富裕．已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%，从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准．

2020年该地区农村居民人均消费支出构成
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【答案】（1）；约为1.513万元；（2）2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．
【分析】（1）先由已知的数据求出，从而可求出，进而可得到关于的回归方程，然后将代入可求出2021年该地区农村居民人均消费支出；
（2）由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为元，从而可求出恩格尔系数
【解析】（1）由已知数据可求，
，
，
，
∴
∴
∴所求回归方程为．
当时，（万元），
∴2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元
（2）已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元，
由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为元，
∴恩格尔系数
所以，2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．
8．（2021·山东高三三模）一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如下表所示：
选手





笔试分
87
90
91
92
95
抢答分
86
89
89
92
94
对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
附：
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）由已知计算出，，，代入公式求得，可得答案；
（2）求出随机变量的可能取值,分别计算出他们对应的概率可得分布列和期望.
【解析】（1），
，
，
所以，，
故回归直线方程为.
（2）随机变量的可能取值为0，1，2,
因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有共4人，
他们笔试和抢答的成绩平均分分别为：，平均分高于90分的有2人，
所以,
故的分布列为

0
1
2




所以.
【点睛】
本题考查了求回归方程、分布列和期望，解题的关键点是找到随机变量的可能取值及对应的概率，考查了学生分析数据的能力、计算能力.
9．（2021·辽宁高三模拟）第届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分分，现随机抽取了名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.

（1）求的值，并估计这名候选者面试成绩平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到）；
（2）已知抽取的名候选人中，男生和女生各人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有人，补全下面列联表，问是否有的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？

男生
女生
总计
希望去张家口赛区



不希望去张家口赛区



总计



（3）冰球项目的场地服务需要名志愿者，有名男生和名女生通过该项志愿服务的选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将张写有“中签”和张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为，求的分布列及数学期望.
参考数据及公式：，.









【答案】（1），，69.5，69.4；（2）表格见解析，有的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关；（3）分布列见解析，.
【分析】（1）根据题意列方程组，求出a、b，直接求出平均值和中位数；
（2）先根据题意补全列联表，直接套公式求出，对照参数下结论；
（3）列举可能取值，分别求概率，再求数学期望.
【解析】（1）由题意可知：，
解得，，
所以平均值等于
中位数等于
（2）补全列联表：

男生
女生
总计
希望去张家口赛区



不希望去张家口赛区



总计



，
所以有的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关.
（3）可能取值为
，，，
所以的分布列为：








所以数学期望.
【点睛】
（1）从频率分布直方图可以估计出的几个数据：①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；②平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
（2）独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论；
（3）求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
10．（2021·辽宁朝阳市高三一模）选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为．
（1）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？
（2）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？
【答案】（1）甲、乙比赛甲获胜的概率，甲、丙比赛甲获胜的概率；（2）甲、乙比赛，甲获胜的概率，甲、丙比赛，甲获胜的概率；答案见解析．
【分析】（1）分甲获胜的可能分、两种情况分计算出两场比赛甲获胜的概率，即可得解；
（2）分甲获胜的可能有、或三种情况，分别计算出两场比赛甲获胜的概率，即可得出结论.
【解析】（1）采用局胜制，甲获胜的可能分，，
因为每局的比赛结果相互独立，
所以甲、乙比赛甲获胜的概率，
甲、丙比赛甲获胜的概率；
（2）采用局胜制，甲获胜的情况有、或，
甲、乙比赛，甲获胜的概率，
甲、丙比赛，甲获胜的概率，
因为，所以甲、乙比赛，采用局胜制对甲有利，
，所以甲、丙比赛，采用局胜制还是局胜制，甲获胜的概率都一样，
这说明比赛局数越多对实力较强者有利．
【点睛】
思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定各事件会同时发生；
（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.
11．（2021·辽宁高三模拟）自从开始实施生活垃圾分类，这一举措对改善环境污染起到了积极的作用，但其是一个需要长期落实的过程，只有坚持落实，才能持续减少对环境的污染．为了解垃圾分类的落实情况，现某市从人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）行了调查，得到如下频数分布表，并将产生的垃圾量在28吨/天及以上的社区确定为“超标”社区：
垃圾量








频数
4
6
7
9
11
6
4
3
（以区间中点值作为该组产生的垃圾量）
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值；
（2）市政府决定从样本中的“超标”社区中选取4个检验分类成果，经统计，垃圾量不超过30吨/天时可回收率为28%，垃圾量在30吨/天及以上时可回收率为25%．记为选取社区回收资源量（单位：吨），求的分布列和数学期望（结果精确到0.01）．
【答案】（1）23.64吨；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）利用每组的中点值乘以本组的频率的和，计算平均值；（2）首先利用中点值计算回收资源量，再求的所有可能取值，并求其概率，列分布列，最后利用期望公式求解即可.
【解析】（1）根据频数分布表得：
，
所以这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值为23.64吨．
（2）由频数分布表知，有7个“超标”社区，其中4个社区一天产生的垃圾量为29吨，回收资源量为吨；3个社区一天产生的垃圾量为31吨，回收资源量为吨，所以可能的取值32.48，32.11，31.74，31.27，
且；；
；．
所以的分布列为

32.48
32.11
31.74
31.37





所以．
【点睛】
关键点点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，本题第二问的关键是正确理解题意，并正确写出的取值.
12．（2021·辽宁高三模拟）经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上处的直径)越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.下面给出了某林场在研究树高与胸径之间的关系时收集的某种树的数据.
编号






胸径






树高






编号






胸径






树高






（1）根据表格绘制树高与胸径之间关系的散点图；
（2）分析树高与胸径之间的相关关系，并求关于的线性回归方程；
（3）预测当树的胸径为时，树的高度约为多少.(精确)
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；参考数据：，.
【答案】(1)作图见解析；(2)树高与胸径之间正相关，；(3)27.47cm
【分析】(1)画直角坐标系，横轴为胸径，纵轴为树高，把12个以胸径为横坐标，树高为纵坐标的点在坐标系内描出即可得解；
(2)观察散点图可得树高，胸径的相关性，再求出x，y的平均数，利用最小二乘法即可得回归直线方程；
(3)回归直线方程中x取50.6即可得树高的预测值.
【解析】(1)作出散点图如下：

(2)由散点图可看出，当胸径x由小变大时，树高y也由小变大，从而y与x之间是正相关关系，
，
，
从而，
，
从而关于的线性回归方程是；
(3)当x=50.6时，
即当树的胸径为时，树的高度约为cm.
【点睛】
易错点睛：根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
13．（2021·辽宁沈阳市高三三模）2021年某省开始的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学､生物､地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则''(详见附1和附2)，具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级模拟考试中，政治､化学两选考科目的原始分分布如下表：
等级





比例
约
约
约
约
约
政治学科各等级对应的原始分区间





化学学科各等级对应的原始分区间





现从政治､化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：
政治
化学
个位数
十位数
个位数
98766540
6
479
98654210
7
012345799
862
8
13469
4
9
358
（1）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始分为93分．基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲乙同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法''的看法．
（2）若从该校化学学科等级为､的学生中，随机抽取3人，设这3人转换分不低于90分的有人，求的分布列和数学期望．
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间．
等级





原始分从高到低排序的等级人数占比
约
约
约
约
约
转换分的赋分区间





附计算转换分的等比例转换赋分公式：(其中：，分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．的计算结果按四舍五入取整)
【答案】（1）甲乙两位同学的转换分都为90分；答案见解析；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）根据转换赋分公式：得甲同学的转换后的分为，以同学转换后的分为，进而根据结果谈看法即可；
（2）由（1）得原始分低于93分的转换分低于90分，进而得转换分不低于90分的有3人，低于90分的有5人，再根据超几何分布求解即可.
【解析】（1）甲同学选考政治学科原始分为86分，
根据等比例转换赋分公式：得．
乙同学选考化学学科原始分为93分，
根据等比例转换赋分公式：得，
故甲乙两位同学的转换分都为90分．
从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：
①从已知可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是90分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性．
②甲同学与乙同学原始分差7分，但转换后都是90分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利．
（2）该校化学学科原始分为93分时，根据等比例转换赋分公式：，
得，即原始分低于93分的转换分低于90分，
所以转换分不低于90分的有3人，低于90分的有5人，的所有取值有，


的分布列为：

0
1
2
3






【点睛】
本题考查超几何分布，考查数据处理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题干信息，认真审题，理解等级转换分的等比例转换赋分公式：，进而计算求解.
14．（2021·江苏高三模拟）某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元.如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉.奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：
日需求量杯数
20
25
30
35
40
45
50
天数
5
5
10
15
10
10
5
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；
（2）①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求的分布列和数学期望；
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由.
【答案】（1）；（2）①分布列答案见解析，；②不应该接受这个建议，理由见解析.
【分析】（1）利用对立事件概率及古典概型进行计算即可求得结果；
（2）①奶茶店准备了35杯，则可能卖出的杯数是：20、25、30、35，分别求出对应的利润，即可求得的分布列和数学期望；
②若店家每天准备40杯这款新奶茶，如果当天需求20杯，可得利润元，，同理可求得当天需求25杯、30杯、35杯、40杯的利润及概率，即可求得的数学期望，即可得出结论.
【解析】（1）由题意得，从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率为：
；
（2）①由题意可得：
如果当天只卖出20杯，则利润元，；
如果当天只卖出25杯，则利润元，；
如果当天只卖出30杯，则利润元，；
如果当天卖出35杯，则利润元，.
所以的分布列为：

-20
10
40
70





则（元）.
②若店主每天准备40杯这款新品奶茶，
如果当天只卖出20杯，则利润元，；
如果当天只卖出25杯，则利润元，；
如果当天只卖出30杯，则利润元，；
如果当天卖出35杯，则利润元，；
如果当天需求大于等于40杯，则利润，.
所以的数学期望为
（元），
因为，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议.
【点睛】
本题的核心是利用利润的计算方式将题目已知的奶茶需求量转化为奶茶店的利润，同时利用古典概型的计算方式求出相应利润的概率，进而可计算出利润的数学期望.
15．（2021·江苏南京市高三三模）某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学局接球训练成绩，每局训练时教练连续发个球，该同学每接球成功得分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，
①求该同学局接球训练成绩的样本平均数；
②若该同学的接球训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；
（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛.一局比赛中教练连续发个球，该同学得分达到分为获胜，否则教练获胜.若有人获胜达局，则比赛结束，记比赛的局数为.以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求.
参考数据：若随机变量，则，，.
【答案】（1）①；②；（2）.
【分析】（1）①将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本平均数；
②计算得出，，可得出，利用参考数据可得结果；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.
【解析】（1）①由频率分布直方图可得；
②可知，，则，，
所以，
；
（2）由频率分布直方图可知，在一局中，该同学得分达到分的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：








因此，.
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
16．（2021·湖南高三三模）某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t（单位：千小时），经统计分析，质量参数x服从正态分布，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：
质量参数x
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
使用时间t
2.60
2.81
3.05
3.10
3.25
3.35
3.54
（1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品．现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望；
（2）该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为，请用相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合．
附：参考数据：．若，则
参考公式：相关系数；
回归直线方程为，其中．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【分析】（1）先根据正态分布求得一件产品的质量参数在0.785以上的概率，再判断出抽取20件该产品中为合格产品的件数服从二项分布，最后根据二项分布的期望公式求得结果；（2）根据参考数据求得相关系数，最后根据 ，得到结果即可.
【解析】（1）一件产品的质量参数在0.785以上的概率，
设抽取20件该产品中为合格产品的件数为，则，
则．
（2），
同理，，
，，



所以使用时间与质量参数之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合.
【点睛】
在判断两个变量间的线性相关性，一般采用相关系数来判断，相关系数的取值为，当，两变量间成负线性相关；当，两变量间成正线性相关，当时，我们说两变量间有很强的线性相关性.
17．（2021·湖北武汉市高三模拟）2021年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利．某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资．某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量（单位：十万支，i＝1，2，…，9）数据作了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：





2.72
19
139.09
1095
注：图中日期代码1~9分别对应这连续9天的时间：表中，．
（1）从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支．
参考公式：回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式为： ，．参考数据：．
【答案】（1）；（2）；第14天．
【分析】（1）记所求事件为A，9天中日产量不高于三十万支的有5天．再利用古典概型的概率公式求解；
（2）由题得，求利用最小二乘法求出得到，解不等式即得解.
【解析】（1）记所求事件为A，9天中日产量不高于三十万支的有5天．
．
（2），，，．
．
，．
令，解得．
∴，即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支．
【点睛】
方法点睛：建立非线性回归模型的基本步骤：
①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；
④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
⑥消去新元，得到非线性回归方程；
⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
18．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三三模）科教兴国，科技强国.探索浩潮宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者､航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空､推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧､中国方案､中国力量.
（1）为助力我国航空事业，某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加.为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在(单位：百件)件产品中，得到次品数量(单位：件)的情况汇总如表所示，且(单位：件)与(单位：百件)线性相关：
(百件)
5
20
35
40
50
(件)
2
14
24
35
40
请根据表格中的数据，求出关于的线性回归方程：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请判断可否安排一小时试生产10000件产品的任务？
（2）"战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，一共只有甲､乙､丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务相互独立.
①如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
②假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.
(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，)
(参考数据：，)
【答案】（1），可以安排一小时试生产10000件产品的任务；（2）①甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：；任务能被完成的概率不会发生变化；②先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.
【分析】（1）根据所给数据求得线性回归直线方程，用代入求得估计值可得；
（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算概率可得；
（3）按派出顺序求出概率分布列，计算出期望，比较可得丙先派出期望较大，因此比较甲乙哪个先派出的期望后可得结论．
【解析】（1）由已知可得：
又因为，

由回归直线的系数公式知：

，所以
当(百件)时，，符合有关要求，所以可以安排一小时试生产10000件产品的任务.
（2）①若甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：

若甲在先，丙次之，乙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：
，
发现任务被完成的概率是一样的，同理可以验证，不论如何改变3人的先后顺序，任务能被完成的概率不会发生变化；
②由题意得的可能取值为1，2，3，
按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目的分布列为：

1
2
3




所以
因为，且，
其它情况同理可得，期望分别为，，，，，
所以要使所需派出的人员数目的均值得到最小，只能先派甲乙中的一人，
若先派甲，再派乙，最后派丙，则
若先派乙，再派甲，最后派丙，则；
所以，
所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求线性回归直线方程及回归方程的应用，独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望．解决线性回归直线方程问题的步骤：（1）求；（2）求系数；（3）得回归方程；（4）取值代入方程得估计值．
19．（2021·河北邯郸市高三三模）现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中，红方的甲､乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.
（1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？
（2）蓝方机群共有8架战机，若甲､乙共同攻击(战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机).
①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为X，求X的分布列；
②若实施两轮攻击(用完携带的导弹)，记命中蓝方战机数为Y，求Y的数学期望E(Y).
【答案】（1）；（2）①分布列答案见解析；②.
【分析】（1）根据题意设甲飞行员发射的第i枚导弹命中对方战机为事件，将甲飞行员能够命中蓝方战机即，按照相互独立事件的概率计算公式即可得解；
（2）①先根据题意得到X的所有可能取值，然后根据X取值的意义，分别计算其取各个值对应的概率．即可得出分布列与期望．
②设击中甲命中战机数为，则，设乙命中战机数为，则，由二项分布可得答案.
【解析】设甲､乙两名飞行员发射的第i枚导弹命中对方战机分别为事件，则，.
（1）设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件M，则，
所以


.
（2）①，则
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





②记两轮攻击中甲命中战机数为，则，乙命中战机数为，则，
所以.
【点睛】
方法点睛：解决概率问题的两个步骤：一是拆分事件，即把所求事件拆分成若干个互斥事件的和，再把每个互斥事件拆分成若干个相互独立事件的积：二是用公式，若事件是相互独立事件，则，若事件是互斥事件，则
20．（2021·河北沧州市高三二模）某企业有甲､乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：假设订单A约定交货时间为11天，订单B约定交货时间为12天.(将频率视为概率，当天完成即可交货)
所用的时间(单位：天)
10
11
12
13
甲生产线的频数
10
20
10
10
乙生产线的频数
5
20
20
5
（1）为尽最大可能在约定时间交货，判断订单A和订单B应如何选择各自的生产线(订单A，B互不影响)；
（2）已知甲､乙生产线的生产成本分别为3万元､2万元，订单A，B互不影响，若规定实际交货时间每超过一天就要付5000元的违约金，现订单A，B用（1）中所选的生产线生产产品，记订单A，B的总成本为(万元)，求随机变量的期望值.
【答案】（1）订单选择甲生产线，订单选择乙生产线；（2）万元.
【分析】（1）先列出频率分布表，再求出订单A和订单B选择甲、乙生产线的概率即得解；
（2）设表示订单实际交货时间超过约定时间的天数，表示订单实际交货时间超过约定时间的天数，写出的分布列，设，写出的分布列，求出即得解.
【解析】（1）频率分布表如下：
所用的时间(单位：天)
10
11
12
13
甲生产线的频率




乙生产线的频率




设事件分别表示订单选择甲､乙生产线在约定时间交货；
事件分别表示订单选择甲､乙生产线在约定时间交货.
，
，
，
，
所以订单选择甲生产线，订单选择乙生产线.
（2）设表示订单实际交货时间超过约定时间的天数，表示订单实际交货时间超过约定时间的天数的分布列分别如下：
：

0
1
2




：

0
1



设，则的分布列如下：

0
1
2
3






所以万元，
所以订单的总成本的期望值为万元.
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是想到先求的值.
21．（2021·河北张家口市高三三模）某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展､百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，启动建设了一所高标准､现代化､智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对得10分，答错得0分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分，非优秀者得5分．
（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布，80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数(结果四舍五人保留整数)；
（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否､优秀与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及其数学期望．
附：若随机变量，则.
【答案】（1）317人；（2）分布列答案见解析，数学期望：．
【分析】（1）根据正态分布概率公式求出80分及以上的概率，结合总人数即可求解结果；
（2）列出的可能取值，根据独立事件的概率乘法公式求出各情况的概率，然后写出分布列求解数学期望．
【解析】（1）因为服从正态分布，
所以
因为，
所以进入面试环节的人数约为317人；
（2）记该应聘者第题答对为事件，第3题优秀为事件
的可能取值为
则







所以的分布列为

5
15
25
35





所以的数学期望为.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
22．（2021·广东梅州市高三二模）2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为（单位：百台，），数据作了初步处理；得到如图所示的散点图．





2.73
19
5
285
1095

注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中，
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求y关于t的方程，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．
参考公式：回归直线方程是；， ，
参考数据：．
【答案】（1）；（2）；38.
【分析】（1）由散点图读出不高于300台的点有5个，其中高于200台的点有4个，从而计算出所求概率；
（2）将对数表达式变成，根据回归方程系数求解公式求得参数a，b，从而求得回归方程，并估算对应的t值即可.
【解析】（1）由散点图知，不高于300台的点有5个，其中高于200台的点有4个，
则在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，
2个样本点都高于200台的概率为.
（2）
则由回归方程系数求解公式知，，
，
故，

需要38天呼吸机日生产量可超过500台．
【点睛】
方法点睛：非线性回归方程，可以先转化为线性的数据，利用线性回归方程系数求解公式求解，从而求得非线性回归方程.
23．（2021·广东高三模拟）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中，）．








6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
﹣1.40
（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
（2）根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立关于的回归方程；
（ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？
（iii）已知该金属在距离原点时的平均开采成本（单位：元）与，关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？
附：对于一组数据，其线性相关系数，
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【答案】（1）更适宜；（2）（i）；（ii）；（iii）为10时，开采成本最大．
【分析】（1）计算出的线性相关系数和的线性相关系数可得答案；
（2）（i）计算出和，可得关于的回归方程；
（ii）代入可得答案；
（iii）求出，令，判断的单调性可得答案．
【解析】（1）的线性相关系数，
的线性相关系数，
∵，
∴更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型．
（2）（i），，
∴，
∴关于的回归方程为．
（ii）当时，金属含量的预报值为．
（iii），
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值，
故为10时，开采成本最大．
【点睛】
本题考查了线性相关系数计算分析、线性回归方程进行预测，考查了学生利用数据解决问题的能力，计算能力.
24．（2021·广东惠州市高三二模）运用计算机编程，设计一个将输入的正整数“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将中的任意一个整数替换的值并输出的值，反复按回车键执行以上操作直到输出后终止操作.
（1）若输入的初始值为3，记按回车键的次数为，求的概率分布与数学期望；
（2）设输入的初始值为，求运行“归零”程序中输出的概率.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）.
【分析】（1）先分析的取值并计算出对应的概率，由此得到的概率分布并计算出其数学期望；
（2）记运行“归零”程序中输出的概率为，然后根据之间的关系进行化简可得，利用累乘法求可求解出.
【解析】（1）由题意可知：可取，
当时，此时依次替换的数为，所以，
当时，此时依次替换的数为或，所以，
当时，此时替换的数为，所以，
则的概率分布如下表：

1
2
3




所以.
（2）设运行“归零”程序中输出的概率为，
法一：则，
故时，，
以上两式作差得，，则，
则，，，，
则，
化简得，而，故，
又时，也成立，故.
法二：同法一得，
则，，，…，，
则，
化简得，而，故，
又时，也成立，故.
法三：记表示在出现的条件下出现的概率，
则，，
，
依此类推，，
所以.
法四：记表示在出现的条件下出现的概率，
则，
则，①
则，②
①－②得，
则，
则.
【点睛】
关键点点睛：解答本题第二问的关键在于分析出的关系，根据递推公式以及累乘法求解数列通项公式的方法求解出，主要依据的思路：根据先输出的情况下输出、先输出的情况下输出、、先输出的情况下输出，将对应概率相加即可表示出.
25．（2021·福建厦门市高三三模）每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有，，，四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币．
（1）某员工活动前两天获得，，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？
（2）通过抽调查发现：活动首日有的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率．记某员工第天选择“球类”的概率为．
①计算，，并求；
②该集团公司共有员工1400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？
【答案】（1）；（2）①，，；②“球类”为600人，“田径”为800人.
【分析】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 计算出基本事件总数和事件包含基本事件的个数由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）①由题可得、，当时，得，即，
所以是等比数列，由此得到；
②由①当足够大时，选择“球类”的概率近似于，用表示一天中选择“球类”的人数，则，由二项分布的期望公式可得答案.
【解析】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”，
由题意，基本事件总数有个，
事件包含基本事件的个数为个，
所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率．
（2）①由题可知：，
，所以，
当时，，
所以，
又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，所以．
②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于，
假设用表示一天中选择“球类”的人数，则，
所以，
即选择“球类”的人数的期望为600，选择“田径”的人数的期望为800．
【点睛】
本题考查离散型随机变量分布列及其期望、样本估计总体等知识；关键点是学生要有较好的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识．
26．（2021·福建福州市高三二模）某种病菌在某地区人群中的带菌率为，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法.现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测，两项指标，若指标的值大于4且指标的值大于100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性.为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“*”表示）和50位不带菌者（用“+”表示）各做1次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图：

（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；
（2）能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？
（3）现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者“带菌”且“检测结果呈阳性”的概率.
附：.

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】（1）；（2）能；（3）0.07.
【分析】（1）解法一：由统计图可知，指标的值大于4且指标的值大于100中，“+”有5个，再计算其概率；解法二：利用条件概率计算结果；（2）首先作出列联表，再计算，再和参考数据比较大小，判断结论；（3）设“被检测者带菌”，“被检测者检测结果呈阳性”，利用条件概率计算.
【解析】解法一：（1）设“从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”，
根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人，
所以.
（2）假设：“带菌”与“检测结果呈阳性”无关，
可作出列联表如下：

阳性
阴性
合计
带菌
35
15
50
不带菌
5
45
50
合计
40
60
100
进一步计算得，的观测值；
因为，
所以，能够在犯错误概率不超过0.001的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关.
（3）设“被检测者带菌”，“被检测者检测结果呈阳性”，
则“被检者‘带菌’且‘检测结果呈阳性’”，
用频率估计概率，根据题意可知：，，
所以由条件概率公式可知.
解法二：（1）设“从这100名被检测者中，随机抽取一名为不带菌者”，“从这100名被检测者中，随机抽取一名检测结果呈阳性”，
则“从这100名被检测者，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为.
根据题意，，，
利用条件概率公式，得.
（2）下同解法一.
【点睛】
关键点点睛：本考查独立性检验，条件概率，本题的关键是正确读取数据，尤其是第三问，正确转化为条件概率.
27．（2021·福建泉州市高三二模）来公司为了解年宣传费(单位：十万元)对年利润(单位：十万元)的影响，统计甲､乙两个地区5个营业网点近10年的年宣传费和利润相关数据，公司采用相关指标衡量宣传费是否产生利润效益，产生利润效益的年份用“”，反之用“”号记录.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
甲1










甲2










甲3










乙1










乙2










（1）根据以上信息，填写下而列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关；

产生利润效益
未产生利润效益
总计
甲地



乙地



总计



（2）现将甲､乙两地相关数据作初步处理，得到相应散点图后，根据散点图分别选择和两个模型拟合甲､乙两地年宣传费与年利润的关系，经过数据处理和计算，得到以下表格信息：

回归方程
残差平方和
总偏差平方和
甲地



乙地



根据上述信息，某同学得出“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断，根据你所学的统计知识，分析上述判断是否正确，并给出适当的解释；
（3）该公司选择上述两个模型进行预报，若欲投入36万元的年宣传费，如何分配甲､乙两地的宜传费用，可以使两地总的年利润达到最大.
参考公式：相关指数
附：









【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关；（2）判断不正确，原因见解析；（3）分配给甲地万元，分配给乙地万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大利润为万元.
【分析】（1）首先根据数据填写列联表，再根据公式计算相应的的值，进行判断即可；
（2）利用模型拟合相关指数公式进行计算，进而进行判断即可可得结果；
（3）首先根据两个模型写出两地总的年利润的表达式，再利用导数求得函数的单调性，进而得出函数取最大值时，自变量的值，从而可得结果.
【解析】（1）根据题意填写列联表如下表所示：

产生利润效益
未产生利润效益
总计
甲地
24
6
30
乙地
10
10
20
总计
34
16
50
∴，
∴有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关；
（2）对于甲地，其模型相关指数，
对于乙地，其模型相关指数，
∴，∴乙地模型的拟合程度更高，
故“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断是不正确的；
（3）设投入甲地的年宣传费为（单位：十万元），则投入乙地的费用为（单位：十万元），
设两地总的年利润为（单位：十万元），则：
，，
∴，
当，即时，，单调递增，
当，即时，，单调递减，
∴当时，取得最大值，最大值为.
故分配给甲地万元，分配给乙地万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大利润为万元.
【点睛】
（1）独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释；
（2）对于不同的数据，比较两个模型的拟合程度时，不能只看残差平方和，需要计算每个模型的相关指数，相关指数越接近1，拟合程度越高.
28．（2021·重庆高三二模）到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．在接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该经济农作物市场价格（元）
10
15
该经济农作物每年亩产量
400
600
概率
0.4
0.6
概率
0.25
0.75
（1）设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；
（2）已知当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率．
（注：纯收入=种植收入-种植成本）
【答案】（1）答案见解析；（2）0.9375.
【分析】（1）根据表中数据得到X的所有可能取值为3000，5000，8000，分别求得其概率，列出分布列；
（2）根据纯收入超过12000元，则3亩地种植收入超过15000元，分价格为10元和价格为15元两类求解.
【解析】（1）由题知一亩地的种植收入可能为4000，6000，9000，故X的所有可能取值为3000，5000，8000
，，

X的分布列为：
X
3000
5000
8000
P
0.1
0.45
0.45
（2）纯收入超过12000元，即3亩地种植收入超过15000元，
若价格为10元，则3亩地的总产量超过，
因为，
所以符合条件的概率为．
若价格为15元，则3亩地的总产量超过，，
∴P（纯收入超过1200元）
【点睛】
方法点睛：求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率．
29．（2021·北京高三二模）为迎接2022年冬奥会，某地区高一､高二年级学生参加了冬奥知识竞赛.为了解知识竞赛成绩优秀不低于85分.学生的得分情况，从高一､高二这两个年级知识竞赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为15､20的样本，得分情况统计如下图所示满分100分，得分均为整数.，其中高二年级学生得分按分组.

（1）从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；
（2）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3人，用频率估计概率，记为取出的3人中得分不低于90分的人数，求的分布列及数学期望；
（3）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）分，理由见解析.
【分析】（1）利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（2）利用二项分布的分布列、数学期望的计算方法，计算出分布列和数学期望.
（3）首先求得高一年级学生样本得分的平均分，设高二年级学生样本得分的最高分为，由“高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分”列不等式，解不等式求得的取值范围，由此求得符合题意的的值.
【解析】（1）设事件：从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于90分，
则.
所以从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于90分的概率为.
（2）由（1）可知，从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取1人，
其得分不低于分的概率估计为.
由题意可知，，的可能取值为.
所以；；
；.
所以的分布列为

0
1
2
3





所以的数学期望为.
（3）由题意可知，高一年级学生样本得分的平均分为.
设高二年级学生样本得分的最高分为.
由图可知，要使得高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，只需.解得.
所以当高二年级学生样本得分的最高分至少是分时，
高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分.
【点睛】
在求解分布列、数学期望有关的问题时，可首先判断随机变量分布列是否是超几何分布、二项分布.
30．（2021·北京高三二模）为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表：
组别
男生
女生
合格
不合格
合格
不合格
第一组
90
10
80
20
第二组
88
12
72
28
第三组
60
40
58
42
第四组
80
20
62
38
第五组
82
18
78
22
合计
400
100
350
150
假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立.
（1）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；
（2）从该地区众多中小学的男生､女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望；
（3）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“”表示第k组同学跳绳成绩合格，“”表示第k组同学跳绳成绩不合格()，试确定方差中哪个最大？哪个最小？(只需写出结论).
【答案】（1）（2）详见解析（3）最小，最大
【分析】（1）根据表格求出男女生跳绳合格的人数，总的人数，利用古典概型求解；
（2）根据相互独立事件的概率求出分布列，计算期望即可；
（3）根据表格所给数据，由方差的意义直接得到.
【解析】（1）设事件A=“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格”
样本中男生跳绳成绩合格的有:90+88+60+80+82=400人，
样本中女生跳绳成绩合格的有:80+72+58+62+78=350人，
样本中男、女跳绳成绩合格的共有:400+350=750，
样本中的男生总人数:400+100=500 人，
样本中的男生总人数:350+150=500人，
样本中男、女生总数:500+500=1000，
所以，
（2）设事件B=“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”,
则
设事件C=“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”，
则
由题可知X的可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以X的分布列为

所以X的数学期望，
（3）最小，最大.