新高考数学模拟卷分类汇编（四期)专题11《数列》解答题(2份打包，解析版+原卷版)

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专题11 数列解答题1．（2021·河北大名一中高三月考）已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）记，数列的前n项和为.【答案】（1）证明见解析（2）①当n为奇数时，；②当n为偶数时，.【解析】（1），，即，数列是以为公差的等差数列.（2）由（1）可知数列是以为公差的等差数列，且，，，①当n为奇数时，②当n为偶数时，2．（2021·河北唐山一中高三期中）为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，.（1）求，，；（2）求数列的前项和.【答案】（1），，（2）【解析】（1）由题意得可得：，所以，所以，所以，所以，，.（2）由（1）知：，当时，，当时，，，当时，，，当时，，，所以.3．（2021·河北衡水中学高三月考）对于正项数列，定义为数列的“匀称”值.（1）若数列的“匀称”值，求数列的通项公式；（2）若数列的“匀称”值，设，求数列的前项和及的最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）当时，由得当时，当时，即，检验时，成立；（2）当时，由得当时，当时，即，检验时，成立当为奇数时，当为偶数时，令，则所以数列为递增数列，即数列为递增数列当时，4．（2021·福建福州三中高三月考）已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，解得，当时，，则，即，又，则，∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，∴数列的通项公式为．（2）由（1）可得：，∴，设，则∴，∴，又，∴5．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，；由已知得，于是，即，又也满足上式，所以.（2）由（1）知，而当n为奇数时，，当n为偶数时，.综上，.6．（2021·山东滕州一中高三期中）在数列中，且成等差数列.（1）求；（2）求的和.【答案】（1），，（2）【解析】（1）由于成等差数列，所以，，所以.（2）①，②，两式相减得，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以 7．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意知，解得，，或，（舍去），所以.（2），将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：.8．（2021·湖南永州·高三月考）已知数列满足，.（1）求；（2）记，证明：数列为等比数列.【答案】（1）6；（2）详见解析.【解析】（1）因为已知数列，满足，.所以，，；（2），，所以，，，猜想数列是以4为首项，以2为公比的等比数列，证明如下：，，，，所以数列是以4为首项，以2为公比的等比数列.9．（2021·湖南郴州一中高三月考）设数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）法一：∵，∴，两式相减得：，即，∴.∴，而满足上式，∴.法二：∵，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列，∴，∴.当时，满足上式，∴.（2）法一：由（1）知，，∴，∴，即数列是以4为公差的等差数列.∴.法二：由（1）知，∴.10．（2021·广东福田一中高三月考）已知是等差数列，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前15项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用已知条件解方程得到基本量 ，再利用公式写通项公式即可；（2）先代入化简，分类讨论去绝对值，再分组可求前15项和.（1）设等差数列的公差为d，由条件得，解得．故．（2）由（1）可知，其中故的前15项和11．（2021·广东肇庆一中模拟）已知等差数列中，，公差，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.（1）求的值；（2）设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）由不可能删去首项和末项，分别讨论删去、，利用等比中项可得答案；（2）由求得，根据、中的项可得前100项是的前107项去掉的前7项后构成的，所以求出前107项去掉的前7项后可得答案.（1）不可能删去首项和末项，否则等差数列中连续三项构成等比数列则，而已知，不合题意；若删去，则，即，所以，因为，所以，舍去；若删去，则，即，所以，因为，所以，符合题意，故.（2）由（1）知，，所以，即的公比为2，首项为10，所以，即，是数列中的第项，设数列的前项和为，数列的前项和为，因为，，故前100项是的前107项去掉的前7项后构成的，则.12．（2021·广东惠州高三月考）已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，成等差数列，且公比，所以，即，整理得，解得，所以数列的通项公式为.（2）.所以为等比数列，令，故为等差数列因此分组求和可得：13．（2021·广东湛江一中高三月考）已知等差数列满足．数列的前项和为，且．（1）求数列与的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）设的公差为因为，所以又由，得，所以．数列的前项和为，且①，当时，②①-②，得，当时，满足，所以．（2）因为，所以③④③-④，得，所以．14．（2021·江苏海安高级中学高三月考）设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的公差；（2）数列满足，且，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据，，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果；（2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列的公差为，，，成等比数列，，即，又，解得：或；当时，，与矛盾，，即等差数列的公差；（2）由（1）得：，，即，，又，解得：，数列是以为首项，为公比的等比数列，，整理可得：.15．（2021·江苏如皋中学高三月考）已知数列的前项和为，，.（1）若成等差数列，求的值；（2）若为等比数列，求.【答案】（1）；（2） .【解析】（1）依题意表示出、，再根据等差中项的性质得到方程，解得即可；（2）根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，再代入检验即可；（1）解：由得：当时，，所以；当时，，所以  ，因为成等差数列，所以，即，所以 ；（2）因为为等比数列，所以成等比数列，所以，即，所以等比数列的公比，所以，经验：当时，满足题意，综上所述： .16．（2021·江苏苏州中学高三月考）在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．【解析】（1）选①②：因为是等差数列，且，，所以，解得，，所以.选①③：所以，解得，，所以.选②③：因为是等差数列，且，所以，解得，，所以.（2）因为，所以，所以.17．（2021·重庆市涪陵实验中学高三期中）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，依题意有，由，又，解得，∴，即， ；（2）∵，∴前项和.∴前项和，.18．（2021·重庆八中高三月考）在①，，②，③，，这三个条件中任选一个，补全下列试题后并完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个给分）设等差数列的前n项和为，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项的和.【答案】（1）答案见解析（2）.【解析】（1）若选①，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，所以数列的通项公式为；若选②，当时，由得，所以，当时，满足，所以数列的通项公式为；若选③，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，所以，所以，所以，上面两式相减得：，所以.19．（2021·重庆一中高三月考）已知数列满足，且，，.（1）求数列的前三项，，；（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，求证：.【答案】（1），，（2）存在，（3）证明见解析【解析】（1）由题意知，∴.同理可得，.（2）假设存在实数满足题意，则必是与无关的常数，而，∴.∴存在实数，使得数列为等差数列，且.（3）由（2）知数列是等差数列，其首项为2，公差为1，则，∴，∵数列的前项和为，∴.20．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知等比数列的公比和等差数列的公差为，等比数列的首项为，且，，成等差数列，等差数列的首项为.（1）求和的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）具体见解析.【解析】（1）根据题意，，则，所以，.（2）由（1），，所以……①则……②，①-②得，，所以.