2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数，那么(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知角是第二象限角，则是(    )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

3. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知单位向量，，满足，且，的夹角为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，且的图象过定点，为坐标原点，射线是角的终边，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形解的情况为(    )

A. 无解 B. 有两解 C. 有一解 D. 有无数解

7. 下列函数中是奇函数且最小正周期为的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列函数中，值域是的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知，，则(    )

A.  B.
C.  D.

11. 某调查机构获得如下两组样本数据：
    第一组：，，，，，，，，，．
    第二组：，，，，，，，，，．
    则这两组数据的(    )

A. 平均数相等 B. 中位数相等 C. 极差相等 D. 方差相等

12. 已知，，且，则下列结论正确的是(    )

A. 的最小值为
B. 当，均不为时，
C.
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围是______．
14. 平面向量的夹角为，若，则          ．
15. 若，，则 ______ ．
16. 若函数在区间上单调递增，则的最大值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 设向量满足，分别求满足下列条件的的值．
    ．
    向量的夹角为．
18. 如图，在中，，是边上一点，，，．
    求的大小；
    求的长．

19. 已知，，且，
    求的值；
    求．
20. 已知不透明的袋中装有三个黑球记为，和、两个红球记为和，从中不放回地依次随机抽取两球．
    用集合的形式写出试验的样本空间；
    求抽到的两个球都是黑球的概率．
21. 设向量，，函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为．
    求取得最大值时，的取值集合；
    令函数，对任意实数，恒有，求实数的取值范围．
22. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
    求角；
    若，的面积为，为边的中点，求的长度．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据复数的运算性质计算即可．
本题考查了复数的运算，考查复数求模，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：不妨令，则，为第一象限角，
故选：．
利用特殊值判断，令，则，得出结论．
本题考查象限角的定义，采用了特殊值代入检验的方法．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
根据能求出结果．

【解答】

解：，．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：单位向量，，满足，且，的夹角为，
，即，
，
，，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合向量的夹角公式，可得，求解，然后求解的正弦函数值．
本题考查了平面向量与二倍角的综合应用，考查计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，定点的坐标为，
利用任意角的三角函数的定义可得，
所以．
故选：．
利用指数函数的性质可求定点的坐标，利用任意角的三角函数的定义可得的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了指数函数的性质，任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，由正弦定理有，，，，
，，，，，
只能为锐角的一个值，所以只有一个解．
故选：．
利用正弦定理得，进而结合，进行判断即可．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：：为偶函数，不符合题意；
：为偶函数，不符合题意；
：为偶函数，不符合题意；
：为奇函数且周期，符合题意．
故选：．
由已知结合三角形函数的周期性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数的奇偶性及周期性的判断，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由正弦定理得：
，，，
解得：，
，
，或，
则，或，
当时，；
当时，．
故选：．
由正弦定理可求得角，根据三角形内角和可得角，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，值域为不正确；
对于，，值域为，不正确；
对于，，值域为，C正确；
对于，，值域为，D正确．
故选：．
利用二次函数可判断，，利用分离法可判断，利用三角函数知识可判断．
本题考查利用二次函数，三角函数判断函数值域，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
将已知等式两边平方，由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦即可求得，从而判断选项A；求出，结合已知即可求得，，从而可判断选项B，；利用二倍角的余弦公式可求得，即可判断选项D．

【解答】

解：，两边同时平方得，
即，
所以，故A正确；
，联立，
解得，或，，
因为，所以，，
所以，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，
所以，故D错误．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：对于选项：第一组数据的平均数为．
第二组数据的平均数为，故A正确．
对于选项：两组数据的中位数分别为，，故B错误．
对于选项：两组数据的极差分别为，，故C正确．
对于选项：两组数据的方差分别为，，故D错误．
故选：．
求得两组数据的平均数判断选项A；
求得两组数据的中位数判断选项B；
求得两组数据的极差判断选项C；
求得两组数据的方差判断选项D．
本题主要考查数据的平均数、中位数、极差和方差，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，当且仅当时，等号成立，故A正确；
因为，所以，当，均不为时，，故B正确；
因为，所以，由知，的最小值为，所以，故C不正确；
，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：．
利用基本不等式逐一判断即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：在复平面内对应的点在第二象限，
可得，解得，
故答案为：．
根据复数在复平面内对应的点在第二象限，得到复数的实部小于和虚部大于，得到关于的不等式组，求出的范围．
本题考查复数代数表示法及其几何意义，是一个基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积运算及向量的模．
根据条件即可求出的值，进而得出的值．

【解答】

解：的夹角为，，

，
．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
．
故答案为：．
根据条件可得出，，然后求出，再得到的值．
本题考查了对数的定义，指数和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
要使在上单调递增，
则，解得，
又因为，
所以，
即的最大值是，
故答案为：．
直接利用正弦函数的单调性与区间的关系列出不等式即可求解．
本题考查正弦函数的单调性应用，涉及参数的求解问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
又，，
则，解得；
，
，
则，解得． 

【解析】根据向量垂直，则向量数量积为直接解之；
根据向量夹角的坐标运算公式直接求解．
本题考查了向量垂直、向量夹角的坐标运算，是基础题．
 

18.【答案】解：在中，，，，
在中，由余弦定理可得：，
，
．
，
，
在中，由正弦定理，即，解得． 

【解析】由已知利用余弦定理可得，结合范围，可求的值．
利用三角形的内角和定理可求，在中，由正弦定理即可解得的值．
本题主要考查了余弦定理，三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：由，，可得，
，则；
由，，且，
得，
可得，

． 

【解析】由已知求得，进一步得到，再由二倍角的正切求解；
由已知求得，利用，展开两角差的余弦得答案．
本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．
 

20.【答案】解：试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种；
设事件“抽到两个黑球”，则对不放回的简单随机抽样，由得包含，，，，，共种情况，则． 

【解析】根据题意，列出样本空间的所有情况即可，
列出抽到黑球的所有情况，在利用古典概型计算．
本题考查了列举法以及古典概型概率计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意，
，
且与的最小正周期相同，都为，
故，故，
故，．
令，
解得，，，
即的取值集合为；
，
，，
令，，
则可化为，
二次函数开口向下，对称轴为，
故，
解得，． 

【解析】本题综合考查了平面向量，三角恒等变换，三角函数的性质及二次函数的性质，同时考查了恒成立问题转化为最值问题的应用，属于中档题．
由题意，利用平面向量及三角恒等变换化简，且与的最小正周期相同，从而可得，．
令求的取值集合；
化简，换元，，从而利用二次函数的性质求最值，将恒成立问题转化为最值问题．
 

22.【答案】解：
，由正弦定理得：，
又，
，
，
，，，
又，
．
，，
由余弦定理的：，，
，
在中，由余弦定理得：，
． 

【解析】由向量平行坐标表示可得，利用正弦定理边化角、两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；由三角形面积公式可构造方程求得；利用余弦定理可求得，进而得到；在中，利用余弦定理可求得．
本题考查三角形的余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．