2021-2022学年辽宁省朝阳市凌源市三校高一（下）联考数学试卷（4月份）（Word解析版）

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2021-2022学年辽宁省朝阳市凌源市三校高一（下）联考数学试卷（4月份）一、单选题（本大题共8小题，共40分）下列与角2π3的终边一定相同的角是(    )A. 5π3 B. kπ-4π3(k∈Z)C. 2kπ+2π3(k∈Z) D. (2k+1)π+2π3(k∈Z)已知函数f(x)=-x,x≤0log3x,x>0，则f(f(-9))=(    )A. 3 B. 2 C. -3 D. -2总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(    )A. 08 B. 07 C. 02 D. 01已知向量a=(1,-2)，b=(m,4)，且a//b，那么a-b等于(    )A. (4,0) B. (0,4) C. (3,-6) D. (-3,6)甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为(    )A. 13 B. 14 C. 15 D. 16已知tanθ=12，则cos2θ+cosθsinθ=(    )A. 1+32 B. 3+32 C. 65 D. 56设a=sinπ3，b=log23，c=(14)12，则(    )A. a0)的图象与x轴有交点，且值域M⊆[-32,+∞)，则a的取值范围是(    )A. [12,43] B. [43,2] C. [14,13] D. [14,1912]二、多选题（本大题共4小题，共20分）已知x∈R，则下列等式恒成立的是(    )A. sin(-x)=sinx B. sin(3π2-x)=cosxC. cos(π2+x)=-sinx D. tan(x+π)=tanx中国篮球职业联赛(CBA)中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如表：记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(    )A. P(A)=0.55 B. P(A+B)=0.18C. P(C)=0.27 D. P(B+C)=0.55将函数f(x)=cos2x的图象向左平移π4个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质(    )A. 最小正周期为π B. 图象关于直线x=π2对称C. 图象关于点(3π8,0)对称 D. 在(0,π4)上单调递减对于函数f(x)=ln(x2-x+1)，下列结论中正确的是(    )A. f(x)的定义域为R B. f(x)为单调增函数C. f(x)的值域为R D. f(x)的图象关于直线x=12对称三、填空题（本大题共4小题，共20分）已知角α的终边经过点(3,4)，则sinα=______．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ= ______ ，BO= ______ (用AB,AD来表示)已知扇形的周长是4cm，面积是1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是______．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x，则f(-2021)=______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）已知向量a=(1,2)，b=(-3,1)．(1)求|a+2b|；(2)若向量c=(-1,5)，试以向量a，b为基底表示向量c．已知π2<α<π，cosα=-35．(1)求sinα的值；(2)求sin(α-π)-2cos(7π2-α)sin(5π+α)+cos(π-α)的值．甲、乙两名跳高运动员进行了8次比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的平均跳高成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)教练根据这8次成绩，从甲、乙两名运动员中挑选一个参加省大学生运动会，若预测跳过1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70m才能得冠军呢？已知f(x)=2sin(π6-2x)+a+1(a为常数)．(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x∈[0,π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．已知f(x)=log2(ax+1)(a∈R)．(1)若函数f(x)的图象过点(1,1)，求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+log2x只有一个零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：与角2π3的终边一定相同的角是2kπ+2π3，k∈Z，A，B，D都不满足，C满足．故选：C．由终边相同的角的定义即可求解．本题考查了终边相同的角的定义，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：∵-9<0，∴f(-9)=9>0，因此，f(f(-9))=f(9)=log39=2．故选：B．先根据分段函数求出f(-9)=9，再根据分段函数求f(f(-9))，即可求出结果．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．3.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．  4.【答案】C 【解析】解：∵a=(1,-2)，b=(m,4)，且a//b，∴1×4-(-2)×m=0，即m=-2，∴b=(-2,4)，那么a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6)．故选：C．由向量共线的坐标运算求解m，再由向量的减法运算求解．本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．5.【答案】A 【解析】解：总的可能性为3×3=9种，两位同学参加同一个小组的情况为3种，∴所求概率P=39=13，故选：A．由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得．本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6.【答案】C 【解析】解：∵tanθ=12，∴cos2θ+cosθsinθ=cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=1+tanθ1+tan2θ=65，故选：C．由题意，利用同角三角函数的基本关系式，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题．7.【答案】B 【解析】解：因为a=sinπ3=32∈(12,1)，b=log23>log22=1，c=(14)12=12，所以b>a>c，故选：B．利用对数值与1比较，a，c分别与12比较即可判断求解．本题考查了对数值的比较大小，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．8.【答案】D 【解析】解：当x∈[0,π]时，ωx∈[0,ωπ]，ωx-π4∈[-π4,ωπ-π4]， 要使f(x)的图象与x轴有交点，则ωπ-π4≥0，得ω≥14，设t=ωx-π4∈[-π4,ωπ-π4]，∵y=sin(-π4)=-22，sin(π+π3)=-32，∴要使值域M⊆[-32,+∞)，则ωπ-π4≤π+π3，即ω≤1912，综上14≤ω≤1912，故选：D．求出角ωπ-π4的范围，根据f(x)的图象与x轴有交点，且值域M⊆[-32,+∞)的关系，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】CD 【解析】解：由三角函数的诱导公式，可得sin(-x)=-sinx，故A不成立；sin(3π2-x)=sin(π+π2-x)=-sin(π2-x)=-cosx，故B不成立；cos(π2+x)=-sinx，故C成立；tan(x+π)=tanx，故D成立．故选：CD．直接利用诱导公式得答案．本题考查三角函数的诱导公式，是基础题．10.【答案】AC 【解析】解：由题意可知，P(A)=55100=0.5，故A错误；P(B)=18100=0.18，事件A+B与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.18=0.68，故B错误；P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27，故C正确；P(B+C)=P(B)+P(C)=0.4，故D错误．故选：AC．由古典概型求出P(A)，P(B)，判断A；由事件A+B与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，判断BCD．本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】AD 【解析】解：由题意可得个g(x)=cos[2(x+π4)]=cos(2x+π2)=-sin2x．对于A，g(x)=-sin2x，所以g(x)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；对于B，g(x)=-sin2x，因为g(π2)=-sinπ=0，所以g(x)的图象不关于直线x=π2对称，故B错误；对于C，g(x)=-sin2x，因为g(3π8)=-sin3π4=-22，所以g(x)的图象不关于点(3π8,0)对称，故C错误；对于D，g(x)=-sin2x，因为x∈(0,π4)时，2x∈(0,π2)，所以g(x)在(0,π4)上单调递减，故D正确．故选：AD．先求得g(x)的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．12.【答案】AD 【解析】解：对于A，x2-x+1=(x-12)2+34>0恒成立，函数的定义域为R，选项A正确；对于B，函数y=ln(x2-x+1)在x>12时是增函数，在x<12时是减函数，选项B错误；对于C，由x2-x+1=(x-12)2+34≥34可得y=ln(x2-x+1)≥ln34，∴函数的值域为[ln34,+∞)，选项C错误；对于D，由于f(1-x)=ln[(1-x)2-(1-x)+1]=ln(x2-x+1)=f(x)，故函数的图象关于直线x=12对称，选项D正确；故选：AD．对于A，由x2-x+1>0恒成立可判断；对于B，由复合函数的单调性可判断；对于C，函数的值域为[ln34,+∞)；对于D，由f(x)=f(1-x)可判断．本题考查函数性质的综合运用，考查分析问题解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】45 【解析】解：∵角α的终边经过点(3,4)，则由正弦函数定义可知sinα=49+16=45，故答案为：45．由题意，利用任意角的三角函数的定义，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】2 -12AB+12AD 【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AB+AD=AC=2AO，∵AB+AD=λAO，∴λ=2．BO=12BA+12BC=-12AB+12AD．故答案为：2；-12AB+12AD．利用向量的平行四边形法则、向量共线定理即可得出结果．本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题．15.【答案】2 【解析】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=4，S面积=12lr=1所以解得：r=1，l=2所以扇形的圆心角的弧度数是α=lr=2故答案为：2．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=lr，求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．16.【答案】-2 【解析】解：由题意：f(x)的周期为4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，得f(-2021)=-f(2021)=-f(4×505+1)=-f(1)=-2．故答案为：-2．根据函数的周期和奇偶性进行求解．本题考查函数的奇偶性和周期性，是基础题．17.【答案】解：(1)∵a+2b=(1,2)+(-6,2)=(-5,4)，∴|a+2b|=(-5)2+42=41，(2)设c=λa+μb(λ,μ∈R)，则(-1,5)=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2λ+μ)，∴-1=λ-3μ5=2λ+μ，解得λ=2，μ=1，∴c=2a+b． 【解析】(1)将向量a+2b用坐标表示出来，再利用模的计算公式，即可解出；(2)利用平面向量基本定理，即可解出．本题考查平面向量基本定理，学生的数学运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵π2<α<π，cosα=-35，∴sinα=1-cos2α=1-(-35)2=45；(2)由(1)得cosα=-35，sinα=45，∴sin(α-π)-2cos(7π2-α)sin(5π+a)+cos(π-α)=-sinα+2sinα-sinα-cosα=-sinαsinα+cosα=-4545-35=-4． 【解析】(1)直接利用同角三角函数基本关系式求解；(2)利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．19.【答案】解：(1)甲的平均成绩为：(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)÷8=1.69(m) 乙的平均成绩为：(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.7+1.70+1.75)÷8=1.68(m)；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315，∵0.0006<0.00315 ∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65m就很可能获得冠军，甲的成绩均过1.65m，乙的成绩3次未过1.65m，因此选甲；若预测跳过1.70m才能得冠军，甲的成绩过1.70m3次，乙的成绩过1.70m5次，因此选乙． 【解析】(1)根据平均数的公式计算平均数即可；(2)计算方差，根据方差的大小判断即可；(3)根据平均数和方差分别比较即可．本题考查了求平均数，方差问题，考查对应思想，是基础题．20.【答案】解：(1)对于f(x)=2sin(π6-2x)+a+1=-2sin(2x-π6)+a+1，它的最小正周期为2π2=π．令2kπ+π2≤2x-π6≤2kπ+3π2，求得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，可得单调递增区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z．(2)当x∈[0,π2]时，2x-π6∈[-π6,5π6]，f(x)的最大值为4=-2×[-sin(-π6)]+a+1，求得a=2． 【解析】(1)利用诱导公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值．本题主要考查诱导公式、正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．21.【答案】解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则P(Ak)=13，P(Bk)=12，(k=1,2,3)，(1)记“甲获胜”为事件C，则P(C)=P(A1)+P(A-1B-1A1)+P(A-1B-1A-2B-2A3)=P(A1)+P(A-1)P(B-1)P(A2)+P(A-1)P(B-1)⋅P(A-2)P(B-2)P(A3)=13+23×12×13+(23)2×(12)2×13=1327．(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则P(D)=P(A-1B-1A-2B2)+P(A-1B-1A-2B-2A3)=P(A-1)P(B1-)P(A-2)P(B2)+P(A-1)P(B-1)⋅P(A-2)P(B-2)P(A3)=(23)2×(12)2+(23)2×(12)2×13=427． 【解析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=log2(ax+1)的图象过点(1,1)，则f(1)=log2(1+a)=1，解得a=1，此时f(x)=log2(x+1)；(2)根据f(x)=log2(ax+1)(a∈R)，函数g(x)=f(x)+log2x=g(x) =log2(ax+1)+log2x=log2(ax2+x)，若函数g(x)=f(x)+log2x只有一个零点，则方程ax2+x=1只有一个正根，当a=0时，x=1，当a≠0时，若ax2+x-1=0有两个相等的实数根，由Δ=12-4a×(-1)=0，解得4=-14，此时x=2，满足题意；若方程ax2+x-1=0有两个相异实数根，则两根之和与积均为-1a，所以方程两根只能异号，所以-1a<0，a>0此时方程有一个满足题意，综上，a≥0或a=-14．即a∈[0,+∞)∪{-14}. 【解析】(1)利用函数经过的点，求解a，得到函数的解析式．(2)函数g(x)=f(x)+log2x只有一个零点，推出方程ax2+x=1只有一个正根，利用判别式转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．题号一二三四总分得分7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数没投中100551827