2021-2022学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数为虚数单位，则它的共轭复数(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，且为第四象限的角，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是(    )

A. 直线、都垂直于直线 B. 直线、都垂直于平面
C. 直线、都与直线成角 D. 直线、都与平面成角

4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上的点三点共线测得楼顶、建筑物顶部的仰角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物的高度为精确到参考数据：(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设、、、是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(    )

A. 若与共面，则与共面
B. 若与是异面直线，则与是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则

7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知圆台上下底面半径分别为、，圆台的母线与底面所成的角为且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 设非零复数、所对应的向量分别为，则下列选项能推出的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面如图所示，则截面的可能图形是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 下列各式正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有(    )

A.
B. 若，则函数的最小正周期为
C. 关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解
D. 若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 函数的最小正周期为          ．
14. 如图，在正四棱柱中，，是棱的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则______．

15. 已知函数不是常数函数，且函数满足：定义域为，的图象关于直线对称，的图象也关于点对称．写出一个满足条件的函数 ______写出满足条件的一个即可
16. 如图，四边形为正方形，平面，，若，，，则：______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知向量，．
    若，求的值；
    若向量，夹角为锐角，求的取值范围．
18. 如图，菱形中，，，垂足为点，将沿翻折到，使，如图．
    
    求证：平面；
    在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
    若向量为的相伴特征向量，求实数的值；
    记向量的相伴函数是，求在的值域．
20. 如图，在直三棱柱中，，且，，，是棱的中点，是棱上的点，满足．
    证明：平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

21. 已知平面四边形中，，，，．
    若，求四边形的面积；
    若记，．
    求的解析式；
    求的最小值及此时角的值．

22. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形．记直线与平面所成的角为．
    求证：平面平面；
    若二面角的大小为，求的值；
    当时，、中点为，，点为线段上的动点包括端点，，二面角的大小记为，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
由已知直接利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
根据的范围，利用同角三角函数关系式求出，从而求出的值．

【解答】

解：为第四象限的角，，
，
于是，
故选D．

3.【答案】 

【解析】解：选项，，都与垂直，可能，选项错误．
选项，，都垂直于平面，则，选项正确．
选项，，都与成角，可能，相交，选项错误．
选项，，都与平面成角，可能，异面，选项错误．
故选：．
根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项．
本题考查线面角，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为底面圆的直径，
所以圆柱、圆锥的底面半径为，
圆锥的母线长为，
所以陀螺的表面积是．
故选：．
结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案．
本题考查了圆锥、圆柱表面积的计算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：在中，，，
可得，
由图知，，
可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
在中，可得，
故选：．
由题意可得，，角的大小，由正弦定理可得的值，进而在直角三角形中求出的值．
本题考查正弦定理及直角三角形中边的求法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：显然正确；也正确，因为若与共面，则必有与共面与条件矛盾
不正确，如图所示：
D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．
故选C．
逐一检验答案，、的正确性一致，、结合图形进行判断．
结合图形，通过仔细分析及举出反例，判断各答案是否正确
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的图象沿轴向右平移个单位长度，函数的图象，
即得到函数的图象，
故，整理得，，即，，
当时，．
故选：．
直接利用三角函数关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，轴截面如下图示，

若球体半径为，则，可得，
所以该球体积为．
故选：．
根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积．
本题考查了圆台外接球体积的计算，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，，即有，，由，可得，
 对于，，即，可得且，此时成立，所以A正确；
对于，，即，可得且，此时，所以B错误；
对于，，即，可得，此时，所以C错误；
对于，，即，可得成立，所以D正确；
故选：．
由题意设，，即有，，由，可得，对各选项一一验证即可．
本题考查了复数的运算和复数的几何意义，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当截面平行于正方体的一个侧面时得，
当截面过正方体的体对角线时得，
当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得，
但无论如何都不能截出，
故选：．
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．
本题主要考查了球内接多面体、棱柱的结构特征．注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
 

11.【答案】 

【解析】解：选项A，，
，即，
，故选项A 正确；
选项B：因为，故B错误，
选项C：因为，故C正确，
选项D：原式
，故D错误，
故选：．
：利用正切的和角公式化简即可判断；：利用正弦的倍角公式以及辅助角公式化简即可判断；：利用诱导公式以及余弦的倍角公式化简即可判断；：利用诱导公式以及正弦的倍角公式和辅助角公式化简即可判断求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，在上单调，
又，，故A正确；
，区间右端点关于的对称点为，
在上单调，根据正弦函数图像特征可知在上单调，
为的最小正周期，即，
又，若，
则的图象关于直线对称，结合，
得
即，故，，，故B正确．
，由，得，在区间上最多有个完整的周期，
而在个完整周期内只有个解，故关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解，故C错误．
，由知，是函数在区间上的第个零点，
而在区间上佮有个零点，则，
结合，得，又，
的取值范围为，故D正确．
故选：．
：在上单调，，故；
：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出周期的范围，从而求出的范围．再根据知是的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出，从而求出其周期；
：根据的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
：由知，是函数在区间上的第个零点，而在区间上恰有个零点，则，据此即可求的范围．
本题考查三角函数的综合，考查学生的综合能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正切函数的周期性，属于基础题．
根据函数的最小正周期为，进而可求得函数的最小正周期．

【解答】

解：，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：连接，，
由正四棱柱的性质可知，，
异面直线与所成角的角为或其补角，
设，则，
，，，
在中，由余弦定理可得，，
即，
故答案为：．
由可知异面直线与所成角的角为或其补角，设，则，由勾股定理求出，，的长，再利用余弦定理即可求出结果．
本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意，不是常数函数，定义域为，
图象关于直线对称，也关于点对称，
所以符合题意．
故答案为：答案不唯一．
根据对称性确定正确答案．
本题考查了函数解析式的求法，属于基础题．
 

16.【答案】： 

【解析】解：将几何体补全为正方体，如下图示，

，


，

所以：：．
故答案为：：．
将几何体补全为正方体，由，求出体积，即可得结果．
本题考查了补体思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，向量，．
若，则，
解可得：或．
若向量，夹角为锐角，则且与不共线，
则有，解可得且，故的取值范围为且 

【解析】由数量积的计算公式可得，解可得答案．
根据题意，由向量数量积的性质可得且与不共线，由此可得关于的不等式，解可得答案．
本题向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

18.【答案】证明：在菱形中，
，，，
，，
平面；
解：在线段上存在一点，使平面，
理由如下：
分别取，的中点，，连接，，，

为的中位线，，且，
在菱形中，，且，
，且，四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
为中点，
． 

【解析】推导出，，，由此能证明平面；
分别取，的中点，，连接，，，推导出四边形是平行四边形，，从而在线段上存在一点，使平面，且．
本题考查了线面垂直的证明和线面平行的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据题意，，
又由为的相伴特征向量，即，
则有，解可得，
故；
由题意知，且，
又由，则，
则有，，
若，则，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，且此时；
故，
必有． 

【解析】根据题意，利用两角和的正弦公式可得，结合相伴特征向量的定义可得，解可得答案．
根据题意，分析可得，分析的范围，结合三角函数的性质可得的取值范围，分析可得答案．
本题考查向量的应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．
 

20.【答案】证明：，，
，，
，同理，
，，
，，
，
，，
又，平面．
解：如图，取的中点，连接，．

，D.
由知平面，平面，
所以平面平面，又平面平面，
平面，所以是直线在平面内的射影，
即为直线与平面所成的角．
，
在中，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】根据勾股定理及勾股定理的逆定理，再利用线面垂直的判定定理即可求解；
根据面面垂直的判定定理及性质定理，再利用线面角的定义，结合锐角三角函数即可求解．
本题考查线面角，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，，，，由余弦定理可得，
由正弦定理可得，即，
所以，所以，
因为，，所以，
所以，
所以四边形的面积为；
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得可得，即，
所以，
因为，，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即求的解析式为，；
由可得，；
所以可得，
所以当，即时．
所以的最小值，此时角的值为． 

【解析】中，由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得的值，进而求出，由，可得的值及的值，代入三角形的面积公式可得两个三角形的面积，即可得四边形的面积；
由余弦定理可得的表达式，再由正弦定理可得以的值，由题意可得，由余弦定理求出的表达式，即求出的解析式；
由及范围可得的最小值及相应的的值．
本题考查正余弦定理的应用及三角函数最值的求法，属于中档题．
 

22.【答案】证明：连接，，交点设为，连接，
依题意可知，所以，
所以三角形中，，
由于，，
所以平面，
由于平面，
所以平面平面；
解：过作，垂足为，连接，
由已知，得，
所以是二面角的平面角，
所以，
设正方形的边长为，则，
所以，
由于，，，
所以平面，则，
过作，垂足为，
由于平面，所以，
由于，所以平面，
所以，即是直线与平面所成角，
在中，，
所以；
取中点，过作，垂足为，连接，，
则为二面角的平面角，即，
则，
由已知，设正方形的边长为，则，
在正方形中，设，，
当时，在三角形中，，

，
，
，
，
当时，在三角形中，，
，
，

综上所述，的取值范围是． 

【解析】通过证明平面来证得平面平面；
判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得；
作出二面角的平面角，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围．
本题考查了面面垂直的证明和二面角，线面角的计算，属于中档题．