2021-2022学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题（本大题共12小题，共60分）
已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则( )
A. a=1，b=-3B. a=-1，b=3
C. a=-1，b=-3D. a=1，b=3
已知集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，记集合Q=A∩B，则( )
A. 4∉QB. 1∈QC. 5∈QD. 3∉Q
在等差数列{an}中，a2+a3=4，a5+a6=8，则a4=( )
A. 4B. 72C. 3D. 2
已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，则下列结论一定成立的是( )
A. a与b相交B. a与b异面C. a⊥bD. a与b无公共点
若aA. |a|>|b|B. lna21bD. a2>b2
已知(x+1x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是( )
A. 6B. 15C. 6x4D. 15x2
如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S的值是( )
A. 6
B. 14
C. 16
D. 38
甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+8)，且当x∈[0,2]时，f(x)=-3x+1，则f(2022)=( )
A. 8B. 2C. -2D. -8
已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=54，且双曲线C的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为( )
A. 1B. 2C. 22D. 4
连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，有以下说法；
①事件B与事件C互斥；
②P(A)=34；
③事件A与事件B独立；
④记C的对立事件为C-，则P(B|C)=37．
其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④
已知a>0，x1，x2为方程xlna=2lnx的解，且x2>x1>0，则下列结论正确的是( )
A. a∈(1,e2e)B. x1∈(0,1)C. x2∈(1e,e)D. x1+x2<2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
已知|a|=1，|b|=2，向量a，b的夹角为π3，则a⋅(a+b)= ______ ．
已知对任意x∈R，有csx=sin(x+φ)，写出一个符合题意的φ的值为______．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=1，BC=BB1=2，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为______．
已知函数f(x)=13x3-1x+2sinx(x>0)，则满足f(1-x)>f(x)的x取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a3c=csAsinC．
(1)求角A的大小；
(2)若b+c=5，且△ABC的面积为3，求a的值．
2020年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在100个贫困村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋅⋅⋅,15)，其中xi和yi分别表示第i个贫困村中贫困户的年平均收入(单位：万元)和产业扶贫资金投入数量(单位：万元)，并计算得到i=115xi=15，i=115yi=750，i=115(xi-x)2=0.82，i=115(yi-y)2=1670，i=115(xi-x-)(yi-y-)=35.3．
(1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入．
(2)根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．(精确到0.01)
(3)根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚战任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r=i=1n(xi-x-)(yi-y-)i=1n(xi-x-)2i=1n(yi-y-)2，1369.4≈37．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点分别为F1(-1,0)和F2(1,0)，短轴的一个端点为(0,3)．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)椭圆C上是否存在一点P，使得PF1⊥PF2？若存在，求△PF1F2的面积；若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，点E是PD的中点．
(1)求证：PB//平面AEC；
(2)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．
在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现．为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关；
(2)从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查．若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
已知函数f(x)=(x-1)eax-12ax2+(a-1)x．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的极值点的个数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵a+3i=(b+i)i=-1+bi，a，b∈R，
∴a=-1，b=3，
故选：B．
利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．
本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，
∴集合Q=A∩B={2,3}，
对于A，4∉Q，故A正确；
对于B，1∉Q，故B错误；
对于C，5∉Q，故C错误；
对于D，3∈Q，故D错误．
故选：A．
求出集合Q=A∩B={2,3}，利用元素与集合的关系判断各选项即可．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由等差中项知，
a2+a3+a5+a6=4a4=4+8，
故a4=3，
故选：C．
利用等差中项整体求解即可．
本题考查了等差中项的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，
根据线面垂直的定义得到a⊥b，
故选：C．
根据线面垂直的定义能作出判断．
本题考查命题真假的判断，考查线面垂直的定义等基础知识，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵a|b|，a2>b2，lna2>lnb2，aab故选：B．
运用不等式的性质直接求解．
本题考查了不等式的性质，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知2n=64，
∴n=6，
∴T5=C64x2×x-4=15x-2，
故选：D．
利用二项式定理及其展开式的通项公式，即可解出．
本题考查二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由程序框图可得，S=2×1+0=2，k=0+2=2，k>4不成立，循环继续，
S=2×2+2=6，k=2+2=4，k>4不成立，循环继续，
S=2×6+4=16，k=4+2=6，k>4成立，循环结束，输出S，程序结束．
故选：C．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22⋅A44=48种情况，
甲站在两端的情况有33C21AA22=24种情况，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，
故选：B．
利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意，由f(x+8)=f(x)，即f(x)的周期为8，所以f(2022)=f(8×253-2)=f(-2)，
又f(x)为R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)=-3x+1，
则f(-2)=-f(2)=-(-32+1)=8，即f(2022)=8．
故选：A．
由条件可知f(x)的周期为8，根据周期性及奇函数性质可得f(2022)=-f(2)，结合函数解析式即可求值．
本题考查函数值的计算，涉及抽象函数的求值，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意，e=ca=1+(ba)2=54，即可求得(ba)2=916，所以双曲线的渐近线方程为y=±34x，
且抛物线的准线方程为x=-p2，设双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线交点分别为M，N，
则x=-p2y=-34x，可解得M(-p2,3p8)，同理N(-p2,-3p8)，
所以S△OMN=12×|-p2|×|3p4|=316p2=3，解得p=4，
故选：D．
由双曲线的离心率可得渐近线方程，联立方程求出M，N两点的坐标，△MON的面积为3，列出方程，由此方程求出p的值．
本题主要考查双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积公式，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：根据题意，对于①，事件B，C可能同时发生，故①错误；
对于②，连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，符合古典概型，所以P(A)=1-(12)3×2=34，故②正确；
对于③，P(B)=(12)3+C31⋅123=12，P(AB)=C31×123=38=P(A)P(B)，故A与B独立，故③正确；
对于④，P(C)=123=18，P(B|C-)=C31×1231-18=37，故④正确，因此②③④正确．
故选：D．
①根据互斥事件定义判断即可；
②根据古典概型概率计算公式计算即可；
③根据独立事件定义判断即可；
④根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，古典概型概率计算公式，互斥事件，独立事件等知识，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】解：由题意得，方程xlna=2lnx的解即为函数y=xlna和函数y=2lnx的图象交点的横坐标，作出图象如图所示：

由图可知，当lna≤0，即0当lna>0，即a>1时，当直线y=xlna和函数y=2lnx的图象相切时，设切点(m,mlna)，由y'=2x知lna=2m，
则切线方程为y=2mx，
又切点(m,mlna)在函数y=2lnx的图象上，
则mlna=2lnm，联立lna=2mmlna=2lnm，
解得m=e，a=e2e，由图可知，当a∈(1,e2e)时，直线y=xlna和函数y=2lnx的图象有2个交点，
由题意可知，两个交点的横坐标为x1，x2，且x2>x1>0，
则x2>e>x1>1，则A正确；B、C错误；x1+x2>1+e>2，D错误．
故选：A．
将题设转化为直线y=xlna和函数y=2lnx图象有2个交点，画出图象，当直线y=xlna和函数y=2lnx的图象相切时，求出a的值，即可得a的取值范围，进而求得x2>e>x1>1，即可求解．
本题考查了转化思想、数形结合思想，也考查了导数的几何意义，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：|a|=1，|b|=2，向量a，b的夹角为π3，
则a⋅(a+b)=a2+a⋅b=1+1×2×12=2．
故答案为：2．
利用向量的数量积公式转化求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
14.【答案】π2(答案不唯一)
【解析】解：由csx=sin(x+φ)，可知φ=π2+2kπ，k∈Z，
一个符合题意的φ的值为π2，
故答案为：π2(答案不唯一)．
函数是正弦函数，要求它是偶函数，只需要x=0时，函数取得最值，求出φ的一个值即可．
本题考查正弦函数的奇偶性，正弦函数的最值，是基础题．
15.【答案】π6
【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1内放置一个球，
则球的直径不能超过长方体的最短棱长，
所以球的直径应小于等于1，
从而半径r的最大值为12，所以最大球的体积为43π×(12)3=π6；
故答案为：π6．
在长方体ABCD-A1B1C1D1内放置一个球，则球的直径不能超过长方体的最短棱长，从而r的最大值为12，从而可求最大体积．
本题考球的几何性质，属基础题．
16.【答案】(0,12)
【解析】解：∵函数f(x)=13x3-1x+2sinx(x>0)，
∴f'(x)=x2+1x2+2csx≥2+2csx≥0，
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵f(1-x)>f(x)，
∴1-x>x>0，
解得0因此x取值范围是(0,12)，
故答案为：(0,12).
函数f(x)=13x3-1x+2sinx(x>0)，利用导数的于是放在可得f'(x)，判断出函数f(x)的单调性即可得出x取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵a3c=csAsinC.由正弦定理得sinA3sinC=csAsinC，
∴tanA=3，∵0(2)∵△ABC的面积为3，∴S△ABC=12bcsinA=3，∴bc=4，
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA=(b+c)2-3bc=52-3×4=13，
∴a=13．
【解析】(1)由正弦定理得sinA3sinC=csAsinC，可求A；
(2)由面积公式可求bc，由余弦定理可求得a．
本题考查正余弦定理，属基础题．
18.【答案】解：(1)该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为115i=115xi=115×15=1(万元)，
(2)样本(xi,yi)(i=1,2,⋅⋅⋅,15)的相关系数为r=i=115(xi-x-)(yi-y-)i=115(xi-x-)2i=115(yi-y-)2=×1670=35.31369.4≈35.337≈0.95．
(3)采用分层抽样，理由如下：由(2)知各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确地脱贫验收估计．
【解析】(1)该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值利用均值公式求解即可．
(2)样本(xi,yi)(i=1,2,⋅⋅⋅,15)的相关系数利用公式求解即可．
(3)采用分层抽样，判断抽样个体的特点，判断说明即可．
本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力．
19.【答案】解：(1)由焦点坐标知c=1，由短轴端点(0,3)知b=3，
所以a2=b2+c2=3+1=4，
故所求椭圆标准方程为x24+y23=1．
(2)假设椭圆C上存在一点P(x0,y0)，使得PF1⊥PF2，
则PF1⋅PF2=(-1-x0,-y0)⋅(1-x0,-y0)=0，即x02+y02=1，
联立x02+y02=1x024+y023=1，得x02=-8，此方程无解．
故椭圆上不存在点P，使得PF1⊥PF2．
【解析】(1)根据题意可知c，b，求出a2即可得出椭圆方程；
(2)假设存在P点满足条件，利用向量的数量积可得P点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解，即可知P点是否存在．
本题考查了椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20.【答案】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，点E是PD的中点．
连接BD交AC于F点，连接EF，
在△PBD中，∵EF是中位线，∴EF//PB．
又∵EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB//平面AEC．

(2)解：由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Axyz．
则C(2,0,0)，P(0,0,3)，E(1,-32,32)，
∴CE=(-1,-32,32)．
平面PAB的一个法向量为AC，AC=(2,0,0)．
设直线CE与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cs〈CE,AC〉|=|-2|2×12+(-32)2+(32)2=2211．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为2211．
【解析】(1)连接BD交AC于F点，连接EF，证明EF//PB.即可推出PB//平面AEC．
(2)以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Axyz.求出平面PAB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线CE与平面PAB所成角的正弦值即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得：x=160-100=60，m=200-160=40，y=40-20=20，n=200-120=80，
K2=200×(100×20-20×60)2160×40×120×80≈2.083>2.072，故有85%的把握认为疲乏症状与接种此种疫苗有关；
(2)因为x：y=3：1，所以采用分层抽样的方法抽出8人，其中无疲乏症状人数为6，有疲乏症状的人数为2，
则X的可能取值有10-1-1+2=10，10-1+2+2=13，10+2+2+2=16，其中p(X=10)=C22C61C83=328，p(X=13)=C21C62C83=1528，p(X=16)=C63C83=514，
则X的分布列如下：
则数学期望为E(X)=)=10×328+13×1528+16×514=554．
【解析】(1)利用表格数据分析得到x，y，m，n的值，代入公式求出K2，与2.072比较得出结论；
(2)先用分层抽样求出无疲劳症状与有疲劳症状的人数，再求出X的可能取值及相对应的概率，得到分布列及数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望及独立性检验，属于中档题，牢记公式是关键．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=(x-1)ex-12x2，定义域为(0,+∞),f(1)=-12．
因为f'(x)=xex-x，所以f'(1)=e-1．
所以y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y+12=(e-1)(x-1)，
即(2e-2)x-2y-2e+1=0．
(2)函数f(x)=(x-1)eax-12ax2+(a-1)x定义域为R，f(x)=eax+a(x-1)eax-ax+a-1=(ax-a+1)(eax-1)．
①当a=0时，f(x)=-1，显然无极值点；
②当a=1时，f(x)=x(ex-1)≥0，
所以f(x)在R上单调递增，故此时f(x)无极值点．
③当0x0时，f'(x)>0,a-1a所以f(x)在(-∞,a-1a)和(0,+∞)上单调递增，在(a-1a,0)上单调递减，
故此时f(x)有两个极值点．
④当a>1时，令f(x)=0，解得x=0或x=a-1a>0，
x<0或x>a-1a时，f(x)>0,0所以f(x)在(-∞,0)和(a-1a,+∞)上单调递增，在(0,a-1a)上单调递减，
故此时f(x)有两个极值点．
⑤当a<0时，令f(x)=0，解得x=0或x=a-1a>1，x<0或x>a-1a时，f'(x)>0,0所以f(x)在(-∞,0)和(a-1a,+∞)上单调递增，在(0,a-1a)上单调递减，故此时f(x)有两个极值点．
综上：当a=0或a=1时，无极值点；
当a<0或01时，有两个极值点．
【解析】(1)分别求出f(1)和f'(1)，即可求出切线方程；
(2)分a=0，a=1、a<0、01这几种情况，分别讨论f(x)单调性，即可得到对应的极值点的情况．
本题考查导数的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．
题号
一
二
三
总分
得分
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
20
120
接种疫苗
x
y
n
总计
160
m
200
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
X
10
13
16
p
328
1528
514