2021-2022学年河南省三门峡市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省三门峡市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若，其中为虚数单位，则复数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值带有一定的随机性，，之间的这种非确定性关系叫(    )

A. 函数关系 B. 线性关系 C. 相关关系 D. 回归关系

3. 有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，只能看到向上面的情况如图．对于命题：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证的真假，至少要翻开的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如图等高条形图：
   
   根据图中的信息，下列结论中不正确的是(    )

A. 样本中多数男生喜欢手机支付
B. 样本中的女生数量少于男生数量
C. 样本中多数女生喜欢现金支付
D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量

5. 李华在检查自己的学习笔记时，发现“集合”这一节的知识结构图漏掉了“集合的含义”，则这一部分最合适位置是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 根据如下样本数据，得到回归方程，则(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 若实数系一元二次方程在复数集内的根为，，则有，所以，韦达定理，类比此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程在复数集内的根为，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 执行下面的程序框图，如果输入的，，，则输出，的值满足(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择名志愿者，对其身高和臂展进行测量单位：厘米，左图为选取的名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为(    )

A. 名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 名志愿者身高和臂展成正相关关系
C. 可估计身高为厘米的人臂展大约为厘米
D. 身高相差厘米的两人臂展都相差厘米

10. 在下列命题中，正确命题是(    )

A. 若是虚数，则
B. 若复数满足，则
C. 若在复数集中分解因式，则有
D. 若，则

11. 小正方形按照如图所示的规律排列：
    每个图中的小正方形的个数构成一个数列，有以下结论：
    ；数列是一个等差数列；数列是一个等比数列；数列的递推公式为：其中正确的命题序号为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 我国古代著名的数学著作有部算书，被称为“算经十书”某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个他们四个人对这十部书阅读本数各不相同甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是(    )

A. 乙甲丙丁 B. 甲丁乙丙 C. 丙甲丁乙 D. 甲丙乙丁

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知复数满足，则______．
14. 下列命题：
    线性回归直线必过样本数据的中心点；
    如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于；
    当相关性系数时，两个变量正相关；
    残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；
    甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好．
    其中正确的命题有______填序号
15. 已知圆：有以下性质：过圆上一点的圆的切线方程是那么过圆：上两点、的切线的夹角为______．
16. 如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
    每次只能移动一个金属片；
    在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从号针移到号针最少需要移动的次数记为；
          ；
          ．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知复数，．
    若为纯虚数，求实数的值；
    若在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
18. 甲乙两校分别有名和名学生参加了某机构组织的某项技能考试，考试结果出来以后，该机构为了进一步了解各校学生通过的情况，从甲校随机抽取人，从乙校随机抽取人进行分析，相关数据如下表：

完成上面列联表．并据此判断是否有的把握认为该项技能通过情况与学生所在学校有关；
现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取人，再从所抽取的人中随机抽取人，求人全部来自乙校的概率．

19. 已知，，，证明：；
    用反证法证明：三个数中，，至少有一个大于或等于．
20. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的组数据进行检验．
求选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率；
若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出关于的线性回归方程；
若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得的线性回归方程是否可靠？

21. 观察下面的解答过程：已知正实数，满足，求的最小值．
    解：，
    ，
    当且仅当，结合得，时等号成立，
    的最小值为．
    请类比以上方法，解决下面问题：
    已知正实数，满足，求的最小值；
    已知正实数，满足，求的最小值．
22. 在直角坐标系中，，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
    曲线与交于，两点，求．
23. 已知函数．
    若，求不等式的解集；
    若函数的最小值为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于自变量和因变量，
当取值一定时，
的取值带有一定的随机性，
，之间的这种非确定性关系叫相关关系，
故选：
根据相关变量的意义知：当取值一定时，的取值带有一定的随机性，，之间的这种非确定性关系是相关关系．
本题考查的知识点是相关关系，熟练掌握并正确理解相关关系的定义，是解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据命题：所有大写字母的背面都写着奇数，
的正面是大写字母，如果的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；
的正面是小写字母，无论的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；
的正面是，无论的背面是大写字母还是小写字母，都无法判断命题的真假；
的正面是，如果的背面是大写字母，是命题是假命题．
综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是．
故选：．
分析题目进行简单的合情推理，能求出结果．
本题考查简单的合情推理、命题真假的判断等基础知识，考查推理判断能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，故A正确，
由左图可知，样本中的女生数量少于男生数量，故B正确，
由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，故C错误，
由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，故D正确．
故选：．
根据两幅图中的信息，依次判断选项，即可求解．
本题考查了等高条形图的应用问题，考查了对图形的认识问题，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了知识结构图的应用问题，是基础题．
根据知识结构图是用图形直观地再现知识之间的关联，结合集合的知识内容，即可得出正确答案．
【解答】
解：集合的知识结构图包含“集合的含义”“集合间的基本关系”和“集合的运算”三部分．
“集合的含义”应在“集合”后面的位置．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：根据表中数据可知，总体来看，当增加时，减小，所以，
且，
则，则．
故选：．
通过表格里的数据，容易判断回归方程中、的符号．
本题考查回归方程的应用，属于基本知识的考查．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为实数系一元三次方程在复数集内的根为，，，
所以
，
由对应系数相等，得，，
所以，
所以．
故选：．
根据已知条件，再类比一元二次方程，求出常数项和一次项系数即可求解．
本题考查类比推理，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：输入，，，
则，，不满足，故，
则，，不满足，故，
则，，满足，退出循环，输出的值为，的值为．
故，
故选：．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量，的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，身高极差大约是，臂展极差大于等于，故A正确；
对于，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，
展臂就会长一些，故B正确；
对于，身高为厘米，代入回归方程可得展臂等于厘米，但不是准确值，故C正确；
对于，身高相差厘米的两人展臂的估计值相差厘米，但不是准确值，
回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误；
故选：．
就会图形对各个选项分别判断即可．
本题考查了回归方程问题，考查对应思想，是一道常规题．
 

10.【答案】 

【解析】解；对于，取，则，故A错误；
对于，设，则，
由，则，即或，但不一定为实数，故B错误；
，由，得，
，故C正确；
设，，，则，
当，，不等，故D错误．
正确的命题是．
故选：．
举例说明，D错误；设，由不一定得到，说明B错误；求解实系数一元二次方程分解说明C正确．
本题考查复数的基本概念，考查实系数一元二次方程的解法，是基础的计算题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得
，，，，
发现规律：，
由此可得
，故正确；不是一个等差数列，故不正确；
数列不是一个等比数列，可得不正确；
而
故成立，故正确
综上所述，正确命题为
故选：．
根据题意，结合等差数列的求和公式算出，由此再对各个选项加以判断，可得和是真命题，而是假命题．
本题给出图形的特殊排列，叫我们依此判断命题的真假．着重考查了等差数列的通项与求和公式、数列递推式的推导等知识，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】

【解答】
解：假设甲说的是真话，则另外三人说的都是假话，
从而得到：“乙比丁少”，“甲比丙少”；“丙比丁少”；“丙比乙少”，
甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁，符合题意；
假设乙说的是真话，则另外三人说的都是假话，
从而得到“丙比乙少”，不合题意；
假设丙说的是真话，则另外三人说的都是假话，
从而得到“丙比丁多”，不合题意；
假设丁说的是真话，则另外三人说的都是假话，
从而得到“丙比丁少”不合题意．
故选：．
【分析】
分别假设说真话的是甲、乙、丙、丁，仔细分析四个人的话，由此能求出结果．
本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，是基础题．  

13.【答案】 

【解析】解：，，
，

故答案为：
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：对于：线性回归直线必过样本数据的中心点，故正确；
对于：如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于，故错误；
对于：当相关性系数时，两个变量正相关，故正确；
对于：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故错误；
对于：甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，故错误．
故答案为：．
直接利用课本中的相关的基础知识即回归直线方程和中心点的关系，相关系数和相关性强弱的关系，正相关和负相关的定义，残差分析，进一步确定的结论．
本题考查的知识要点：回归直线方程和中心点的关系，相关系数和相关性强弱的关系，正相关和负相关的定义，残差分析，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，圆：，即，
点，过点的切线方程为，即，其倾斜角为，
点，过点的切线方程为，即，其斜率，故该切线的倾斜角为，
则两条切线的夹角为；
故答案为：．
根据题意，求出过、两点的切线方程，分析切线的倾斜角，由此分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题．
 

16.【答案】

【解析】解：设是把个盘子从柱移到柱过程中移动盘子之最少次数
时，；
时，小盘柱，大盘柱，小柱从柱柱，完成，即；
时，小盘柱，中盘柱，小柱从柱柱，用种方法把中、小两盘移到柱，大盘柱；再用种方法把中、小两盘从柱柱，完成，
，
，

以此类推，，
故答案为：；．
根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减的移动次数都移动到柱，然后把最大的盘子移动到柱，再用同样的次数从柱移动到柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．
本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．
 

17.【答案】解：为纯虚数，
则，解得．
，
，
在复平面上对应的点在第三象限，
，解得，
故实数的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数和纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：列联表如下：

，
有的把握认为该项技能通过情况与学生所在学校有关．
现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取人，
则甲校抽取人，设为，，乙校抽取人，，，，
从人中任取人共有，，，，，，，，，，共种，
其中人全部来自乙校的情况共有，，，共种，
故人全部来自乙校的概率为． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】证明：因为，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，
三式相加得，
即，当且仅当时取等号．
证明：假设三个数中，，全部小于，
则必有，
但，
与矛盾，
故假设不成立，
三个数中，，至少有一个大于或等于． 

【解析】根据，，三式相加，即可证明结论；
假设问题的反面即三个数中，，全部小于，推出矛盾，说明假设不成立，即可证明原命题结论成立．
本题考查不等式的证明，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设抽到不相邻的两组数据为事件，
从组数据中选取组数
据共有种情况：

，
其中数据为月份的日期数．
每种情况都是可能出现的，事件包括的基本事件有种．
．
选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率是
由数据，求得．
由公式，求得
关于的线性回归方程为．
当时，，；
同样当时，，；
该研究所得到的回归方程是可靠的． 

【解析】根据题意列举出从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有种．根据等可能事件的概率做出结果．
根据所给的数据，先做出，的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．
本题考查等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，是一个综合题目．
 

21.【答案】解：由正实数，满足得：
．
当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为．
正实数，满足，得，


当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为． 

【解析】类比已知解题方法，将变为，展开后结合基本不等式，即可求得答案；
将化为，将变形为，类比所给解题方法，结合基本不等式，求得答案．
本题考查基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为普通方程为．
曲线的极坐标方程为，整理得，
根据转换为直角坐标方程为．
把直线的参数方程为为参数，代入，
得到和为、对应的参数，
所以，，
所以． 

【解析】直接利用转换关系，把参数方程与普通方程和极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换．
利用直线和曲线的位置关系，将问题转换为一元二次方程根和系数关系式，再求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：若，则，
由可得：
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，不等式的解集为；
，
当且仅当时取等号，，
由，解得：或． 

【解析】代入，再分类讨论解不等式即可，
利用绝对值不等式求得最小值，再求的值即可．
本题考查带绝对值的不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．