2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期中考试数学试题word版含答案

这是一份2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期中考试数学试题word版含答案，共16页。试卷主要包含了2. ， 【答案】等内容，欢迎下载使用。


说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 总分 150 分,考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一．单选题（共 8 小题，每小题 5 分）
 


1．已知向量a , b ，且 AB  a  2b ，BC  5a  6b ，CD  7a  2b ，则一定共线的三点是（）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
2. 已知sin  sin   1 ， cs  cs    2 2 ， ，   (0,  ) ，则    （）
 
3
 
32
C． D．  
3633
下列命题中是真命题的有（）
一组数据 2，1，4，3，5，3 的平均数、众数、中位数相同；
有 A、B、C 三种个体按 3：1：2 的比例分层抽样调查，如果抽取的 A 个体数为 9，则样本容量为 30；
若甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；
D．一组数 1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的 80%分位数为 4.

已知向量a ，b 满足 a  4, b  1, 2 2  ，且a  2b   3a  b  ．则向量a 与向量b 的夹角是（）
A． B． C． 2D． 5
6336
从 2，3，5，7 这四个数中任取三个数组成无重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的
概率为（）
1
3
2
3
3
4
5
6
6． 2 cs 20 cs 40  （）
2 sin 40
3 2
 
1
2
C．
3

D． 1
3

已知i , j 为互相垂直的单位向量， a  i  2 j , b  3i    4 j ，且a 与a  b 的夹角为锐角，则 的取值范围为（）
A． 0, 
B． 0,10 10, 
C． ,0
D． , 2  2, 0
函数 f  x  sinx  csx(  0) 在区间 ,  上单调递减,则实数 的取值范围是（）
A．  1 ,1
B．  0, 1 
 2

C．  1 , 5 

D． 0,1
 2 
2 
 2 4 

二．多选题（共 4 小题，每小题 5 分，有漏选得 3 分，有错选得 0 分）
9．已知事件 A, B ，且 P  A  0.4 ， P(B)  0.3 ，则（）
A．如果 B  A ，那么 P( A  B)  0.4 , P( AB)  0.3
如果 A 与 B 互斥，那么 P( A  B)  0.7 , P( AB)  0
如果 A 与 B 相互独立，那么 P( A  B)  0.7 ， P( AB)  0.12
如果 A 与 B 相互独立，那么 P( AB)  0.42 , P( AB)  0.18
已知某地区有小学生120000 人，初中生75000 人，高中生55000 人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000 的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30% ， 70% ，80% ．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了440 人B．每名学生被抽到的概率为 1 150
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为 53% D.估计高中学生的近视人数约为44000
下列命题中是真命题的有（ ）
存在 ，  ，使tan      tan  tan 
在ABC 中，若sin2A  sin 2B ，则ABC 是等腰三角形
在ABC 中，“ A  B ”是“ sin A  sin B ”的充要条件
在ABC 中，若cs A 
5 ， cs B  3 则cs C 的值为 63
13565
在ABC 中，角 A ， B ， C 所对的对边分别为a ， b ， c ，下列命题中正确的是（）
若 A  B  C ，则sin A  sin B  sin C
若a  40 ， b  20 ， B  25 ，则满足条件的ABC 有且仅有一个
若a  b cs C ，则ABC 是直角三角形
若ABC 为锐角三角形，且cs 2A 
3 sin A  2  0 .若b  c  6
，则ABC 外接圆面积
3
的最小值为9
第Ⅱ卷（非选择题）
三．填空题（共 4 小题，每小题 5 分）
已知数据 x , x , x ,, x 的方差为 8，则数据 1 x  5,
1 x  5,
1 x  5, ,
1 x  5 的方
1 2 3n
差为 .
2 12 22 32 n
14．已知sin       2 ，则cs  2  2  .
6
3

 3


 π 
关于 x 的方程 3 sin x cs x  cs2 x  k  1 在 x  0, 2  上有两个解，则实数 k 的取值范围为
．



 
设| AB | 20 ，若平面上点 P 满足，对于任意t  R ，有| AP  t AB | 5 ，则 PA  PB 的最小值
为 ．
四、解答题
17．（10 分）如图，在ABC 中， AD  1 AB  1， AC  2 ，BAC  60 ，点 E 是CD 的中点，
3

记 AB  a ， AC  b ．
  
用a , b 表示CD , AE ；
求AED 的余弦值．
18．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3 局的学校获胜，比赛结束）．约
定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在
21
男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 3 ，乙校获胜的概率为 3 ，在女生排球比赛中，每
12
局甲校获胜的概率为 3 ，乙校获胜的概率为 3 ，设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
求恰好比赛3 局，比赛结束的概率；
求甲校以3:1 获胜的概率．
19．2021 年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中
教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分 100 分），从该市参加测试的数
学老师中抽取了 100 名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第
二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率
分布直方图．
求 a 的值以及这 100 人中测试成绩在[80，85）的人数；
估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和中位
数（保留两位小数）；
若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取 6 人作学习心得交流分享，并在这 6
人中再抽取 2 人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有 1 名老师被抽到的概率．
20．已知函数 f  x  1 2
3 sin x cs x  2 cs2 x ．
求函数 f  x 的单调减区间；(2)当 x   7 , 5  时，求函数 f  x 的值域．
 12 12 
3
如图所示，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处
1海里的 B 处有一艘走私船，
3
在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以20海里/小时的速度
追截走私船，此时走私船正以 20 海里/小时的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜．问：缉
私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．
已知ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且2a  bcsC  ccsB
求角 C；
若a  2 , b  3 , CD 为角 C 的平
线，求CD 的长；
若a cs B  bcsA  4 ，求锐角ABC 面积的取值范围.
高一期中考试数学答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共4小题）
三．填空题（共4小题）
13．2. ． ． 16．-75．
四．解答题（共6小题）
17． 【答案】(1)，.
(2)
【解析】
(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.
(2)根据题意，得，，且，由(1)得，
，，所以，可以分别求出，然后，直接利用余弦定理即可求出的余弦值
(1)因为是的中点，，所以，，
.
.
(2)在中，，，，
所以，，，且，
所以，，
，
是的中点，所以，.
因此，在中，，，，利用余弦定理得，
.
18. 【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分两种情况讨论：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜；②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：恰好比赛局，比赛结束的情况有：
甲校获胜，概率为，
乙校获胜，概率为，
恰好比赛局，比赛结束的概率．
(2)
解：甲校以获胜的情况有：
①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，
概率为：；
②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，
概率为，
甲校以获胜的概率．
19. 【答案】(1);20；
(2)分,76.67分
(3)
【解析】
（1）根据频率之和为1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；
（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；
（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.
(1)由题意得： ，解得 ；
这100人中测试成绩在[80，85）的人数为 （人）；
(2)平均数为：
（分），
设中位数为m,且 ，则 ，
解得 ，故第50%分数位76.67分；
(3)第三组频率为 ，第四组频率为，
第五组频率为，
故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，
三组人数为3人，2人和1人，
记第三组抽取的人为 , 第四组抽取的人为 , 第五组抽取的人为 ,
则抽取2人的所有情况如下：
共15种，
其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有
共9种，
故第四组至少有1名老师被抽到的概率为 .
20. 【【答案】 (1)单调减区间是，
(2)
【解析】
（1）先对函数化简变形得，
由，可求出函数的减区间，
（2）由，得，再利用正弦函数的性质可求出函数的值域
(1)
，
，
，
令，，
解得，，
所以函数的单调减区间是，；
(2由，得，
所以，所以，
所以函数的值域为
21． 【答案】缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时.
【解析】在中，由余弦定理求得，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得∠BCD，得，由速度公式可得时间．
【详解】
设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，
则海里，BD=20t海里．
在中，由余弦定理，有
则.
又，，
∴∠ABC=45°，故B点在C点的正东方向上．
∴∠CBD=90°+30°=120°，在中，由正弦定理得，，
，
∴∠BCD=30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．
又在中，∠CBD=120，∠DCB=30°，∴∠CDB=30，.
，解得，
故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．
22． 【答案】(1)
(2)
(3)
(1)解：由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
(2)解：设由得
.
解得，即角平分线的长度为
(3)解：设外接圆半径为R，由
，即，即，∴
所以的面积
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
C
C
A
B
C
题号
9
10
11
12
答案
ABD
ACD
AC
ACD