人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案理含解析

第九节　直线与圆锥曲线的综合问题

第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系

‖知识梳理‖

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

►常用结论

1．直线与椭圆有且只有一个交点⇔直线与椭圆相切．

2．直线与双曲线有且只有一个交点⇔直线与渐近线平行或直线与双曲线相切(注意消元后二次项系数不为0)．

3．直线与抛物线有且只有一个交点⇔直线平行于抛物线的对称轴(或重合)或直线与抛物线相切．

2．弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|

＝ _·

＝ ·|y1－y2|

＝ _·．

►常用结论

1．过焦点且垂直于椭圆、双曲线的对称轴的弦长即为通径长|AB|＝.

2．过抛物线焦点的弦长问题注意定义的应用．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)

(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)

(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　)

(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

答案：C

3．(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________．

答案：16

三、易错自纠

4．(2019届湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)

A．相离 B．相切

C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心

解析：选B　设圆心为M，过点A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，∴|AB|＝|BB1|＋|AA1|，即|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．

5．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)

A．1 B．2

C．1或2 D．0

解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)

A． B．

C．5 D．

解析：选D　过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.由题意得p＝2，x1＋x2＝，∴|AB|＝2＋＝.故选D．

|题组突破|

1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)

A．至多一个 B．2

C．1 D．0

解析：选B　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离大于半径，

∴>2，

∴0<m2＋n2<4，

∴0<＋<＋＝<1，

∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，

∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B．

2．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)

A．k>－ B．k<

C．k>或k<－ D．－<k<

解析：选D　由双曲线渐近线的几何意义知－<k<.

3．(2019届河南九校联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C．(－3，0) D．(－2，0)

解析：选A　因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故选A．

►名师点津

直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点

(1)判定方法

①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．

②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．

(2)关注点

①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应讨论二次项系数是否为零的情况．

②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．

【例1】　(2019届黄山一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P是椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值是4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，·＝0，且||＋||＝，求此时直线AC的方程．

[解]　(1)由题意知，当点P是椭圆上(或下)顶点时，△PF1F2的面积取得最大值．此时，S△PF1F2＝·2c·b＝4，又e＝＝，a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2，故所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)由(1)知F1(－2，0)，由·＝0得AC⊥BD．

①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时，||＋||＝14，不合题意．

②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时，

其方程为y＝k(x＋2)．

由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

所以||＝＝.

直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理可得||＝.

由||＋||＝＝，

解得k2＝1，则k＝±1.

故所求直线AC的方程为y＝±(x＋2)．

►名师点津

弦长问题的求解方法有：(1)求出两交点坐标，用两点间距离公式求解；(2)用弦长公式：|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)求解，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．

|跟踪训练|

1．(2019届皖北名校2月联考)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，由消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝

＝

＝，

∴当m＝0时，|AB|取得最大值，故选B．

2．(2017年全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A．16 B．14

C．12 D．10

解析：选A　由抛物线的方程可知焦点F的坐标为(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，过点F的直线l1的方程为x＝my＋1(m≠0)，由得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝＝4，所以|AB|＝|y1－y2|＝4(1＋m2)；同理可得，|DE|＝4，因此|AB|＋|DE|＝4(1＋m2)＋4≥16，当且仅当m＝±1时，等号成立．所以|AB|＋|DE|的最小值为16，故选A．

3．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．

解析：易知抛物线y＝x2的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝x＋1.由消去x，得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，利用抛物线定义可知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝.

答案：

弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．常见的命题角度有：(1)由中点弦确定直线方程；(2)由中点弦确定曲线方程；(3)由中点弦解决对称问题．

●命题角度一　由中点弦确定直线方程

【例2】　已知(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．

[解析]　设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减并化简得＝－.又由题意知x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.

[答案]　x＋2y－8＝0

●命题角度二　由中点弦确定曲线方程

【例3】　过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．

[解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y＝，则y′＝，所以切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，

即y＝x－.又点M(2，－2p)位于直线MA上，

于是有－2p＝×2－，即x－4x1－4p2＝0；

同理有x－4x2－4p2＝0，

因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，

则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.

由线段AB的中点的纵坐标是6得，

y1＋y2＝12，即＝＝12，

即＝12，解得p＝1或p＝2.

故抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.

[答案]　x2＝2y或x2＝4y

●命题角度三　由中点弦解决对称问题

【例4】　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　)

A． B．

C．2 D．3

[解析]　由双曲线的定义知2a＝4，解得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)．不妨设x1<x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，所以＝－1，故x1＋x2＝－，又x1x2＝－，所以x1＝－1，x2＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝＝＝，因为中点M在直线y＝x＋m上，所以＝－＋m，解得m＝，故选A．

[答案]　A

►名师点津

处理中点弦问题常用的2种方法

(1)点差法

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

(2)根与系数的关系

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

|跟踪训练|

4．(2019届福建福州9月质检)抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)

A．y＝2x2 B．y2＝2x

C．x2＝2y D．y2＝－2x

解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则有两式相减可得2p＝×(y1＋y2)．因为P(1，1)为弦AB的中点，所以y1＋y2＝2.由x－y＝0得直线AB的斜率kAB＝1，所以2p＝·(y1＋y2)＝kAB×2＝2，所以p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，故选B．

5．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

解析：选D　∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，

∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，

由消去x，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，

设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题意知＝1，

∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1，故选D．