2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.9第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案理含解析北师大版

第九节　圆锥曲线的综合问题

第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系

授课提示：对应学生用书第191页

知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0，消去y（或消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元二次方程，

即消去y，得ax2＋bx＋c＝0．

（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

• 温馨提醒 •

1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．

2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．

1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（　　）

A．相交　　　　　　　 B．相切

C．相离  D．不确定

解析：直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1，1）．又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

答案：A

2．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）

A．1条  B．2条

C．3条  D．4条

解析：过（0，1）与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．

答案：C

3．（易错题）直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是（　　）

A．1  B．2

C．1或2  D．0

解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

答案：A

知识点二　弦长公式

设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则

|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝ ·|y1－y2|

＝ ·Ｗ．

1．（2021·张掖市高三诊断）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝（　　）

A．  B．

C．5  D．

解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2．∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝．

答案：D

2．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M（1，1）为中点的弦所在直线方程是_________．

解析：设过M（1，1）点的方程为y＝kx＋b，则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋（1－k），联立方程组则有（1＋2k2）x2＋（4k－4k2）x＋（2k2－4k－2）＝0，所以＝·＝1，解得k＝－，故b＝，所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0．

答案：x＋2y－3＝0

授课提示：对应学生用书第192页

题型一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断　　

1．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为（　　）

A．　　　　　　　　　 B．0

C．或0  D．8或0

解析：由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，

若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，

综上可知k＝0或．

答案：C

2．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋（y＋1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）∪（0，＋∞） B．（－∞，－2）∪（0，＋∞）

C．（－3，0）   D．（－2，0）

解析：因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t．将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16（t2＋2t）＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3．

答案：A

3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由得（1－k2）x2－4kx－10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），

则

解得－＜k＜－1，即k的取值范围是．

答案：D

直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

题型二　直线与圆锥曲线位置关系的基本应用　　

考法（一）　弦长与方程问题

[例1]　（2021·贵阳摸底）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y＝kx＋m（k＜0）与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程．

[解析]　（1）∵椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴＝．

又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0，椭圆C的焦点F1（－c，0），

∴＝，解得c＝1，

∴a＝，b＝1，

∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．

（2）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），

由原点O到直线l：y＝kx＋m（k＜0）的距离为，

得＝，

即m2＝（1＋k2）．①

将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

∴Δ＝16k2m2－4（1＋2k2）（2m2－2）＝8（2k2－m2＋1）＞0，

x1＋x2＝－，x1x2＝．

又以线段AB为直径的圆经过点F2，∴·＝0，

即（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝0，

∴（x1－1）（x2－1）＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝0，

即（1＋k2）x1x2＋（km－1）（x1＋x2）＋m2＋1＝0，

∴（1＋k2）·＋（km－1）·＋m2＋1＝0，

化简得3m2＋4km－1＝0．②

由①②，得11m4－10m2－1＝0，∴m2＝1．

又k＜0，∴满足Δ＝8（2k2－m2＋1）＞0．

∴直线l的方程为y＝－x＋1．

求解弦长的常用方法

（1）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．

（2）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2，（y1－y2）2，代入弦长公式．

（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．

考法（二）　中点弦问题

[例2]　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y＝kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1，点P的坐标为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：k1k为定值．

[解析]　（1）由题意知解得

故椭圆C的方程为＋＝1．

（2）证明：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆C上的点，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－，

所以k1＝＝－＝－．

又k＝，故k1k＝－，为定值．

1．“点差法”的四步骤

处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

2．“点差法”的常见结论

设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：

（1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）中的中点弦问题：kAB·kOP＝－；

（2）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中的中点弦问题：kAB·kOP＝；

（3）抛物线y2＝2px（p＞0）中的中点弦问题：kAB＝（y0为中点P的纵坐标）．

[题组突破]

1．（2021·衡阳模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

A．2　　　　　　　　 B．

C．2  D．4

解析：法一：设直线AB的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，由消去x得y2－4ty－4＝0，

∴由yM＝＝2t＝2，得t＝1，

∴S△AOB＝|OF||y1－y2|＝

＝2．

法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得kAB＝＝＝1，

从而直线AB的方程为y＝x－1，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋y2＋4＝8，

而点O到直线AB的距离d＝＝，

从而S△AOB＝|AB|d＝2．

答案：A

2．（2021·石家庄摸底）已知点E在y轴上，点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|＝12，则p＝_________．

解析：如图，由题意知F．

∵M为EF的中点，

∴点M的横坐标为．

设直线EF的方程为y＝k，k≠0．

由

得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则

∵x1＝，∴x2＝p．

当x＝p时，y2＝2p2，∴N（p，±p）．

∵|NF|2＝＋（±p）2，

∴144＝＋2p2，∴p2＝64，∵p＞0，∴p＝8．

答案：8

3．已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点N（12，15），则双曲线C的离心率为_________．

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，

由

两式相减得

＝，

则＝＝．

因为直线AB的斜率k＝＝1，

所以＝1，则＝，

所以双曲线的离心率e＝＝ ＝．

答案：

　直线与圆锥曲线位置关系中的核心素养

数学运算——在研究位置关系中应用

数学运算是得到数学结果的重要手段．在该部分主要表现为理解运算对象——直线和圆锥曲线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结论．

[例]　已知椭圆r：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆r上．设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＋＋＝（　　）

A．－　　　　　　 B．－3

C．－  D．－

[解析]　因为椭圆r：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，且a2＝b2＋c2，

所以可求得椭圆的标准方程为＋＝1．

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），

因为A，B在椭圆上，

所以＋＝1，＋＝1，

两式相减得k1＝＝－×＝－×，

即＝－，

同理可得＝－，＝－，

所以＋＋＝－，

因为直线OD，OE，OM的斜率之和为1，

所以＋＋＝－×1＝－．

[答案]　A

该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解，还考查了数学运算核心素养．根据题意——中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起到简化计算流程的效果．由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养．

[对点训练]

已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k1∈[1，2]，则k2的取值范围为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设A（x1，y1），M（x，y），则B（－x1，－y1）．因为A，M均在双曲线上，所以－＝1，①　－＝1，②　所以＝，即＝．因为双曲线的离心率e＝＝，所以＝1＋＝，所以＝，所以k1·k2＝·＝＝＝，所以k2＝，因为k1∈[1，2]，所以k2∈．

答案：A