北师大版高考数学一轮复习第3章第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式课时作业理含解析

同角三角函数的基本关系及诱导公式

授课提示：对应学生用书第301页

[A组　基础保分练]

1．（2021·辽宁五校联考）sin 1 470°＝（　　）

A．　　　　　　　　　 B．

C．－  D．－

解析：sin 1 470°＝sin（1 440°＋30°）＝sin（360°×4＋30°）＝sin 30°＝．

答案：B

2．若θ∈，则 ＝（　　）

A．sin θ－cos θ  B．cos θ－sin θ

C．±（sin θ－cos θ）  D．sin θ＋cos θ

解析：因为＝＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，所以原式＝sin θ－cos θ．

答案：A

3．（2021·山东省实验中学第二次诊考）已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：∵sin θ＋cos θ＝，

∴1＋2sin θcos θ＝，

∴2sin θcos θ＝．故sin θ－cos θ＝－＝－＝－．

答案：B

4．已知α∈（0，π），且cos α＝－，则sin·tan（π＋α）＝（　　）

A．－  B．

C．－  D．

解析：sin·tan（π＋α）＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈（0，π），且cos α＝－，所以sin α＝＝＝，即sin·tan（π＋α）＝．

答案：D

5．（2021·贵阳十二中期中测试）已知＝－，则的值是（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：∵×＝＝＝1，

∴＝－．

答案：D

6．（2021·会宁一中月考）已知cos＝，则sin的值是（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：易知sin＝sin＝sin＝sin＝－cos＝－．

答案：B

7．已知π<α<2π，cos（α－7π）＝－，则sin（3π＋α）·tan的值为_________．

解析：∵cos（α－7π）＝cos（7π－α）

＝cos（π－α）＝－cos α＝－，∴cos α＝．

∴sin（3π＋α）·tan＝sin（π＋α）·＝sin α·tan＝sin α·

＝sin α·＝cos α＝．

答案：

8．（2021·太原一中月考）已知sin（3π＋α）＝2sin，则的值为_________．

解析：∵sin（3π＋α）＝2sin，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴tan α＝2，

∴＝＝－．

答案：－

9．已知cos＝，且π<x<π．

求：（1）cos x＋sin x的值；

（2）的值．

解析：（1）∵π<x<π，

∴π<x＋<2π，

∴sin<0．

∵cos＝，

∴sin＝－，

∴sin x＋cos x＝－，

∴sin x＋cos x＝－．

（2）∵cos＝cos x－sin x＝，

∴cos x－sin x＝，

∴sin x＝－，cos x＝－，

∴tan x＝7，

∴＝－．

10．（1）化简：；

（2）已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋（－1）x＋m＝0（m∈R）的两根，求sin θ－cos θ．

解析：（1）原式＝

＝＝－1．

（2）由题意可得，

sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，

可得（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ，

即＝1＋m，即m＝－．

∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，

即sin θ－cos θ>0，∵（sin θ－cos θ）2

＝（sin θ＋cos θ）2－4sin θcos θ

＝－2m＝1－＋＝，

∴sin θ－cos θ＝＝．

[B组　能力提升练]

1．已知tan x＝，则sin xcos x＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：法一：∵tan x＝，∴＝，即cos x＝3sin x，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝，又1＋2sin xcos x＝（sin x＋cos x）2＝16sin2x，∴sin x·cos x＝＝＝．

法二：∵tan x＝>0，∴sin x与cos x同号，∴sin xcos x>0，不妨设x是第一象限角，且角x终边上一点的坐标为（3，1），∴sin x＝，

cos x＝，∴sin xcos x＝．

答案：C

2．已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin＝1，则sin β的值为（　　）

A．  B．

C．－  D．－

解析：由2tan（π－α）－3cos＋5＝0，化简得－2tan α＋3sin β＋5＝0；由tan（π＋α）＋6sin（π＋β）＝1，化简得tan α－6sin β＝1．联立方程得

解得sin β＝．

答案：A

3．（2021·聊城模拟）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α的值是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝．

答案：C

4．（2021·吉安期末测试）已知tan（－2 019π＋θ）＝－2，则2sinsin＝（　　）

A．－2  B．

C．  D．

解析：因为tan（－2 019π＋θ）＝－2，

所以tan θ＝－2．

则2sinsin

＝（sin θ－cos θ）（sin θ＋cos θ）

＝sin2θ－cos2θ＋（－1）sin θcos θ

＝

＝

＝

＝．

答案：B

5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于（　　）

A．－  B．

C．0  D．

解析：∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，

∴tan θ＝3，∴＝＝＝．

答案：B

6．（2021·九江一中月考）已知cos＝，则cos－sin2＝_________．

解析：cos－sin2＝cos－sin2＝－cos－sin2＝cos2－cos－1＝－．

答案：－

7．已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2 019）的值为_________．

解析：因为f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），

所以f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）

＝asin α＋bcos β＝3，

所以f（2 019）＝asin（2 019π＋α）＋bcos（2 019 π＋β）

＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）

＝－asin α－bcos β＝－3．

答案：－3

8．（2021·天津调研）已知α是第三象限角，且f（α）＝．

（1）化简f（α）；

（2）若tan（π－α）＝－2，求f（α）的值；

（3）若α＝－420°，求f（α）的值．

解析：（1）由题可得，

f（α）＝

＝＝－cos α．

（2）因为tan（π－α）＝－2，所以tan α＝2．

所以sin α＝2cos α．

所以（2cos α）2＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝．

因为α是第三象限角，所以cos α＝－，

所以f（α）＝．

（3）因为cos（－420°）＝cos 420°＝cos 60°＝，

所以f（α）＝－cos α＝－．

[C组　创新应用练]

1．（2021·兰州质检）向量a＝，b＝（cos α，1），且a∥b，则cos＝（　　）

A．－  B．

C．－  D．－

解析：∵a＝，b＝（cos α，1），且a∥b，

∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，

∴cos＝－sin α＝－．

答案：A

2．已知倾斜角为θ的直线与直线x－3y＋1＝0垂直，则＝（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：直线x－3y＋1＝0的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率k＝－3，

∴tan θ＝－3，

∴＝＝，

把tan θ＝－3代入得，原式＝＝．

答案：C

3．（2021·长春四校第一次联考）已知－＜φ＜π，cos为函数f（x）＝x2－x＋的零点，则tan（－φ）的值为_________．

解析：因为函数f（x）＝x2－x＋＝，所以函数f（x）的零点为x＝，所以cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－＜0．又－＜φ＜π，所以－＜φ＜0，所以cos φ＝，于是tan（－φ）＝－tan φ＝－＝－＝．

答案：