北师大版高考数学一轮复习第3章第4节三角函数的图像与性质课时作业理含解析

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第四节 三角函数的图像与性质授课提示：对应学生用书第307页[A组　基础保分练]1．下列函数中，周期为π的奇函数为（　　）A．y＝sin xcos x　　　　　 B．y＝sin2xC．y＝tan 2x  D．y＝sin 2x＋cos 2x解析：y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D三项都不正确．答案：A2．y＝|cos x|的一个单调递增区间是（　　）A．  B．[0，π]C．  D．解析：将y＝cos x的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称，x轴上方（或x轴上）的图像不变，即得y＝|cos x|的图像（如图）．答案：D3．（2021·广州模拟）函数f（x）＝sin（x＋φ）在区间上单调递增，常数φ的值可能是（　　）A．0  B．C．π  D．解析：由函数f（x）＝sin x的图像可以看出，要使函数f（x）＝sin（x＋φ）在区间上单调递增，结合选项，经验证知，需将f（x）＝sin x的图像向左平移个单位长度，故选项D正确．答案：D4．（2021·石家庄质检）已知函数f（x）＝sin＋cos 2x，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）A．  B．C．  D．解析：f（x）＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin．由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈N），所以f（x）的一个单调递减区间为．答案：A5．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是（　　）A．2  B．3C．＋2  D．2－解析：因为x∈，所以cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2，1]，所以b－a＝3．答案：B6．若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（　　）A．－  B．－C．  D．解析：由题意得f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2sin．因为函数f（x）为奇函数，所以θ＋＝kπ，k∈Z，故θ＝－＋kπ，k∈Z．当θ＝－时，f（x）＝2sin 2x，在上为增函数，不合题意．当θ＝时，f（x）＝－2sin 2x，在上为减函数，符合题意．答案：D7．若函数f（x）＝sin ωx（ω>0）在区间上是减少的，则ω的取值范围是_________．解析：令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ（k∈Z），得＋≤x≤＋，因为f（x）在上是减少的，所以得6k＋≤ω≤4k＋3．又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0．即≤ω≤3． 答案：8．已知函数f（x）＝2sin＋1（x∈R）的图像的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈（1，2），则函数f（x）的最小正周期为_________．解析：由函数f（x）＝2sin＋1（x∈R）的图像的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝k＋，又ω∈（1，2），所以ω＝，从而得函数f（x）的最小正周期为＝．答案：9．已知函数f（x）＝－sin2x＋sin xcos x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在x∈上的值域．解析：f（x）＝－sin2x＋sin xcos x＝－×＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－．（1）T＝＝π．（2）∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－≤sin≤1．∴f（x）在x∈上的值域为．[B组　能力提升练]1．（2021·六安一中月考）y＝2sin的单调递增区间为（　　）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）解析：∵函数可化为y＝－2sin，∴2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）．即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）．答案：B2．（2021·衡水质检）同时满足f（x＋π）＝f（x）与f＝f的函数f（x）的解析式可以是（　　）A．f（x）＝cos 2x  B．f（x）＝tan xC．f（x）＝sin x  D．f（x）＝sin 2x解析：由题意得所求函数的周期为π，且图像关于x＝对称．A．f（x）＝cos 2x的周期为π，而f＝0不是函数的最值．所以其图像不关于x＝对称．B．f（x）＝tan x的周期为π，但图像不关于x＝对称．C．f（x）＝sin x的周期为2π，不合题意．D．f（x）＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，所以D满足条件．答案：D3．（2021·沈阳教学质量监测）函数y＝sin2 x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈的单调递增区间是（　　）A．  B．C．  D．解析：把函数的解析式变形，得y＝＋sin 2x＋3×＝2＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋2．若x∈，则2x＋∈，由<2x＋<，得0<x<，则函数的单调递增区间是．答案：C4．（2021·晋城模拟）已知函数f（x）＝2sin的图像的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈（1，3）．若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最小值是（　　）A．1  B．C．2  D．π解析：因为函数f（x）＝2sin的图像的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈（1，3），得ω＝2．由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝．答案：B5．设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），若f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则φ＝_________．解析：由f（x）的最小正周期大于2π，得>．又f＝2，f＝0，得＝－＝，所以T＝3π，则＝3π⇒ω＝，所以f（x）＝2sin（ωx＋φ）＝2sin．由f＝2sin＝2⇒sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z．又|φ|<，取k＝0，得φ＝．答案：6．已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω>0），f＋f＝0，且f（x）在区间上递减，则ω＝_________．解析：因为f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋≤x≤＋，因为f（x）在区间上递减，所以⊆，从而有解得12k＋1≤ω≤，k∈Z，所以1≤ω≤．因为f＋f＝0，所以x＝＝为f（x）＝2sin的一个对称中心的横坐标，所以ω＋＝kπ（k∈Z），ω＝3k－1，k∈Z，又1≤ω≤，所以ω＝2．答案：27．（2021·绍兴期末测试）已知函数f（x）＝2sin x·，x∈．（1）求f；（2）求f（x）的最大值与最小值．解析：（1）因为cos＝cos＝，sin＝，所以f＝2××＝．（2）f（x）＝2sin x·＝2sin x·＝sin 2x＋（1－cos 2x）＝sin＋．因为x∈，所以2x－∈．又因为y＝sin z在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当2x－＝，即x＝时，f（x）有最大值；当2x－＝－，即x＝0时，f（x）有最小值0．[C组　创新应用练]1．若函数y＝sin在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为（　　）A．  B．C．  D．解析：由题意得2ω＋＝＋2kπ（k∈Z），解得ω＝＋kπ（k∈Z），因为ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝．答案：D2．（2021·太原模拟）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω>0）在（0，π）上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为（　　）A．  B．C．  D．解析：法一：易得f（x）＝2sin，设t＝ωx－，因为0<x<π，所以－<t<ωπ－．因为函数f（x）在（0，π）上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－≤2π，解得<ω≤．法二：当ω＝2时，f（x）＝2sin，设t＝2x－，因为0<x<π，所以－<t<，此时函数f（x）在（0，π）上有且仅有两个零点x＝，，满足题意，只有选项B的取值范围中含有数值2．答案：B3．将函数y＝sin2x－cos2x的图像向左平移m（m>0）个单位长度以后得到的图像与函数y＝ksin xcos x（k>0）的图像关于对称，则k＋m的最小值是（　　）A．2＋  B．2＋C．2＋  D．2＋解析：将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x的图像向左平移m个单位长度后对应图像的函数解析式为y＝－cos[2（x＋m）]＝－cos（2x＋2m）（m>0），此函数的图像与y＝ksin xcos x（k>0）的图像关于对称，设点P（x0，y0）为y＝－cos（2x＋2m）图像上任意一点，则y0＝－cos（2x0＋2m），点P（x0，y0）关于对称的点为Q，则点Q在y＝ksin xcos x＝sin 2x（k>0）的图像上，即－y0＝sin＝sin，由得sin＝cos（2x0＋2m），所以k＝2，sin＝cos（2x0＋2m），sin＝cos（2x0＋2m），cos＝cos（2x0＋2m），所以2m＝－＋2nπ（n∈Z），即m＝－＋nπ（n∈Z），又m>0，所以m的最小值为，故k＋m的最小值为2＋．答案：D