2021-2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中数学试题（C卷）含解析

2021-2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中数学试题（C卷）

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式代入计算．

【详解】．

故选：D．

2．正的边长为1，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，但要注意向量夹角的定义．

【详解】．

故选：B．

3．要得到的图象，只需将函数的图象（       ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】根据三角函数的平移变换规则判断即可；

【详解】解：将向右平移个单位长度得到．

故选：D．

4．函数（）的最大值是（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】由同角平方关系并令，结合正弦函数、二次函数的性质判断的区间单调性，进而求最值.

【详解】．

令，则．而在上单增，

所以当时，．

故选：A．

5．已知是所在平面上的一点，，，则点一定在（       ）

A．内部 B．边所在直线上

C．边所在直线上 D．边所在直线上

【答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算可得出，即可得出结论.

【详解】，所以，、、三点共线．

即点一定在边所在直线上.

故选：B.

6．已知，，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功为（       ）

A．－5 B．5 C．－13 D．13

【答案】A

【分析】根据功与数量积的关系求解可得.

【详解】因为，，，，

所以，，，

所以，

故选：A.

7．设，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件两边平方结合同角关系可求，结合同角关系求.

【详解】因为，所以，，

与异号．而已知，所以，．

因为，所以取．

故选：C.

8．若函数在内单调递增，则a的最大值是(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简f(x)解析式，求出f(x)的单调递增区间，与比较即可得a的最大值．

【详解】．

，，

∴f(x)的增区间是，，

∵f(x)在上单调递增，而0，

∴f(x)的增区间k取0时为，满足0，

∴a的最大值为．

故选：D．

二、多选题

9．（       ）

A．是正数 B．是负数 C．大于 D．大于

【答案】ACD

【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案.

【详解】由于 ，故2弧度的角是第二象限角，

则 ，故A正确，B错误；

， ，故,故C，D正确；

故选：ACD

10．已知向量与不共线，且，则下列结论中错误的是(       )

A．与垂直 B．与垂直

C．与垂直 D．与平行

【答案】BCD

【分析】ABC：验证两个向量的数量积是否为零即可判断；D：根据向量共线定理即可判断.

【详解】对于A，∵，∴与垂直，故A正确；

对于B，∵向量与不共线，∴，

∴，故与不垂直，故B错误；

对于C，∵向量与不共线，∴，

故，∴与不垂直，故C错误；

对于D，∵向量与不共线，∴不存在实数λ，使得，故与不平行，故D错误．

故选：BCD．

11．下列结论正确的是（　　）

A．是第三象限角

B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

C．若角的终边过点，则

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；

对于B选项，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；

对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；

对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.

故选：BC.

12．对于函数有下述结论，其中正确的结论有（       ）

A．的定义域为

B．是偶函数

C．的最小正周期为

D．在区间内单调递增

【答案】AB

【分析】对于A，由，且求解判断；对于B，由函数的奇偶性定义判断；对于C，由周期函数的定义判断；对于D，根据，判断.

【详解】对于A，因为，且，所以且，，A正确．

对于B，因为，所以为偶函数，B正确．

对于C，由知，是周期函数，但最小正周期不为，C不正确，

对于D，因为，，所以在区间内不单调递增．

故选：AB．

三、填空题

13．在平行四边形中，，，，为的中点，则______．（用、表示）

【答案】

【分析】在平行四边形中，利用向量加法的运算法则以及平面向量基本定理进行运算处理．

【详解】如图：．

故答案为：．

14．已知函数图象的一部分如图所示，则此函数的最小正周期是______．

【答案】

【分析】利用函数的图象确定的值，即可求出函数的周期

【详解】由函数的最高点的纵坐标可得．

将点代入中得，，即，

因为，所以．

又因为是函数的一个零点，且是图象递增由负到正穿过轴形成的零点

所以，解得，所以函数的最小正周期是．

故答案为：

15．已知，，若与垂直，则实数k的值是___________.

【答案】

【分析】求出两个向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.

【详解】由已知可得，，

因为与垂直，则，

解得.

故答案为：.

16．已知，为的最小正周期，向量，，且，则的值是_____________.

【答案】6

【分析】根据余弦函数的周期公式求得函数的最小正周期，即的值，进而根据，求得，切化弦后，再对目标式化简整理可得.

【详解】因为为的最小正周期，所以，又因为，所以.

由于，所以

.

故答案为：6.

四、解答题

17．已知函数的周期为，且，为正整数．

(1)求的值；

(2)设是的最小值，求函数的单增区间．

【答案】(1)，3

(2)，

【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求出的取值范围，再根据，即可得解；

（2）由（1）可得再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】(1)解：由，解得，又，得，．

(2)解：由（1）可得，则就是．

由，，解得，．

故此函数的单调递增区间是，．

18．设向量，，其中．

(1)若，求的值；

(2)若，的夹角为锐角，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用坐标表示向量，利用坐标法求向量的模即可求解；

（2）夹角为锐角，向量的数量积大于0，即可求的范围，另外需要考虑两向量平行的情况.

【详解】(1)（1）因为，，所以．

因此，即，

解得．

(2)（2）因为，的夹角为锐角，所以，得，

解得．

当，平行时，，，．

显然时，，同向，夹角不为锐角，所以．

故的取值范围是．

19．李明回答解答“若，求的值”的过程如下：

试类比上述解法，求当时，下列各式的值：

(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)

(2)

(3)1

(4)

【分析】利用“1”的代换和弦切互化法可一一求出（1）（2）（3）（4）中三角函数式的值.

【详解】(1)原式．

(2)原式．

(3)原式．

(4)原式．

20．已知向量，，且.

(1)求关于x的方程的实数根；

(2)若函数最小值是－，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，求得，解三角方程求x即可（2）利用余弦函数的定义域和值域求得的范围，再利用二次函数的性质，依据题意，分类讨论，求得正实数的值.

【详解】(1).

因为，所以，

由可得

所以，即

故关于x的方程的实数根是；

(2)由已知

所以，

由得

当时，当且仅当时，与已知矛盾

当时，当且仅当时，

由，得.

当时，当且仅当时，，

由，得，与矛盾

综上所述，

21．某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示.已知扇形AOB的圆心角，半径为200米.现需要N修建的花园为平行四边形OMNH，其中M，H分别在半径OA，OB上，N在上.

(1)求扇形AOB的弧长和面积；

(2)设，平行四边形OMNH的面积为S.求S关于角θ的函数解析式，并求S的最大值.

【答案】(1)米，平方米

(2)，平方米

【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式即可求解；

（2）过N作NP⊥OA于P，过H作HE⊥OA于E，利用三角函数，求出和的长度，即可得出S关于角θ的函数，利用二倍角和辅助角公式化简解析式，结合三角函数的性质即可求解.

【详解】(1)扇形AOB的弧长为(米)

扇形AOB的面积为(平方米)

(2)过N作NP⊥OA于P，过H作HE⊥OA于E，如图所示

因为，所以，

所以.

于是

，.

因为，所以

当即时，S取到最大值，且最大值为平方米.

22．如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，．

(1)求的值；

(2)若恒成立，求实数的最小整数值．

【答案】(1)3

(2)2

【分析】（1）利用向量的线性表示及向量共线的推论即得；

（2）利用基本不等式可得，进而即得.

【详解】(1)连接．

因为，，，

所以

．

因为，，共线，

所以，．

(2)显然，所以等价于，

即．

因为，当且仅当，

即，时，取到最小值．

于是，

∴．

故实数的最小整数值是2．