安徽省皖中名校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（A卷）（Word版附解析）

2022-2023学年下学期高一期中联考

数学（A卷）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教版必修第二册第六章——第八章第4节.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足是虚数单位，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.等边的边长为1，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向，以每小时海里的速度航行30分钟后到达处.又测得灯塔在货轮的东北方向，则（    ）

A.20    B.40    C.    D.

4.如图，在正六边形中，（    ）

A.0    B.    C.    D.

5.已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是.若的夹角是，且母线的长是高的2倍，则该圆锥的体积是（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设与所成的角为，若游船要从点航行到正北方向上位于北岸的码头点处，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ）

A.若，则    B.若，则

C.若，则    D.若，则

10.在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ）

A.直线共面    B.直线相交

C.    D.

11.在中，角的对边分别是，且，则的值可以是（    ）

A.    B.    C.    D.

12.如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立.此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中正确的有（    ）

A.若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有

B.若为内一点，且，则是的内心

C.若为内一点，且，则

D.若的垂心在内，是的三条高，则

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量.若，则实数的值是__________.

14.在中，，则角的大小是__________.

15.设点是外接圆的圆心，，则的值是__________.

16.依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是__________.

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

如图，在中，，点是线段上一点.

（1）若点是线段的中点，试用和表示向量；

（2）若，求实数的值.

18.（12分）

已知复数，其中是虚数单位，.

（1）若为纯虚数，求的值；

（2）若，求的取值范围.

19.（12分）

如图，在长方体中，截面.

（1）确定点的位置；

（2）若，求线段的长.

20.（12分）

在中，角的对边分别是，且向量和向量互相垂直.

（1）求角的大小；

（2）若的周长是，求外接圆的半径.

21.（12分）

三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，两两垂直.

（1）设直三棱锥外接球的半径为，证明：；

（2）若直三棱锥外接球的表面积为，求的最大值.

22.（12分）

如图，某学校有一块平面四边形空地，已知，且.

（1）求两点间的距离；

（2）设的角的对边分别是，且满足，现要在内做一个最大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.

高一数学（A卷）参考答案

1.【解析】.故选C.

2.【解析】.故选B.

3.【解析】.在中，.故选A.

4.【解析】.故选A.

5.【解析】设圆锥的母线长是，则，高是，圆锥底面半径是.于是该圆锥的体积是.

6.【解析】因为，所以，即.

于是.故选A.

7.【解析】如图，.因此.故选B.

8.【解析】设.因为，所以.于是（是外接圆的半径），.又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得.因此.于是直三棱柱的表面积是.故选D.

9.【解析】对A，.A正确.对B，A.B正确.对C，，

或不正确.对D，，D正确.故选ABD.

10.【解析】由于分别是的重心，所以分别延长交

于中点.因此正确.因为，

所以，因此.直线相交，B正确.

因为是的重心，所以.因此不正确.

因为，所以.因此.D正确.故选ABD.

11.【解析】因为，所以.于是或，解得，或.因此，或.故选CD.

12.【解析】对是等边三角形，设其高为，则，代入奔驰定理就得到，.A正确.对，由与得，是的重心.B不正确.对C，，即.与奔驰定理比较就得到，.C正确.对D，是的垂心，则，因此.同理可得，.代入，得，.D正确.故选ACD.

13.【答案】-2【解析】因为，所以.

14.答案】【解析】因为.

所以.

15.【答案】【解析】设点是边的中点，则

即.因此.

16.【答案】【解析】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，其体积是.

17.【解析】（1）因为点是线段的中点，且，

所以.

（2）因为，且，

所以.

因此.

18.【解析】（1）因为为纯虚数，

所以，解得.

（2）由，得.

因此.

因为，所以当时，；

当时，，.故的取值范围是.

19.【解析】（1）平面，

所以平面.又平面，

平面平面，根据公理2，得，

即三点共线，所以点为线段与的交点.

（2）连接，再连接，交于点.由（1）知点为与交点.

四边形为平行四边形.

是中点.又是的中点，

所以点是的重心，.

又因为，所以.

故.

20.【解析】（1）因为互相垂直，

所以，

即.

由余弦定理得，.

因为，所以.

（2）因为，

所以.

因此就是，

，

即，解得.

故外接圆的半径是1.

21.【解析】（1）由两两互相垂直，将之补成长方体知，.

即.

故.

（2）由得，.因此.

于是

.

当且仅当时取等号，

故的最大值为32.

22.【解析】（1）在中，因为，

所以.

于是

.故两点间的距离是7.

（2）由正弦定理得，，即.

由余弦定理得，.又，所以.

设内切圆的半径是.由（1）可知，则，

因此.

在中，由正弦定理得，

所以.

于是

.

又，所以.当时，取得最大值14，从而内切圆的半径取得最大值.故最大圆形花圃的面积是.