2021-2022学年安徽省黄山市高一下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年安徽省黄山市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数相等的条件，结合虚部的概念求解即可

【详解】因为，故，故复数的虚部为2

故选：D

2．以下说法正确的是（       ）

A．零向量与任意非零向量平行 B．若，，则

C．若(为实数)，则必为零 D．和都是单位向量，则

【答案】A

【分析】根据向量的性质和定义即可逐一判断.

【详解】解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；

对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；

对于C,时，或，故错误；

对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．

故选：A．

3．已知，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题错误的序号是（       ）

①若，，则                    ②若，，则

③若， 则                 ④若，，则

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

【答案】C

【分析】①可由线面平行的判定定理进行判断；②可由线面垂直的位置关系进行判断；③可由面面垂直的判定定理进行判断．④可由面面垂直的性质定理进行判断；

【详解】①因为，时，也有可能，故不成立．故①错误；

②因为，， 位置不定，则位置不定.故②错误；

③因为，，由面面垂直的判定定理可得，故③正确；

④因为，时，不一定成立，有可能是，故④错误

故①②④错误

故选：C．

4．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法得到为两直角边长分别为4和6的直角三角形，进而可得其周长.

【详解】如图，根据斜二测画法得到为直角三角形，

两直角边长分别为4和6，

所以斜边长为，

故的周长为．

故选：B．

5．现有以下两项调查：①从台刚出厂的电视机中抽取台进行质量检查；②某社区有户家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，低收入家庭户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（       ）

A．①②都采用简单随机抽样

B．①②都采用分层随机抽样

C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样

D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样

【答案】C

【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特点，判断选项.

【详解】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，

②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样.

故选：C

6．袋子里装有大小质地都相同的个白球，个黑球，从中不放回地摸球两次，用表示事件“第次摸得白球”， 表示事件“第次摸得白球”，则与是（       ）

A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件

【答案】D

【分析】根据相互独立的乘法公式即可判断.

【详解】由题意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故与不相互独立，同时与可以同时发生，也不对立，

故选：D

7．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语科，再从物理、历史科中选科，从化学、生物、地理、政治科中选科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别写出所有选科的组合，再写出满足甲考生的组合，根据古典概型的概率公式计算即可.

【详解】在物理、历史任选一科只有两种选法；

而在化学、生物、地理、政治中任选二科有六种选法；

甲考生随机选科的组合共有12种，即

物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，

历化生，历化地，历化政，历生地，历生政，历地政.

满足要求的组合为：物化地共一种；

所以甲考生选择物理、化学、地理的概率为 .

故选：C.

8．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据与的面积之比为可得，再以为基底表达，结合向量共线的性质求解即可

【详解】因为与的面积之比为，易得.故，即，整理得.因为，且均不共线，故，解得

故选：D

二、多选题

9．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（       ）

A． B．的共轭复数为

C．的实部与虚部之和为 D．在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】ACD

【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.

【详解】由题得，复数，

可得，则A正确；

的共轭复数为，则B不正确；

的实部与虚部之和为，则C正确；

在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确.

故选：ACD

10．下列说法正确的有（       ）

A．掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立

B．袋中有大小质地相同的个白球和个红球.从中依次不放回取出个球，则“两球同色”的概率是

C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为，乙的中靶率为，则“至少一人中靶”的概率为

D．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出只，那么“取出的鞋不成双”的概率是

【答案】ACD

【分析】根据相互独立事件的概率公式可验证是否相互独立，即可判断A,根据排列组合以及古典概型的公式即可判断B,D，根据对立事件的概率即可判断C.

【详解】对于A,掷一枚质地均匀的骰子一次，则,,而=“出现3点”，所以,则，故事件和相互独立，

对于B,两球同色，则取出的两球要么两个白球，要么两个红球，故“同色”的概率为,故B错误，

对于C,甲乙两份均未中靶的概率为，“至少一人中靶”的概率为，故C正确，

对于D,“取出的鞋不成双”的概率为，故正确,

故选：ACD

11．下列命题正确的是（       ）

A．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件

B．点是边的中点，若，则在的投影向量是

C．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为

D．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底

【答案】ABC

【分析】对A，根据向量平行的性质与数量积的运算判断即可；对B，根据平行四边形法则，结合单位向量的方法可得是以为直角的等腰直角三角形，进而判断；对C，根据、、三点共线，设，将替换为后与已知式子对比，用t表示，根据二次函数性质即可判断；对D，根据基底向量的性质结合平行四边形法则判断即可

【详解】对A，若存在负数，使得，则成立；

当时，可能夹角为钝角，不满足，故A正确；

对B，由，结合平行四边形法则，可得与同向的单位向量和与同向的单位向量，

和与同向的单位向量构成正方形的两边与对角线.故，且为的角平分线.又是边的中点，

由三角形三线合一可得是以为直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.

故B正确；

对C，如图所示：

∵在上，即、、三点共线，

则可设，

又∵，∴，

∵，则，，

令，

时，取得最大值为，故C正确

对D，已知平面内的一组基底，，则向量，为以，为边的平行四边形的两条对角线，

故，一定不共线，故能作为一组基底，故D错误；

故选：ABC

12．在棱长为的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（       ）

A．平面

B．平面平面

C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为

D．动点的轨迹所形成区域的面积是

【答案】ABD

【分析】对A,根据面面平行即可判断线面平行，对B，由线线垂直可证线面垂直，进而可得面面垂直,对C，由正方体的特征可得截面为正六边形，即可求面积，对D,由面面平行可得点的运动轨迹，进而可求面积.

【详解】对于A,在正方体中，由平面，平面，平面，

同理可得平面，又，所以平面平面,而平面,故平面，故A对,

对于B,因为,所以平面,又平面,

因此,同理可得,又,故平面,因为平面，故平面平面，所以B对，

对于C,可知过三点平面截正方体所得的截面为正六边形,且正六边形的变长为,所以截面正六边形的面积为，故C错，

对于D,由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形边上以及内部运动，而三角形是边长为的正三角形，故面积为，故D对，

故选：ABD

三、填空题

13．已知向量，，满足，，，，，则_________.

【答案】6

【分析】由，得，两边平方化简可得答案

【详解】由，得，

两边平方，得，

因为，

所以，得.

故答案为：.

14．已知复数满足，则复数___________.

【答案】

【分析】根据复数的乘方与除法运算求解即可

【详解】，故

故答案为：

15．某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________.

【答案】

【分析】根据平均数和方差的计算方法可列出关于和的方程组，解之即可．

【详解】平均数为，即①，

方差为，

即②，

由①②解得，或，，

所以当，时，；当，，

故答案为：．

16．如图，已知平行四边形中，，，将沿对角线翻折至所在的位置，若二面角的大小为，则过，，，四点的外接球的表面积为___________.

【答案】

【分析】过正与正的中心E，F分别作平面，平面的垂线，两线交于点O得外接球球心，再求出OA长即可得解.

【详解】由已知得与均为边长是的正三角形，取AC中点G，连，如图：

则有，于是得是二面角的平面角，，显然有平面，

即有平面平面，平面平面，

令正与正的中心分别为E，F，过E，F分别作平面，平面的垂线，则二垂线都在平面内，它们交于点O，

从而得点O是过，，，四点的外接球球心，连OA，则OA为该外接球半径，

由已知得，而，于是得，在中，，

而，在中，，

所以过，，，四点的外接球的表面积为.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数，，其中是虚数单位，，为实数．

(1)若，，求的值；

(2)若 ，求，的值.

【答案】(1)

(2)；

【分析】（1）根据复数代数形式的加减运算化简，再根据复数模的公式计算可得；

（2）根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.

（1）解：因为，，又，，所以，，所以，所以.

（2）解：，，又，所以，所以 ，解得.

18．已知向量,.

(1)当时,求；

(2)当，，求向量与的夹角.

【答案】(1)或

(2)

【解析】（1）向量,，则，.由,可得即，即，解得或,当,则,则,所以，当，， ，综上       .

（2）由,,则由,可得,解得,所以,, 又,所以.

19．如图，在三棱柱中，为的中点，，，．

(1)证明：平面；

(2)若的外接圆半径为，，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等边三角形可得线线垂直，进而根据线线垂直即可证明线面垂直，

（2）根据等体积法即可求解.

（1）由题意的：均为等边三角形，为的中点，所以又所以平面.

（2）因为的外接圆半径为，由正弦定理得，所以，进而可得,因为，，,所以平面因为平面所以到平面的距离等于到平面的距离，即，

20．某校有高中生人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：

方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．

方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为的样本，计算得到男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为．

(1)根据图表信息，求，的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

(2)计算方案二总样本的均值及方差；

(3)你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）

【答案】(1)；；频率分布直方图见解析；

(2)；

(3)答案见解析

【解析】（1）（1）因为身高在区间，的频率为，频数4，所以，，所以身高在区间，的频率为，在区间，的频率为，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：；

（2）把男生样本记为，，，，其均值记为，方差记为；把女生样本记为，，，，其均值记为，方差记为，则总样本均值，又因为，所以，同理可得，所以总样本方差；

（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况.

21．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.

(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；

(2)求异面直线与所成角的正切值；

(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）根据三角形中位线可得线线平行，进而可得线面平行，由线面平行可证明面面平行，

（2）利用线线平行，即可找到异面直线所成的角，进而在三角形中进行求解即可，

（3）根据线线垂直，可得线面垂直，即可找到的位置.

（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，则平面MNE//平面PAC证明：在中，M，E分别为AB，PB的中点，所以ME//AP，同理，NE//PC，又平面平面所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC又ME，所以平面MNE //平面PAC   

（2）连接，，因为分别是的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角．因为，，平面，所以平面．又平面，所以．设四棱锥的底面边长为，取中点为,连接由于,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以， 所以；

（3）存在点F符合题意，且AF=AD，证明：取OB得中点Q，连接，在中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，所以QE⊥平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以QE⊥BC,又在中，，,所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF在，PF= =,BF= =所以，故又所以平面PBC,所以存在点F符合题意。所以存在这样的F点，且

22．如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，.

(1)求的面积；

(2)设点，分别为边，上的动点,线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）化简已知求出即得解；

（2）设, 由面积求出，设,求出,,,再利用函数求解.

（1）解：因为, 所以,化简得, 又,所以.所以.

（2）解：设,因为D为中点,所以, 因为的面积为面积的, 所以,即, 设,则, 又共线,设，则, 所以,解得, 所以, 又, 所以, 又,化简得, 又,所以, 所以,当时等号成立.,当时等号成立.综上.