青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷（较易）（含答案解析）

青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，矩形∽矩形，且则：的值是(    )

A. ：
B. ：
C.
D.

2. 如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为(    )

A. ： B. ： C.  D. ：

3. 两个相似多边形的一组对应边分别是和，如果它们的周长之和是，那么较大的多边形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5. 如图，点是线段上一点，且，分别以，为边在线段的同侧作正方形和正方形，连结交于，设正方形的周长和面积分别为，，正方形的周长和面积分别为，，下列一定能求出与面积差的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在边长为的正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，连接；若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，，，则：的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知∽，和是它们的对应高线，若，，则与的周长比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

9. 已知∽，它们的周长分别为和，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

11. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 已知与是位似图形，位似比是：，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最大内角的度数为______．
14. 如图，在中，，点是边上任意一点，连接，将沿翻折，得连接，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为______．

15. 已知∽，和是它们的对应角平分线，若：：，的周长为，则的周长是______．
16. 以坐标原点为位似中心，相似比为，将放大得到，点的对应点在第一象限，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，等腰梯形是儿童公园中游乐场的示意图为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以为对称轴，且与原游乐场的相似比为请你画出新游乐场的示意图．

18. 如图，矩形中，，分别在，上，矩形∽矩形，
    且，试求．

19. 如图，已知和点．
    把绕点顺时针旋转得到，在网格中画出；
    用无刻度的直尺，在边上画出点，使要求保留作图痕迹，不写作法．

20. 如图，将矩形绕点旋转，点落到对角线上的点处，点、分别落在点、处．
    联结、，求证：四边形是平行四边形；
    联结并延长交边于点，求证：．

21. 如图，与相似，，是的高，，是的高，求证．

22. 如图，已知∽，，，求的度数．

23. 如图，已知∽，求证：∽．

24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中．
    将绕逆时针旋转后的图形为，并写出点的坐标；
    以为位似中心，在网格中作出的位似图形，使其位似比为：，并写出点坐标．

25. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    以原点为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为：；
    作出绕点顺时针旋转后的图形；
    在的条件下，求出点所经过的路径长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质，相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
根据矩形的线段关系结合相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
【解答】
解：矩形∽矩形，
，即，
整理得，，
负值不合题意，已舍去，
：．  

2.【答案】 

【解析】解：设原矩形的长为，宽为，
小矩形的长为，宽为，
小矩形与原矩形相似，

：：
故选：．
设原矩形的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设较大多边形与较小多边形的周长分别是，则．
因而
根据面积之和是得到．
解得：．
故选：．
根据相似多边形相似比即对应边的比，周长的比等于相似比，即可解决．
本题考查相似多边形的性质．牢记面积之比等于相似比的平方是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
∽，
，
，
解得，
水面以上深度为米．
故选：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，
点，，在同一线段上，
，
∽，
，
设，，
则，
即，
，
，，
，
，，
，
，
，
故选：．
设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，由正方形的性质可得，推出∽，可得，设，，则，即，可得，，，可得，由为，可得，即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，整式的化简，解题的关键是利用设出的未知数表示出与．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于点，交于点，

在边长为的正方形中，点是对角线上一点，
，
又，
，
，，
，
四边形是正方形，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
正方形边长为，
，，
，
，
故选：．
过点作，交于点，交于点，利用正方形的性质可证明≌，得，从而得出的长，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，，
：的值为，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应中线，，，
与的周长比：：．
故选：．
根据相似三角形的周长比等于对应的高线的比进行求解即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：和的周长分别为和，
和的周长比为：，
∽，
，即，
解得，，
故选：．
根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查图形的位似变换，以原点为位似中心，相似比为时，点在直线上，可分别位于点的两侧，且，结合点坐标可求解点的坐标，进而求解．
【解答】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点的对应点的坐标是或．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
与的周长之比为：，
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，位似比是：，
与相似比是：，
与的面积比是：．
故选：．
利用为位似的性质得到与相似比是：，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换：位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；位似比等于相似比．也考查了相似三角形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个三角形的两个角分别为、，
第三个角，即最大角为，
两个三角形相似，
另一个三角形的最大内角度数为，
故答案为：．
先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．
本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质．
 

14.【答案】或 

【解析】解：设，，如图，

四边形是平行四边形，
∽，，
，
，
过点作交的廷长线于点，，
，
舍去；
如图，

四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
或舍去，
综上所述，的值为：或，
故答案为：或．
分两种情况画图：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，利用勾股定理即可求出结果．
本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程，解题的关键是综合运用以上知识．
 

15.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应角平分线，：：，
与的相似比为：，
，
的周长为，
，
解得：．
故答案为：．
根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比求解即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：与位似．与的相似比为：，
与位似比为：，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似变换、轴对称变换，作位似变换的图形的依据是相似的性质．
画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【解答】
先作轴对称图形，再把它利用位似变换放大为相似比为：的等腰梯形，如图：．  

18.【答案】解：，
，
，
，
，
矩形∽矩形，
，
即，
，
解得，
，
． 

【解析】根据矩形的面积求出，然后根据相似多边形的对应边成比例列式求出，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，利用矩形的面积求出是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，点即为所求． 

【解析】利用旋转变换的性质可得答案；
构造相似三角形，使其相似比为：，从而得出点的位置．
本题主要考查了作图旋转变换，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：如图，

矩形是由矩形旋转得到，
，，，
≌，
，，
，，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
如图，连接，

在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质，矩形的性质证明≌，得出，，再证明，即可证明四边形是平行四边形；
先证明≌，得出，利用等腰三角形的性质得出，进而证明，证明∽，再利用相似三角形的性质即可得出．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：∽，与是对应高，与是对应高，
，，
． 

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：，，
，
∽，
，，
，，
，
∽，
，
． 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据相似三角形的性质得出，，求出，，推出∽，根据相似三角形的性质得出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∽．
 

23.【答案】证明：∽，
，，
，
，
，
∽． 

【解析】根据题意∽，可得：，，变形可得：，又因为，即，从而求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形判定条件是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：如图所示：即为所求，点的坐标为；

如图所示：即为所求，点的坐标为． 

【解析】直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

25.【答案】解：如图，即为所求．

如图，即为所求．

，
点所经过的路径长为． 

【解析】根据题意找到点，，，再连线即可．
根据题意找到点，，再连线即可．
点所经过的路径是以为圆心，长为半径的圆上圆心角为的弧，根据弧长公式求解即可．
本题考查作图位似变换、旋转变换、弧长公式，熟练掌握位似变换、旋转变换以及弧长公式是解答本题的关键．