第1章 图形的相似单元测试（B卷提升篇）（含解析）-2024-2025学年九年级上学期数学同步单元检测AB卷(青岛版)

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青岛版9上数学 第1章图形的相似单元测试（ B卷提升篇）（含解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(6,0)，B(0,8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的相似比为k的△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为(    )A. (0,0)，2 B. (2,2)，12 C. (2,2)，2 D. (1,1)，122.如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则▱ABCD的周长为(    )A. 21B. 28C. 34D. 423.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD.若点A、C的横坐标分别为1、2，且AB= 5，则线段CD的长为(    ) A. 2 B. 5 C. 4 D. 2 54.如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH=ℎ，AB=c，若内接正方形DEFG的边长是x，则ℎ，c，x的数量关系为(    )A. x2+ℎ2=c2 B. 12x+ℎ=c C. ℎ2=xc D. 1x=1ℎ+1c5.如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD，OB=3OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得CD的长度，便可知AB的长度.本题依据的主要数学原理是(    )A. 三边成比例的两个三角形相似B. 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等C. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似D. 平行线分线段成比例6.如图，面积为16的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=1，则小正方形的周长为(    )A. 7B. 6C. 5D. 47.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点H，F分别在边AD，BC上，点E，G在对角线AC上.如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为(    )A. 52 B. 3 C. 5 D. 2 28.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2=DE⋅BD，连接EF，则EF的最小值为(    )A. 3−1 B. 1 C. 32 D. 129.如图，△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，有如下五个结论①AE⊥AF；②EF：AF= 2：1；③AF2=FH⋅FE；④∠AFE=∠DAE+∠CFE ⑤ FB：FC=HB：EC.则正确的结论有(    ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个10.下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH.下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③OH=12CN；④ 2OH+BH=CH.其中正确的命题有(    )A. 只有①② B. 只有①②④ C. 只有①④ D. ①②③④第II卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：①△AC1C为等腰三角形；②CA=CB1；③α=135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤ABB1C= 6− 22中，正确的结论的序号为______．12.如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，点A(−1.4,1.5)的对应点为A′(−0.2,−3)，点C位于(−1,0)处，若点B的对应点B′的横坐标为3，则点B的横坐标为______．13.如图，刘强在巴中塔子山游乐园游玩时，为了测量彩虹桥高度，在地面C处放一面镜子，通过镜子恰好看到彩虹桥顶部A，测得镜子与彩虹桥的距离BC=12米，他与镜子的距离CE=1.5米.已知他的眼睛距离地面的高度DE=1.7米，则彩虹桥的高度AB为______米.14.如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.连接PQ，设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤4).当t为______时，△APQ和△ABC相似．15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE.过点A作AN//DE交BD于点N，若AD=2CD，则ANCE= ______．16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论： ①∠EBG=45∘; ②△DEF∽△ABG;③S△ABG=32S△FGH; ④AG+DF=FG．其中正确的是          .(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)如图，D为△ABC的边AB上一点，AD=2，BD=6，AC=4.求证：△ACD∽△ABC．18.(本小题6分)如图，晓波拿着一根笔直的小棍BC，站在距某建筑物约30米的点N处(即EN=30米)，把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC/​/DE，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上.已知晓波的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN.求这个建筑物的高度DE．19.(本小题8分)如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE．(1)求证：△CAE∽△BAD；(2)若AC：BC=1：2，求BDCE的值．20.(本小题8分)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．(1)求证：△ADF∽△EAB；(2)若AF=8，求线段BE的长．21.(本小题10分)如图，在▵ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且AD⋅AB=AE⋅AC.求证：▵ADE∽▵ACB．22.(本小题10分)同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”.下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．23.(本小题12分)如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于H．(1)探索AF与DE的关系；(2)求证：点H为DG中点；(3)求GFCF的值．24.(本小题12分)如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．(1)求证：△PBE∽△QAB；(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由．答案和解析1.【答案】B 【解析】如图所示，位似中心F的坐标为(2,2)，k的值为DFFO=12.故选B．2.【答案】C 【解析】【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．根据平行四边形的性质得AB/​/CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AE，AB，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB/​/CF，AB=CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE=DFAB=12，∵DE=3，DF=4，∴AE=6，AB=8，∴AD=AE+DE=6+3=9，∴平行四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=2×(8+9)=34．故选：C．3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，根据相似比等于位似比计算即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，点A、C的横坐标分别为1、2，，∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，∴ABCD=12，∵AB= 5，∴CD=2 5．4.【答案】D 【解析】如图，设CH与GF交于点M．∵四边形DEFG是正方形，∴GF//DE，∠GDE=∠DGF=90∘，∴△CGF∽△CAB，∴GFAB=CMCH．∵CH⊥AB，∴∠DHM=90∘，∴四边形DHMG是矩形，∴DG=MH．∵CH=ℎ，AB=c，正方形DEFG的边长是x，∴MH=GF=x，∴CM=CH−MH=ℎ−x，∴xc=ℎ−xℎ，∴xc=1−xℎ，∴1c=1x−1ℎ，∴1x=1ℎ+1c，故选D．5.【答案】C 【解析】解：∵OA=3OD，OB=3OC，∴OA：OD=OB：OC=3：1，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．故选：C．利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似解答．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．6.【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，∴∠B=∠C=∠EFG=90°，∴∠BFE+∠DFC=∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF=∠DFC，∴△BEF∽△CFD，∴BECF=BFCD，又∵BC=CD=4，BF=1，则CF=3，∴BE3=14，∴BE=34，在Rt△BEF中，由勾股定理可求得EF=54，∴小正方形的边长为54，∴则小正方形的周长=4EF=5，故选：C．由条件可证明△BEF∽△CFD，则有BECE=BFCD，代入可求得BE，在Rt△BEF中可求得EF，即小正方形的边长，进而可求出小正方形的周长．本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，利用相似三角形的对应边的比相等求得BE的长是解题的关键．7.【答案】A 【解析】解：连接FH交AC于O，如图：∵四边形EFGH是菱形，∴FH⊥AC，OF=OH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AD//BC，∴∠ACB=∠CAD，在△AOH与△COF中，∠CAD=∠ACB∠AOH=∠COFOH=OF，∴△AOH≌△COF(AAS)，∴AO=CO，Rt△ABC中，AB=2，BC=4，∴AC= AB2+BC2= 22+42=2 5，∴AO=12AC= 5，∵∠CAD=∠HAO，∠AOH=∠D=90°，∴△AOH∽△ADC，∴AHAC=AOAD，即AH2 5= 54，∴AH=52，故选：A．连接FH交AC于O，易证得△AOH≌△COF(AAS)，可得OA=OC，由勾股定理求得AC的长，求得OA的长，证△AOH∽△ADC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．此题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键．8.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明∠BEC=90°，取BC中点Q，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半．先证明通过△CDE∽△BDC，说明∠BEC=90°，取BC中点Q，则EQ=12BC=1，FQ=12AC= 3，再由E、F、Q三点共线时，EF可以取到 3−1，即可得到答案．【解答】解：在△CED和△BDC中，∵CD2=DE⋅BD，∴CDDB=DEDC，∵∠EDC=∠CDB，∴△CDE∽△BDC，∴∠DEC=∠DCB=90°，∴∠BEC=180°−∠DEC=90°．如图，取BC中点Q，则EQ=12BC=1．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，∴AC= AB2−BC2=2 3，∵F为AB中点，∴FQ//AC且FQ=12AC= 3，当且仅当E、F、Q三点共线时，EF最小，∴EF最小值为 3−1．故选：A．9.【答案】C 【解析】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，故此选项①正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF= 2：1，故此选项②正确；∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH⋅FE不正确．故此选项③错误，过点E作EM/​/AD，则EM//CB，∴∠DAE=∠AEM，∠CFE=∠MEF，∴∠AFE=∠DAE+∠CFE，故④正确；∵HB//EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，故此选项⑤正确．故选C．由旋转的性质证出AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.可得出①②正确；过点E作EM/​/AD，则EM//CB，可得出④正确；证明△FBH∽△FCE，得出FB：FC=HB：EC，则⑤正确．此题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键．10.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．①可证△ABF≌△BCE得到△BEH∽△BFA，所以∠BHE=∠BAF=90°得证；②由题意正方形中∠BCO=∠ABO=45°，由①知∠BCE=∠ABF，证得△OBM≌△OCN，得到OM=ON即得证；③由△OBM≌△OCN，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM(CN)的一半，所以③错误；④过O点作OG垂直OH，交CH于G点，由题意可证得△OGC≌△OHB.故GC=BH，且△OHG是等腰直角三角形，HG= 2OH，所以④式成立．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，则AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，∵AF=BE，∴△ABF≌△BCE(SAS)，∴∠BFA=∠BEC，又∠EBH=∠EBH∴△BEH∽△BFA，∴∠BHE=∠BAF=90°，即BF⊥EC，①正确；∵四边形是正方形，∴BO⊥AC，即∠BOM=∠CON=90°，BO=OC，由题意正方形中∠BCO=∠ABO=45°，由①知∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO，∴△OBM≌△OCN(ASA)，∴OM=ON，即②正确；③∵△OBM≌△OCN，∴BM=CN，因为∠BOM=90°，所以只有当H为BM的中点时，OH=12BM=12CN，但由于E点是运动的，H不恒为BM中点故③错误；④过O点作OG垂直OH，交CH于G点，∵∠HOG=∠BOC=90°，故∠HOG−∠NOG=∠BOC−∠NOG，即∠HON=∠GOC，在△OGC与△OHB中，∠OCN=∠OBHOC=OB∠GOC=∠HON,故△OGC≌△OHB(ASA)，则OG=OH，GC=BH，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，则HG= 2OH，故 2OH+BH=HG+GC=CH，所以④式成立．综上所述，①②④正确．故选：B．11.【答案】①②④⑤ 【解析】解：由旋转的性质可知AC1=AC，∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；∵∠ACB=30°，∴∠C1=∠ACB1=30°，又∵B1AC1=∠BAC=45°，∴∠AB1C=75°，∴∠CAB1=180°−75°−30°=75°，∴CA=CB1；∴②正确；∵∠CAC1=∠CAB1+∠B1AC1=120°，∴旋转角α=120°，故③错误；∵∠BAC=45°，∴∠BAB1=45°+75°=120°，∵AB=AB1，∴∠AB1B=∠ABD=30°，在△AB1D与△BCD中，∵∠ABD=∠ACB1，∠AB1D=∠BCD=30°，∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；在△ABD与△B1CD中，∵∠ABD=∠ACB1，∠ADB=∠CDB1，∴△ABD∽△B1CD，∴ABB1C=ADB1D，如图，过点D作DM⊥B1C，设DM=x，则B1M=x，B1D= 2x，DC=2x，DC=2x，CM= 3x，∴AC=B1C=( 3+1)x，∴AD=AC−CD=( 3−1)x，∴ABB1C=ADB1D=( 3−1)x 2x= 6− 22，即⑤正确．故答案为：①②④⑤．首先根据旋转的性质得出AC1=AC，从而结论①可判断；再通过三角形内部角度及旋转角的计算对②③作出判断；通过∠ABD=∠ACB1，∠AB1D=∠BCD=30°，判定△AB1D∽△ACB1；通过证明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性质列式计算对⑤作出判断．本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．12.【答案】−3 【解析】解：过A作AM⊥x轴于M，过A′作A′N⊥x轴于N，则AM//A′N，∴△ACM∽△A′CM，∴AMA′N=ACA′C，∵点A(−1.4,1.5)的对应点为A′(−0.2,−3)，点C位于(−1,0)处，∴ACA′C=−1.4−(−1)−0.2−(−1)=12，∴△ABC和△A′B′C的相似比为1：2，过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，则BE//B′F，∴△BCE∽△B′CF，∴CECF=BCB′C，∵点C的坐标为(−1,0)，点B′的横坐标为3，∴CF=4，∵△ABC和△A′B′C的相似比为1：2，即BCB′C=12，∴EC4=12，解得：EC=2，∴点B的横坐标为−3，故答案为：−3．过A作AM⊥x轴于M，过A′作A′N⊥x轴于N，过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，得到△BCE∽△B′CF，根据相似三角形的性质求出△ABC和△A′B′C的相似比，进而求出EC，根据坐标与图形性质解答即可．本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．13.【答案】13.6 【解析】解：由题意得：∠DCE=∠ACB，DE⊥EB，AB⊥BE，∴∠DEC=∠ABC=90°，∴△DEC∽△ABC，∴DEAB=ECCB，∴1.7AB=1.512，解得：AB=13.6，∴彩虹桥的高度AB为13.6米，故答案为：13.6．根据题意可得：∠DCE=∠ACB，DE⊥EB，AB⊥BE，从而可得∠DEC=∠ABC=90°，然后证明△DEC∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14.【答案】209s或259s 【解析】解：由题意得：BP=2t cm，AP=(10−2t)cm，AQ=2t cm，∵82+62=102，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∠C=90°，∵△APQ和△ABC有公共角∠A，∴只要∠AQP或APQ等于∠C，△APQ和△ABC就相似，(1)当∠AQP=∠C=90°时，△APQ∽△ABC，∴APAB=AQAC，即10−2t10=2t8，解得：t=209；(2)当∠APQ=∠C=90°时，△APQ∽△ACB，∴AQAB=APAC，即2t10=10−2t8，解得：t=259；综上所述，t为209s或259s时，△APQ和△ABC相似，故答案为：209s或259s.由题意得BP=2t cm，AP=(10−2t)cm，AQ=2tcm，先证△ACB是直角三角形，∠C=90°，(1)当∠AQP=∠C=90°时，△APQ∽△ABC，则APAB=AQAC，求出t=209；(2)当∠APQ=∠C=90°时，△APQ∽△ACB，则AQAB=APAC，求出t=259；即可得出答案..本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.【答案】 5719或 2121 【解析】解：如图2，当点D在线段AC上时，过点B作BF⊥AC交CA的延长线于点F，过点A作AG⊥BD于点G，设AB=AC=3a，则AD=2a，作AH⊥BC于H，∵AB=AB，∠BAH=∠CAH=12∠BAC=12×120°=60°，BC=2BH，∵sin60°=BHAB，∴BH= 32AB，∴BC=2BH= 3AB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°，同理可得BEBD= 3，∠ABC=∠DBE，BDAB=BEBD，∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴CEAD=BEBD= 3，∴CE= 3AD= 3a，在Rt△ABF中，∠BAF=180°−∠BAC=60°，AB=3a，∴AF=3a⋅cos60°=32a，BF=3a⋅sin60°=3 32a，在Rt△BDF中，DF=AD+AF=2a+32a=72a，BD= BF2+DF2= (3 32a)2+(72a)2= 19a，∵∠AGD=∠F=90°，∠ADG=∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴AGBF=ADBD，∴AG3 33a=2a 19a，∴AG=3 3 19a，∵AN//DE，∴∠AND=∠BDE=120°，∴∠ANG=60°，∴AN=AG sin60∘=3 3 19a⋅2 3=6 1919a，∴ANCE=6 1919a2 3a= 5719；如图3，当点D在AC的延长线上时，设AB=AC=2a，则AD=4a，由(1)得，CE= 3AD=4 3a，过点B作BR⊥CA交CA的延长线于点R，过点A作AQ⊥BD于点Q，同理可得，AR=a，BR=a，∴BD= ( 3a)2+(5a)2=2 7a，∴AQ 3a=4a2 7a，∴AQ=2 3 7a，∴AN=2 3 7a⋅2 3=4 7a，∴ANCE=4 7a4 3a= 2121；综上所述，ANCE的值为 5719或 2121．故答案为： 5719或 2121．当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB=AC=3a，则AD=2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB=AC=2a，则AD=4a，同样方法求得结果．本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．16.【答案】 ① ③ ④ 【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．由折叠性质得∠ABG=∠HBG，∠FBE=∠CBE，∠ABC=90∘，易得∠EBG=45∘，于是可对①进行判断；根据AB=6，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD−AF=2，设DE=x，则EF=CE=6−x，在Rt△DEF中利用勾股定理得22+x2=(6−x)2，即ED=83，EF=103，HF=4；易知Rt△DEF∽Rt△HFG，得出GF=5，AG=3，若△DEF∽△ABG，则DEAB=DFAG，但836≠23，则可判定 ②;根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．【解答】解：∵∠ABG=∠HBG，∠FBE=∠CBE，∠ABC=90∘，∴∠EBG=45∘，故 ①正确;∵AB=6，BF=BC=10，∴AF=8，∴FD=AD−AF=10−8=2，设DE=x，则EF=CE=6−x，在Rt△DEF中，∵DF2+DE2=EF2，∴22+x2=(6−x)2，∴x=83，即DE=83，∴EF=103，∵BH=AB=6，∴HF=BF−BH=10−6=4，∵∠BFE=90°，∴∠BFG+∠EFD=90°，又∵∠EFD+∠FED=90°，∴∠BFG=∠FED，又∵∠EDF=∠GHF=90°，∴Rt△DEF∽Rt△HFG，∴EDHF=EFGF，即834=103GF，∴GF=5，∴AG=3，若△DEF∽△ABG，则DEAB=DFAG，但836≠23，故 ②不正确;∵BH=6，HF=4，∴S△BGH=32S△FGH，∵△ABG≌△HBG，∴S△ABG=32S△FGH，故 ③正确;∵FG=5，∴AG+DF=5，∴AG+DF=FG，故 ④正确．17.【答案】解：∵AD=2，BD=6，∴AB=8，∴ADAC=24=12，ACAB=48=12，∴ADAC=ACAB，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC． 【解析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．直接利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似去证明即可．18.【答案】解：如图，过点A作AG⊥DE，交BC于点F，垂足为G， 由题意，得AF=CN=60厘米=0.6米，AG=EN=30米，BC=24厘米=0.24米，∵BC/​/DE，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE=AFAG，∴0.24DE=0.630，∴DE=12米．答：这个建筑物的高度DE为12米． 【解析】过点A作AG⊥DE，交BC于点F，垂足为G，根据BC/​/DE，得到△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案．本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．19.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴ACAE=ABAD，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，又∵ACAE=ABAD，∴ACAB=AEAD，∴△CAE∽△BAD；(2)解：∵AC：BC=1：2，∴BC=2AC，∵∠ACB=90°，∴AB= AC2+BC2= AC2+(2AC)2= 5AC，由(1)可知，△CAE∽△BAD，∴BDCE=ABAC= 5ACAC= 5． 【解析】(1)首先证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质证明ACAE=ABAD，∠BAC=∠DAE，进而可得∠CAE=∠BAD，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明△CAE∽△BAD即可；(2)首先利用勾股定理解得AB= 5AC，再利用相似三角形的性质求解即可．本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AD=BC=10，AD//BC，∴∠AEB=∠EAD，∵DF⊥AE，∴∠F=90°=∠B，∴△ADF∽△EAB；(2)解：在Rt△ADF中，DF= AD2−AF2= 102−82=6，∵△ADF∽△EAB，∴AFBE=DFAB，即8BE=63，解得BE=4． 【解析】(1)利用AD//BC得到∠AEB=∠EAD，则根据∠F=∠B，∠FAD=∠BEA可判断△ADF∽△EAB；(2)先利用勾股定理计算出DF=6，由于△ADF∽△EAB，则利用相似比可计算出 BE=4．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．21.【答案】证明：∵AD⋅AB=AE⋅AC，∴ADAE=ACAB，又∵∠A=∠A，∴▵ADE∽▵ACB． 【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证明ADAE=ACAB，再由∠A=∠A可以根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似证明结论．22.【答案】方法一：证明：如图，过点C作CE/​/AD与BA得延长线交于点E． ∵CE/​/AD，∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC，∵CE/​/AD，∴ABAE=BDDC，∵AE=AC，∴ABAC=BDDC；方法二：证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P． ∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DM12AC⋅DN=12BD⋅AP12DC⋅AP，∵DM=DN，∴ABAC=BDDC． 【解析】(1)过C作CE/​/DA.交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到BDCD=ABAE，利用平行线的性质得∠CAD=∠ACE，∠BAD=∠E，由∠BAD=∠CAD得∠ACE=∠E，所以AE=AC，可得结论；(2)通过△ABD和△ACD面积的比来证明即可．本题考查平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，面积法，掌握相关图形的性质是解题的关键．23.【答案】(1)解：在正方形ABCD中，∵AD=AB=BC，∠DAE=∠ABF=90°，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AE=12AB，BF=12BC，∴AE=BF，∴△DAE≌△ABF(SAS)，∴AF=DE，∠ADE=∠BAF，∵∠DAG+∠BAF=90°，∴∠DAG+∠ADE=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE，∴AF=DE，AF⊥DE； (2)证明：方法一：如图，延长AF交DC延长线于M， ∵F为BC中点，∴CF=FB，又∵四边形ABCD是正方形，∴DM//AB，AB=CD，∴∠M=∠FAB，∵F为BC中点，∴CF=FB，在△ABF与△MCF中， ∠FAB=∠M∠BFA=∠CFMFB=FC，∴△ABF≌△MCF(AAS)，∴AB=CM，∴CD=CM，又∵∠DGM=90°，∴CG=12DM，∴CG=CD，∵CH平分∠DCG，∴H为DG中点；方法二：如图，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形，∴DC=AB，∠DCF=∠ABF=90°，DC/​/AB，∵F为CB中点，∴CF=FB，∴△DCF≌△ABF(SAS)，∴∠DFC=∠AFB，由(1)已证△DAE≌△ABF，∴∠AFB=∠DEA，又∵DC/​/AB，∴∠CDE=∠DEA，∴∠CDE=∠CFD，又∵由(1)已证AF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠DGF+∠DCF=90°+90°=180°，∴D、G、F、C四点共圆，∴∠DGC=∠CFD，∴∠DGC=∠CDE，∴DC=CG，∵CH平分∠DCG，∴H为DG中点；(3)解：设正方形ABCD的边长为2a，则由(1)和(2)可得：AD=AB=2a，AE=BF=CF=a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∴AF= AB2+BF2= 5a，在△DGA与△DAE中，∵∠DGA=∠DAE=90°，∠ADG=∠EDA，∴△DGA∽△DAE，∴DGDA=AGAE=ADDE，即DG2a=AGa=2a 5a，∴DG=4 55a，AG=2 55a，∴GF=AF−AG= 5a−2 55a=3 55a，∴GFCF=3 5a5a=3 55． 【解析】(1)根据在正方形性质证明，△DAE≌△ABF(SAS)，可得AF=DE，∠ADE=∠BAF，再等量代换证明∠AGD=90°，即可解答； (2)方法一：延长AF交DC延长线于M，先证明△ABF≌△MCF(AAS)，所以AB=CM，CD=CM，再根据三线合一即可解答；方法二：连接DF，根据正方形性质，证明△DCF≌△ABF(SAS)，所以∠DFC=∠AFB，又由(1)已证△DAE≌△ABF，从而证明D、G、F、C四点共圆，所以∠DGC=∠CFD，∠DGC=∠CDE，所以DC=CG，从而解答问题；(3)设正方形ABCD的边长为2a，则由(1)和(2)可得：AD=AB=2a，AE=BF=CF=a，由勾股定理得AF= 5a，再证明△DGA∽△DAE，所以DGDA=AGAE=ADDE，即DG2a=AGa=2a 5a，解出DG=4 55a，AG=2 55a，再根据GF=AF−AG= 5a−2 55a=3 55a，即可解答．本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆的判定、同弧所对的圆周角相等等性质，解题关键是熟练掌握以上性质，属于中考题型．24.【答案】(1)证明：∵∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+∠PEB=90°，∴∠ABQ=∠PEB．在△PBE与△QAB中，∵∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，∴△PBE∽△QAB．(2)解：△PBE和△BAE相似．∵△PBE∽△QAB，∴BEAB=PEBQ．∵BQ=PB，∴BEAB=PEPB．又∵∠EPB=∠EBA=90°，∴△PBE∽△BAE． 【解析】(1)△PBE和△QAB都是直角三角形，所以再证一对角相等即可．由∠ABE=90°得∠EBP+∠ABQ=90°，易证∠ABQ=∠PEB.得证．(2)△PBE和△BAE都是直角三角形，利用(1)的结论，结合BP=BQ可证直角的两边对应成比例，得证．此题把折叠问题与相似三角形结合起来，有一定难度．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．求证：ABAC=BDDC．方法一证明：如图，过点C作CE/​/AD，与BA的延长线交于点E．方法二证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．