初中数学青岛版八年级上册第1章 全等三角形综合与测试达标测试

这是一份初中数学青岛版八年级上册第1章 全等三角形综合与测试达标测试，共30页。试卷主要包含了0分），【答案】B，【答案】A，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

青岛版初中数学八年级上册第一单元《全等三角形》测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，△ABD≌△EBC，则下列结论： ①CD⊥AE; ②AD⊥CE; ③∠EAD=∠ECD.其中正确的有(    )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
2. 下列说法正确的是(    )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形周长和面积都一样
C. 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
D. 全等三角形的边都相等
3.  如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC   其中正确的有个．(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 下列说法正确的是(    )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形的周长和面积都一样
C. 全等三角形是指形状相同的两个三角形
D. 全等三角形的边都相等
5. 我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是(    )


A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
6. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，且EH=EB.下列四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC；③BE+CH=AE；④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是(    )


A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
7. 如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(    )

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
8. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=36°，AB=AC，AD=AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是(    )

A. ∠ADC=∠AEB B. CD//AB
C. DE=GE D. CD=BE
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,5)，点B的坐标为(−2,0)，C(a,b)为平面直角坐标系内一点，∠ABC=90°，BA=BC，则ab的值为(    )
A. 14 B. −6 C. −6或14 D. −6或−14
10. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，即∠AʹOʹBʹ=∠AOB的依据是(    )

A. SAS. B. SSS. C. AAS． D. ASA．
11. 已知△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，过C点任作直线l，过A点、B点分别作l的垂线AM、BN，垂足分别为M、N.若AM=2，BN=4，则MN的长是(    )
A. 6 B. 4 C. 6或4 D. 6或2
12. 下列说法：
①画一条长为6cm的直线；
②若AC=BC，则C为线段AB的中点；
③线段AB是点A到点B的距离；
④OC，OD为∠AOB的三等分线，则∠AOC=∠DOC．
其中正确的个数是(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. .3个
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图所示，∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②AF//EB；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有______ ．


14. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A(a,0)、点B(0,b)，且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|=0，点P在直线AB的右侧，且∠APB=45°；当△ABP为直角三角形，则点P的坐标为          ．
15. 如图，已知，△ABC≌△CDA，AD、BC交于点P，∠BCA=400，则∠APB=          
16. 已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(2,4)，O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出所有符合条件的点P的坐标：________________________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．

18. 国昌实验中学八年级合作学习小组的同学学习了全等三角形的概念后，聪明的正宇同学代表本小组给其他小组内的同学出了这样一个问题：在直角坐标系中，点A(−3,0)，B(−1,0)，C(−1,3)，若有一个直角三角形与Rt△ABC全等，且它们只有一条公共直角边，这样的直角三角形有几个⋅若有，请写出第三个顶点的坐标．
19. 如图，AC、BD相交于点O，△AOB≌△DOC，且∠A=80°，∠DOC=30°，BO=23，AO=18，求∠DCO的度数和BD的长度．

20. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，
(1)【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是______，位置关系是______．
(2)【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
(3)【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．


21. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为平面内一点，且∠BDC=45°，BD与AC交于点P，过A作AF//CD交BD边于点F．
(1)如图1，过C作CE⊥BD交于E，
①求证：∠ABF=∠BCE；
②求证：DF=2BE；
(2)过F作FH⊥AF交AB于H，连接CF，若∠BAF=∠PCF，BC=5，求BH的长．

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.
对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．

①在图中画出点Q；
②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12OM;
(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(12 23. 如图，已知线段AB、a、b．
(1)请用尺规按下列要求作图：(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
①延长线段AB到C，使BC=a；
②反向延长线段AB到D，使AD=b．
(2)在(1)的条件下，如果AB=8cm，a=6m，b=10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度．

24. 尺规作图
已知：线段a，∠α．
求作：Rt△ABC，使斜边AB=a，∠B=∠α.(请在作图区域内完成)


25. 回答问题

【初步探索】
(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是             ；
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】如图，延长AD交CE于点F，延长CD交AE于点G．

由△ABD≌△EBC，得∠ABD=∠EBC，AB=EB，BD=BC，
又∵∠ABD+∠EBC=180∘， 
∴∠ABD=∠EBC=90∘. 
∴△ABE和△CBD都是等腰直角三角形. 
∴∠BAE=∠AEB=∠BCD=45∘. 
∴∠AGC=90∘，即CD⊥AE，故 ①正确. 
∵∠ABD=90∘， 
∴∠BAD+∠ADB=90∘．
又由△ABD≌△EBC得∠ADB=∠ECB， 
∴∠BAD+∠ECB=90∘. 
∴∠AFC=90∘，即AD⊥CE，故 ②正确. 
∵∠ADB=∠EAD+∠AEB=∠EAD+ 45∘，∠ECB=∠BCD+∠ECD=∠ECD +45∘，且∠ADB=∠ECB， 
∴∠EAD=∠ECD，故 ③正确．


2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质，注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键.认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：A.∵全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A错误；
B.∵两个三角形全等，∴它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
C.两边和第三边上的高对应相等，不能判定两个三角形全等，故C错误；
D.全等三角形的对应边相等，故选项D错误．
故选B．
  
3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．
根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相等得出BD=CD，BE=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DE⊥BC，则∠BED=90°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠A=∠BED=90°，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，从而可判断∠C，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出BE=CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出BD=CD，但A、D、C可能不在同一直线上，所以AD+CD可能不等于AC，据此判断⑤. 
【解答】
解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，BE=CE，
∴DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠A=∠BED=90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直线上
∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，
∵∠A=90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，
∴∠C≠30°，故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE=CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD>AC，
∴AD+BD>AC，故⑤不正确．
故选A．
  
4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质；注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键．认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：∵全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A、C错误；
∵两个三角形全等，∴它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
全等三角形的对应边相等，故选项D错误；
故选B．
  
5.【答案】A 
【解析】解：根据伞的结构，AE=AF，伞骨DE=DF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，
AE=AFDE=DFAD=AD，
∴△ADE≌△ADF(SSS)，
∴∠DAE=∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故选：A．
根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定；证明△HEA≌△BEC是解题的关键.根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定对各选项进行判断即可得出答案．
【解答】
解：∵CE⊥AB，
∴∠AEH=∠CEB=90°，
∵∠BAC=45°，∠AEH=90°，
∴∠ACE=45°，
∴AE=EC，故④△AEC是等腰直角三角形正确；
在△HEA和△BEC中，
{E=EC∠AEH=∠CEB=90°EH=EB,
∴△HEA≌△BEC，
∴AH=BC，故②正确；
∵AE=EC，EH=EB，
∴EC=CH+EH=CH+EB=AE，
即BE+CH=AE，故③正确；
∵EH=EB，∠CEB=90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°，
又∵∠ABC>∠EBH，
∴∠ABC≠45°，故①不正确．
故选C．  
7.【答案】A 
【解析】
【分析】
此题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOB=∠A′OB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．
【解答】
解：∵O是AA′、BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
在△OAB和△OA′B′中，
AO=A′O∠AOB=∠A′OB′BO=B′O,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS)，
因此判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．
故选A．
  
8.【答案】C 
【解析】解：A.∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠CAB−∠CAE=∠DAE−∠CAE，即∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
AD=AE∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB，故A选项不符合题意；
CD=BE，故D选项不符合题意；
B.∵△DAC≌△EAB，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠ACB=∠ABC=(180°−36°)÷2=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠ACD=∠ABE=36，
∵∠DCA=∠CBA=36°，
∴CD//AB(内错角相等，两直线平行)，
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意．
故选：C．
利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC=∠AEB，CD=BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD=∠ABE=36°，即可得∠ACD=∠CAB，进而可证明CD//AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：当点C在x轴上方．如图，作CD⊥x轴，

∵A点的坐标为(0,5)，B的坐标为(−2,0)，
∴OA=5，OB=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中，
∠BAO=∠CBD∠AOB=∠BDCAB=BC，
∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴BD=OA=5，CD=OB=2，
∴C点坐标为(−7,2)，
∴ab=−7×2=−14；
当点C在x轴下方．如，作CE⊥x轴，
与(1)证明方法一样可证得△ABO≌△BCE(AAS)，

∴BE=OA=4，CE=OB=3，
∴OE=5−2=3，
∴C点坐标为(3,−2)，
∴ab=3×(−2)=−6．
故选：D．
讨论：当点C在x轴上方．作CD⊥x轴，OA=5，OB=2，由于∠ABC=90°，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBD，然后根据“AAS”可判断△ABO≌△BCD，则BD=OA=5，CD=OB=2，于是C点坐标为(−7,2)，得到ab=−14；当点C在x轴下方．作CE⊥x轴，与(1)证明方法一样可证得△ABO≌△BCE，得到BE=OA=5，CE=OB=2，则OE=5−2=3，所以C点坐标为(3,−2)，得到ab=−6．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质．

10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】
解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C′O′D′．
故选B．

  
11.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
(1)利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论，进而得出答案；
(2)类似于(1)的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系，进而得出答案．
【解答】
解：图1中，MN=6，图2中，MN=2．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，


∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCBAC=CB，
∴△AMC≌△CNB(AAS)，
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN=2+4=6；
(2)∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∠AMC=∠CNB∠MCA=∠NCBAC=CB，
∴△AMC≌△CNB(AAS)，
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM−CN，
∴MN=BN−AM=4−2=2．
故选D．  
12.【答案】A 
【解析】解：①直线没有长度，所以画一条长为6cm的直线错误；
②若AC=BC且C在线段AB上，则C为线段AB的中点，此结论错误；
③线段AB的长度是点A到点B的距离，此结论错误；
④OC，OD为∠AOB的三等分线，则∠AOC=2∠DOC或∠AOC=∠DOC，此结论错误；
故选A．
根据直线的定义与性质、线段的中点的定义、线段长度的定义和角三等分线的定义逐一判断即可．
本题主要考查几何作图，解题的关键是掌握直线的定义与性质、线段的中点的定义、线段长度的定义和角三等分线的定义．

13.【答案】①③④ 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．只要证明△ABE≌△ACF，△ANC≌△AMB，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解答】
解：在△ABE和△ACF中，
∠E=∠F=90°∠B=∠CAE=AF 
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AB=AC，
∴∠BAE−∠BAC=∠CAF−∠BAC，
即∠1=∠2，故③正确；
在△ACN和△ABM中，
∠B=∠CAB=AC∠CAN=∠BAM
∴△ACN≌△ABM(ASA)，故④正确；
∴CN=BM，
∵CF=BE，
∴EM=FN，故①正确，
CD与DN的大小无法确定，故②错误．
故答案为①③④．  
14.【答案】(2,−2)或(4,2) 
【解析】
【分析】
本题考查坐标与图形性质，绝对值的非负性，偶次方的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，
根据非负数的性质求出a，b，利用全等三角形的判定与性质结合等腰直角三角形分类讨论即可解答．
【解答】
解：∵a2+4a+4+2a+b=0，
∴a+22+2a+b=0，
∴a+2=0，2a+b=0，
∴a=−2，b=4．
当∠BAP为直角时，过点P作PH⊥x轴于点H，

则∠AOB=∠AHP=90°，
∵∠HAP+∠BAH=90°，∠ABO+∠BAH=90°，
∴∠ABO=∠HAP，
∵∠APB=45°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∴AB=AP，
∴△OBA≌△HAP(AAS)，
∴PH=AO=−2=2，AH=OB=4，
∴OH=AH−OA=4−2=2
∴P(2,−2)
当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴于点G，

则∠AOB=∠BGP=90°
∵∠ABO+∠PBG=90°，∠PBG+∠BPG=90°，
∴∠ABO=∠BPG，
∵∠APB=45°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∴AB=BP，
∴△ABO≌△BPG(AAS)
∴PG=OB=4，BG=OA=2
∴OG=BO−BG=2
∴P(4,2)．
综上可知，点P的坐标为(2,−2)或(4,2)．  
15.【答案】80° 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质以及三角形外角的性质，熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键．先根据全等三角形的对应角相等得出∠BCA=∠DAC=40°，再根据三角形外角的性质求出∠APB=∠BCA+∠DAC=80°．
【解答】
解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BCA=∠DAC=40°，
∴∠APB=∠BCA+∠DAC=80°．
故答案为80°．
  
16.【答案】(4,0)，(0,4)和(4,4) 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质，作出图形利用数形结合的思想求解更加简单．作出图形，根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】
解：如图所示，以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，
则点P的坐标为(0,4)或(4,0)或(4,4)．
故答案为：(0,4)或(4,0)或(4,4)．
  
17.【答案】证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠B=∠DEC，BC=EC，
∴∠B=∠BEC，
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED． 
【解析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEC，全等三角形对应边相等可得BC=EC，根据等边对等角可得∠B=∠BEC，从而得到∠BEC=∠DEC，再根据角平分线的定义证明即可．
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．

18.【答案】解：如图.若以AB为公共边，则可以画3个直角三角形：△ABD、△ABE和△ABH.顶点D的坐标为(−1,−3)，顶点E的坐标为(−3,3)，顶点H的坐标为(−3,−3)．
若以BC为公共边，则可以画3个直角三角形：△BCF、△BCE和△BCG.顶点F的坐标为(1,0)，顶点E的坐标为(−3,3)，顶点G的坐标为(1,3)．
所以这样的直角三角形共有6个．

 
【解析】略

19.【答案】解：∵△AOB≌△DOC，∠A=80°，OA=18，BO=23，
∴∠D=∠A=80°，DO=AO=18，
∴∠DCO=180°−∠D−∠DOC=180°−80°−30°=70°，
∴BD=BO+DO=23+18=41，
即∠DCO=70°，BD的长度是41． 
【解析】根据三角形全等的性质和三角形内角和可以解答本题．
本题考查全等三角形的性质和三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】(1)PA=12BE  PA⊥BE  ；
(2)结论成立．
理由：如图2中，延长AP到J，使得PJ=PA，连接JC.延长PA交BE于O．

∵PA=PJ，PD=PC，∠APD=∠CPJ，
∴△APD≌△JPC(SAS)，
∴AD=CJ，∠ADP=∠JCP，
∴AD//CJ，
∴∠DAC+∠ACJ=180°，
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∴∠EAB=∠ACJ，
∵AB=AC，AE=AD=CJ，
∴△EAB≌△JCA(SAS)，
∴BE=AJ，∠CAJ=∠ABE，
∵PA=12AJ，
∴PA=12BE，
∵∠CAJ+∠BAO=90°，
∴∠ABE+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴PA⊥BE．
(3)∵AC=10，CJ=4，
∴10−4≤AJ≤10+4，
∴6≤AJ≤14，
∵AJ=2AP，
∴3≤PA≤7．
∴PA的最大值为7，最小值为3． 
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)如图1中，设PA交BE于点O.证明△DAC≌△EAB(SAS)，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
(2)结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ=PA，连接JC.延长PA交BE于O.证明△EAB≌△JCA(SAS)，即可解决问题．
(3)利用三角形的三边关系求出AJ的取值范围，即可解决问题．
【解答】
解：(1)如图1中，设PA交BE于点O．

∵AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴BE=CD，∠ACD=∠ABE，
∵∠DAC=90°，DP=PC，
∴PA=12CD=PC=PD，
∴PA=12BE，∠ACD=∠PAE，
∴∠PAE=∠ABE，
∵∠CAP+∠BAO=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴PA⊥BE，
故答案为：AP=12BE，PA⊥BE．  
21.【答案】(1)①证明：方法一：过点B作BM⊥AC于点M，

∵∠BPM=∠CPE，∠CEP=∠BMO=90°，
∴△CEP∽△BMP，∠ECP=∠MBP，
又∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠BAC=∠BCM=45°，
∴∠BCE+∠ECP=∠ABF+∠MBP=45°，
∴∠ABF=∠BCE；
方法二：
∵CE⊥BD，∠ABC=90°，
∴∠CEB=∠ABC=90°，
∴∠BCE+∠EBC=∠ABF+∠EBC=90°，
∴∠ABF=∠BCE；
方法三：过A作AN⊥BD于点N，证明△ABN≌△BCE(AAS)，也可证明出∠ABF=∠BCE；

②证明：过A作AN⊥BD于点N，连接AD，

∵∠ABF=∠BCE，AB=BC，∠ANB=∠BEC=90°，
∴△ABN≌△BCE(AAS)，则AN=BE，∠EBC=∠BAN，
又∵AF//CD，
∴∠BDC=∠AFN=45°，△ANF是等腰直角三角形，
∴∠FAN=45°，AN=NF，
∵∠BAC=∠BDC=45°，
∴点A、B、C、D在同一个圆上，
∴∠ADP=∠ACB=45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，AN=DN，
∴AN=12DF=12(DN+NF)
∴DF=2BE；

(2)过点F作FP′⊥AC，

∵∠FP′C=∠AFH=90°，∠BAF=∠P′CF，
∴ΔCP′F∽△AFH，则∠AHF=∠P′FC，且∠P′CF+∠BCF=∠BAF+∠FAP′，
∴∠FAP′=∠BCF，
∵AF//CD，
∴∠D=∠AFD=45°，
∴∠HFB=180°−90°−45°=45°，∠HBF+∠HFB=∠AHF=∠P′FC，
BC=5，则AC=AB2+BC2=10，
过H作HG⊥BD，则HG=GF，
过B作BI⊥AC，则BI=22AB=102=AI=CI，
∴HG=GF=BI5=1010，
则BH=5HG=22． 
【解析】(1)①方法一：过点B作BM⊥AC于点M，由两角对应相等的两个三角形相似证出△CEP∽△BMP，从而得出∠ECP=∠MBP，再根据等腰直角三角形中三线合一证得∠BCE+∠ECP=∠ABF+∠MBP，从而证明结论；方法二：根据同角或等角的余角相等即可证明；
②过A作AN⊥BD于点N，连接AD，证明出△ABN≌△BCE(AAS)，所以AN=BE；再证A、B、C、D四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等证明∠ADP=∠ACB=45°，证出△ANF、△ADN是等腰直角三角形，就很容易证明结论；
(2)过点F作FP′⊥AC，易得ΔCP′F∽△AFH，再过H作HG⊥BD，则HG=GF，过B作BI⊥AC，则BI=22AB=102=AI=CI，最后得结果．
本题考查全等三角形的性质与判断、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，难度较大，解题关键是作出合适的辅助线．

22.【答案】解：①点Q如下图所示．
∵点M(1,1)，
∴点P(−2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P′，
∴P′−1,1，
∵点P′关于点N的对称点为Q，N2,2，
∴点Q的横坐标为：2×2−−1=5，纵坐标为：2×2−1=3，
∴点Q5,3，在坐标系内找出该点即可；


②证明：如图，延长ON至点A3,3，连接AQ，
∵ AQ//OP，
∴∠AQT=∠OPT，
在ΔAQT与ΔOPT中，
∠AQT=∠OPT∠ATQ=∠OTPAQ=OP,
∴ΔAQT≅ΔOPTAAS，
∴TA=TO=12OA，
∵ A3,3，M(1,1)，N(2,2)，
∴OA=32+32=32，OM=12+12=2，ON=22+22=22，
∴TO=12OA=322，
∴NT=ON−OT=22−322=22，
∴NT=12OM； 
(2)如图所示，



解法一：连接PO并延长至S，使OP=OS，延长SQ至T，使ST=OM，
∵M(a,b)，点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b个单位长度，得到点P′，
∴PP′=OM=1，
∵点P′关于点N的对称点为Q，
∴NP′=NQ，
又∵OP=OS，
∴OM // ST，
∴NM为ΔP′QT的中位线，
 ∴NM//QT，NM=12QT，
∵NM=OM−ON=1−t，
∴TQ=2NM=2−2t，
∴SQ=ST−TQ=1−2−2t=2t−1， 
在ΔPQS中，PS−QS 结合题意，PQmax=PS+QS，PQmin=PS−QS，
∴PQmax−PQmin=PS+QS−PS−QS=2QS=4t−2，
即PQ长的最大值与最小值的差为4t−2．

解法二：由三角形中位线定理得TQ=2MN
∵MN=1−t
∴TQ=2(1−t)=2−2t
∴SQ=ST−QT=1−(2−2t)=2t−1
∵点Q在以S为圆心，半径为r=2t−1的圆上运动，
则PQ最大值为PS+r，PQ最小值为PS−r
所以PQ长的最大值与最小值的差为：(PS+r)−(PS−r)=2r=4t−2 
【解析】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点P′的轨迹是解题的关键．
(1)①先根据定义和M(1,1)求出点P′的坐标，再根据点P′关于点N的对称点为Q求出点Q的坐标；
②延长ON至点A3,3，连接AQ，利用AAS证明ΔAQT≅ΔOPT，得到TA=TO=12OA，再计算出OA，OM，ON，即可求出NT=ON−OT=22=12OM；
(2)连接PO并延长至S，使OP=OS，延长SQ至T，使ST=OM，结合对称的性质得出NM为ΔP′QT的中位线，推出NM=12QT，得出SQ=ST−TQ=1−2−2t=2t−1，则PQmax−PQmin=PS+QS−PS−QS=2QS．

23.【答案】解：(1)①如图所示，线段BC即为所求，
②如图所示，线段AD即为所求；
(2)因为AB=8cm，a=6m，b=10cm，
所以CD=8+6+10=24cm，
因为点E为CD的中点，
因为DE=12DC=12cm，
所以AE=DE−AD=12−10=2cm． 
【解析】(1)根据题意画出图形即可；
(2)根据线段的画出和线段的中点的定义即可得到结论．
本题考查了尺规作图、线段中点的性质和线段的和差．根据题目要求正确画出图是本题的解题关键

24.【答案】解：如图，△ABC为所作．
 
【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
先做∠B=∠α，取AB=a，过A作AC⊥BC，即可解答．

25.【答案】解：(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF，

理由：如图1，延长FD到点G，
使DG=BE，连接AG，
根据SAS可判定△ABE≌△ADG，
进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，
再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，
可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，
故∠BAE+∠FAD=∠EAF；
(2)仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，

∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
(3)∠EAF=180°−12∠DAB，
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABE(SAS)，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，
∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴∠EAF=180°−12∠DAB． 
【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
(2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
(3)在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．