青岛版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

青岛版初中数学八年级上册期中测试卷

考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：；；；其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，点是平分线上的一点，，，，则的长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

5. 到的三条边距离相等的点是的(    )

A. 三条中线交点 B. 三条角平分线交点
C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线交点

6. 如图，中，，于，平分，且于点，与相交于点，于，交于，有下列结论：；；；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，且，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在中，，，为的中点，是边上的一个动点，连接、，且，将沿直线折叠，得到，连接，若，则线段的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若关于的分式方程有增根，则的值是(    )

A. 或 B.
C.  D. 或

10. 如果把分式中的、都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 扩大倍

11. 若，都是整数，且，则整数值的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知、为实数且满足，，设，，则下列两个结论(    )

时，，时，；时，若，则．

A. 都对 B. 对错 C. 错对 D. 都错

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
14. 若的值为零，则的值是____．
15. 如图，中，，，点为边上一点．点为线段上一点，且，，，则的长为______．

16. 如图所示，，，，结论：；；；≌其中正确的有______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 综合与探究
    如图，在和中，，，，的延长线交于点．
    求证：≌．
    若，请直接写出的度数．
    过点作于点，求证：．

18. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接，，．
    求证：≌；
    若，求的度数．

19. 作图题
    如图，点，均在直线上，．
    在图中作，使保留作图痕迹，不写作法．
    请直接说出直线与直线的位置关系．
     

20. 教材呈现图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
请根据教材内容，结合图，写出完整的解题过程．
结论应用
如图，在中，是中点，，，点在上点不与、重合，于点，连结、、当时，______．
如图，是直径，点、在上点、位于直径两侧，在上，且，当四边形有一组对边平行时，直接写出的长．
 

21. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
    
    是边长为的等边三角形，是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图求的长；

是边长为的等边三角形，是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；

是边长为的等边三角形，是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长．

22. 如图，已知在中，的平分线与的垂直平分线交于点，于，交的延长线于，你认为与之间有什么关系？试证明你的发现．

23. 数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

特殊情况，探索结论

当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________；填“”“”或“”

特例启发，解答题目

解：题目中，与的大小关系是：________填“”“”或“”

理由如下：如图，过点作，交于点请你完成以下解答过程

24. 先化简，再求值：，其中．
25. 某服装厂准备加工套运动服，在加工完套运动服后采用新技术，工作效率比原计划提高，结果共用了天完成任务．问原计划每天加工多少套运动服？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，延长至，使，设与交于点，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，故是正确的；
，
，故正确；
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故是不正确的；
≌，
，
，
，故是正确的，
综上所述：其中正确的有．
故选：．
因为，且，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明≌，则，，所以是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故是错误的．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由证明得出，，正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确；作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；由，得出当时，才平分，假设，由，得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，，
，
，，正确
，
由三角形的外角性质得：，
，正确
作于，于，如图所示：

则，
在和中，，

，
平分，正确
，
当时，才平分，
假设，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，


与矛盾，
错误
故正确的是，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：在上截取，连接，

，
，
点是平分线上的一点，
，
在和中，

≌，
，
，
解得，
取，
故选：．
在上取，然后证明≌，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，过已知点向坐标轴作平行线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
根据点的坐标为，即可得到点在直线上，再分两种情况进行讨论：点在下方，点在上方，分别过作轴的平行线，交轴于，交于，依据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系列方程，即可得到点的坐标．
【解答】
解：点的坐标为，
点在直线上，
分两种情况：
如图所示，当点在下方时，过作轴的平行线，交轴于，交于，则，，，

，
，
在和中

≌，
，
，
，
解得，
；
如图所示，当点在上方时，过作轴的平行线，交轴于，交于，则，，，

同理可得，≌，
，
，
，
解得，
；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：到的三条边距离相等，
这点在这个三角形三条角平分线上，
即这点是三条角平分线的交点．
故选B．
由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择．
此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
为等腰直角三角形，
，故正确，

，，
是等腰直角三角形．
．
故正确；

在和中，
，，且，
．
又，，
≌．
；．
，
；故正确；

在和中
平分，
．
又，，
≌．
．
又由可知：，
；故正确；
故选：．
由，可得出为等腰直角三角形，根据，可得出，利用判定≌，从而得出，则，即；再利用判定≌，得出，又因为，所以．
本题考查三角形全等的判定方法，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形：

，，
，
，
为的中点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
根据勾股定理和翻折的性质可得，由，可得，所以高相等，可得，由，可得四边形是平行四边形，进而可以解决问题．
本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及平行四边形、勾股定理等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
把代入整式方程得：；
把代入整式方程得：．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的基本性质，注意仔细观察各个字母的变化．
观察代数式，显然分子将扩大倍，分母扩大倍，从而分式的值扩大倍．
【解答】
解：根据题意，
新的分式是，
分式的值为扩大倍，
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，都是整数，
的取值为：、、、、、共个，
整数值的个数是个．
故选：．

根据给出的式子得出，再根据，都是整数，得出的取值，从而得出整数值的个数．
此题考查了分式的值，解题的关键是把给出的式子进行变形．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据分式的加法法则计算，然后分类讨论即可得结论；
根据分式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
【解答】
解：，，



，
当时，，
，
当时，
，或，
或，
或；
当时，
或，而，
或；
错误；

，
，
原式


，，
，
，
，
．
正确．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：若式子在实数范围内有意义，则，即，
故答案为：．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．
本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零需同时具备两个条件：
分子为；分母不为是解题的关键．根据分式的值为零的条件是分子为，
分母不为，列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．
【解答】
解：由题意得，且，
解得，；
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于，作于．

中，，．
．
在中，．
，．
．
．
．
．
．
．
．
∽．
，即．
．
由勾股定理得：．
．
．
．
故答案为：．
利用含角的直角三角形的性质及图形的相似可求的长．
本题考查含角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．只要证明≌，≌，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解答】
解：在和中，
 
≌，
，，，
，
即，故正确；
在和中，

≌，故正确；
，
，
，故正确，
与的大小无法确定，故错误．
故答案为．  

17.【答案】证明：．
．
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
．
，
，
；
证明：如图，连接，过点作于点．

≌，
，，
，．
，
．
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】可利用证明结论；
由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；
连接，过点作于点结合全等三角形的性质利用证明≌，≌可得，，进而可证明结论．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
 

18.【答案】证明：
，
，
在和中

≌；
解：
，，
，
，
≌，
． 

【解析】由条件可利用证得结论；
由等腰直角三角形的性质可先求得，利用三角形外角的性质可求得，再利用全等三角形的性质可求得．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法即、、、和和全等三角形的性质即全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求：


当射线与射线在直线的同侧时，由知直线与直线平行；
当射线与射线在直线的两侧时，延长交于点，
，
，
． 

【解析】根据射线与射线在直线的同侧，另一个则在直线的两侧得出两种情况；
分别利用若射线与射线在直线的同侧，则直线与直线平行；若射线与射线在直线的两侧，则直线与直线相交．
主要考查了作一角等于已知角，注意分类讨论思想的应用，此题容易漏解．
 

20.【答案】 

【解析】解：教材呈现已知：中，，是中线，
求证：．
证明：作于，于，

则，，
是中线，
，，
直线是线段的垂直平分线，直线是线段的垂直平分线，
，，
；

结论应用、分别是、的中线，

则，
设：，，
，
，
故为腰长为，顶角为的等腰三角形，
过点作，
则，
故答案为：；

设，，则，
，

当时，如图左侧图，
则，，
过点作交于点，
，则，
同理，
，
；
当时，如图右侧图，
则，
过点作于点，则，
注：的求法见备注，
；
综上，或；

备注：等腰三角形，，
作于点，过点作于点，

设，设，
设，
则，则，
，
即，则，
，则．
教材呈现，，是中线，故AF，，则，，即可求解；
结论应用证明，故为腰长为，顶角为的等腰三角形，即可求解；
当时，如图左侧图，，则，同理，，即可求解；
当时，如图右侧图，，即可求解．
此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
 

21.【答案】解：和是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；
如图，连接，

由≌，
，，
，
，
，
又点在点处时，，
点在处时，点与点重合．
点运动的路径长．
如图，取的中点，连接，

，
，
，
，
，
和是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
又点在处时，，
点在处时，点与点重合．
点所经过的路径的长． 

【解析】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质等知识．解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．
由题意可得≌，则；
点在点处时，，点在处时，点与点重合．则点运动的路径长；
类比的思路可知，点在处时，，点在处时，点与点重合．则点所经过的路径的长．
 

22.【答案】解：．
理由：连接，，
平分，，，
，
垂直平分，
，
在与中

≌，
． 

【解析】此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
连接，，由角平分线的性质可得，线段垂直平分线的性质可得，所以≌，则．
 

23.【答案】解：；
；
如图，过点作，交于点．

，
，．
是等边三角形，．
．
，
．
又，，
．
在与中，

≌，
． 

【解析】

【分析】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，综合性较强，特别是分类讨论及辅助线的作法难度较大．
根据等边三角形性质可得，从而；
作，交于点则为等边三角形．根据“”证明≌，得．
【解答】
解：为的中点时，与的大小关系是：．理由如下：
是等边三角形，点是的中点，
；．
，
．
又，
．
，
故答案为；
见答案．  

24.【答案】解：
，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
 

25.【答案】解：设原计划每天加工套运动服，则采用了新技术每天加工套运动服，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：原计划每天加工套运动服． 

【解析】设原计划每天加工套运动服，则采用了新技术每天加工套运动服，根据共用了天完成全部任务，列方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列出方程．