2021-2022学年内蒙古赤峰市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年内蒙古赤峰市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 设复数满足是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 已知直线：，：，若，则等于(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

5. 某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加演讲比赛，则
   恰有名男生和恰有名男生为互斤事件；
   至少有名男生和至少有名女生为对立事件；
   至少有名男生和全是男生是互斥事件；
   至少名男生和全是女生是对立事件．其中正确说法个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问名居民男女居民各名喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的列联表：

附表及公式：，

则下列结论正确的是(    )

A. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“支付方式与性别有关”
B. 在犯错的概率超过的前提下，认为“支付方式与性别有关”
C. 有以上的把握认为“支付方式与性别有关”
D. 有以上的把握认为“支付方式与性别无关”

7. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 在区间上任取一个数，若满足的概率为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 若函数在上为增函数，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若，，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设抛物线：的焦点为，抛物线上的两点，位于轴的两侧，且为坐标原点，若与的面积分别为和，的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 随机掷一枚骰子，正面向上的点数记为，则使关于的方程无实数解的概率为______．
14. 设函数，观察，，，根据以上事实，由归纳推理可得第个等式为______．
15. 已知双曲线的右焦点为，虚轴的一个端点为，所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．
16. 若，是函数的两个极值点，则          ；          ．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 随着高级公路的迅速发展，公路绿化受到高度重视，需要大量各种苗木．某苗圃培植场对颗“天竺桂”的移栽成活量单位：颗与在前个月内浇水次数间的关系进行研究，根据以往的记录，整理相关的数据信息如图所示：
    结合思图中前个矩形提供的数据，利用最小二乘法求关于的回归直线方程．
    Ⅱ表示中所求的回归直线方程得到的颗“天竺桂”的移栽成活量的估计值．当图中余下的矩形对应的数据组的残差的绝对值，则回归直线方程有参考价值，试问：
    中得到的回归直线方程有参考价值吗？
    Ⅱ预测颗“天竺桂”的移栽后全部成活时，在前三个月内浇水的最佳次数：
    附：回归直线方程为，其中．

18. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，．
    求的方程：
    在轴上是否存在点，使得恒成立为坐标原点？若存在求出坐标，若不存在说明理由．
19. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

求出表中，及图中的值；
在所取样本中，从参加社区服务的次数少于次的学生中用分层抽样的方法抽取人，在这人中任选人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．

20. 已知函数．
    当时，求曲线在点处的切线方程；
    若，且在上恒成立，求的取值范围．
21. 已知椭圆过点，且焦距为．
    求椭圆的方程；
    过点的直线交椭圆于点，两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
    Ⅰ分别求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
    Ⅱ已知点，直线与曲线交于，两点，弦的中点为，求的值．
23. 已知函数，．
    若的解集为求实数的取值范围；
    若在上有解，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
则“”是“”的充分而不必要条件，
故选：．
先解一元二次方程得到，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了一元二次方程的解法，充要条件的判定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键，属于基础题．
全称量词命题的否定是一个存在量词命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．

【解答】

解：命题“，”是一个全称量词命题．
其否定命题为：，，
故选C．

4.【答案】 

【解析】解：因为直线：，：，且，
所以，解得．
故选：．
利用两条直线平行的充要条件，列出关于的式子，求解即可．
本题考查了直线与直线位置关系的应用，主要考查了两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，恰有名男生和恰有名男生不可能同时发生，所以这两个事件是互斥事件，故正确；
对于，至少有名男生包括名男生名女生，名男生，至少有名女生包括名男生名女生，名女生，所以这两个有可能同时发生，所以它们不是互斥事件，故错误；
对于，至少有名男生包括名男生名女生，名男生，全是男生指的是名男生，所以这两个有可能同时发生，所以它们不是互斥事件，故错误；
对于，至少有名男生包括名男生名女生，名男生，和全是女生不可能同时发生，所以这两个事件是互斥事件，故正确．
故选：．
利用互斥事件和对立事件的定义判断即可．
本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查独立性检验，及计算能力，是基础题．由列联表中的数据结合公式求得，再结合临界值表得结论．

【解答】

解：由列联表得到，，，，代入，解得，，有以上的把握认为“支付方式与性别有关”，即在犯错的概率不超过的前提下，认为“支付方式与性别有关”．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，
当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，
当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，
当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，
综合得：
读了该篇文章的学生是乙，
故选：．
先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：区间的区间长度为，由，对应区间长度为，
满足的概率为．
．
故选：．
区间的区间长度为，满足，对应区间长度为，由几何概型公式，求得值即可．
本题考查几何概型概率的求法，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，圆心在直线上，，解得．
再根据直线与直线垂直，可得，
故选：．
由题意可得，圆心在直线上，由此求得的值；再根据直线与直线垂直，可得的值，从而得出结论．
本题主要考查直线和圆的位置关系，两条直线垂直的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
若在递增，则在恒成立，
则，则，
故选：．
求出函数的导数，问题转化为在恒成立，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或舍去．
故选：．
由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：点，位于轴的两侧，且在抛物线上，
不妨设， ，其中，，
由题知，解得或 舍去，
记为抛物线的准线，交轴于点，过、作的垂线，垂足分别为、，
由抛物线定义可知：，，
，
，
，
当且仅当，即时，取等号．

故选：．
根据数量积求得，结合图形用坐标表示出面积，然后由基本不等式可得．
本题考查了抛物线的性质、均值不等式，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意的值可以为，，，，，，
若方程无实数解，
则，即，
即当，或时，满足方程无实数根，
使关于的方程无实数解的概率为．
故答案为：．
根据，求出符合题意的的值，再根据古典概型的概率公式能求出使关于的方程无实数解的概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，所给的函数式的分子不变都是，而分母是由两部分的和组成，
第一部分的系数分别是，，，，第二部分的数分别是，，，，，
，
．
故答案是：．
观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．
本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，又，
所以，
双曲线的渐近线方程为，
因为直线与双曲线的一条渐近线垂直，
所以，
整理得，
又因为，
所以，
两边同时除以，得，
因为，
所以，
故答案为：．
根据条件可得，两边同时除以可得离心率方程，求解方程即可．
本题考查了双曲线的离心率，属于基础题．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是中档题．
先求出导函数，由题意可得，是方程 的两个根，可得，，代入即可求得结果．

【解答】

解：函数，，
，
令得：，
，是方程 的两个根，
，，

 
，
故答案为：，．

17.【答案】解：Ⅰ由所给数据计算得，
，
，
，
，，
，，
故所求的直线方程是；
Ⅱ当时，，则，
故可以认为回归直线方程有参考价值；
Ⅲ预测颗“天竺桂”的移栽后全部成活，
则由，解得：，
故在前三个月内浇水的最佳次数是次． 

【解析】Ⅰ分别求出，，求出回归系数，从而求出回归方程即可；
Ⅱ计算，根据数据判断即可；
Ⅲ代入方程计算即可．
本题考查了回归方程及其应用，考查获得数据和分析数据的能力，运算求解能力．
 

18.【答案】解：抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，．
当与轴垂直时，，从而，解得，
所以的方程为．
设，，，由题可知直线斜率不为零，
设：，代入抛物线方程消去，得，
从而，，
由可得，
，
将代入上式，得恒成立，所以，
因此存在点，且满足题意，点坐标为． 

【解析】利用已知条件，转化求解，得到抛物线方程．
设，，，设：，代入抛物线方程消去，，结合韦达定理，通过，推出，然后推出结果即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

19.【答案】解：由分组内的频数是，频率是知，
，
故，
故，
故；
是对应分组的频率与组距的商，
即；
这个样本参加社区服务的次数少于次的学生共有人，
即分层抽样人，
其中在区间内的人数为人，
在区间内的人数为人，
分别设为，，，，，，，
则任选人共有，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，共种情况，
两人都在内共有，，，，，
，，，，共种情况，
故至多一人参加社区服务次数在区间内的概率． 

【解析】由分组内的频数是，频率是求，再求，进而求及；
先确定在区间内抽取人，在区间内抽取人，再利用古典概率模型求概率．
本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：当时，，，
，，
切线方程为．
即．
函数在恒成立，
当时，恒成立，
当时，可化为，
令，
则，
令，则，
当时，，，
当时，，
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数；
，，
即的取值范围是． 

【解析】求出函数的导数，求解切线的向量，切点坐标，然后求解切线方程．
化简函数表达式，通过在恒成立，说明当时，恒成立，当时，可化为，构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解函数的最小值，推出结果即可．
本题考查切线方程的求法，函数导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：依题意椭圆过点，且焦距为．
有，
所以椭圆的方程为．
由题意可知该直线存在斜率，设其直线方程为，
由，消去得，
所以，即，
设，，，
则．
由，得，
代入椭圆的方程，
得，
由，得，
，
令，则，
所以． 

【解析】利用已知条件列出方程，求解，，即可得到椭圆方程．
设直线方程为，联立直线与椭圆方程，设，，，结合韦达定理，通过，求解的坐标，利用弦长公式，转化求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ曲线的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为；
直线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
Ⅱ点在直线上，转换为参数方程为为参数，代入，
得到，
所以，；
故． 

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：因为，
当且仅当时，取得最大值为，
若的解集为，则，
故实数的取值范围是；
当时，，
所以在上有解，即为在上有解，
在上有解，
设，
易知在上单调递增，所以，
，故实数的取值范围是． 

【解析】根据绝对值不等式的性质可得当且仅当时，取得最大值为，由此可得的取值范围；
问题可转化为在上有解，通过构造函数，求出函数在上的最小值即可得解．
本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及构造函数思想，考查运算求解能力，属于中档题．