2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县高二（下）期末数学试卷-普通用卷

2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 设集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 根据如下样本数据：

得到经验回归方程为，则(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 若的展开式中的常数项为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. ，，，，等名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次无并列名次已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这人最终名次的不同排列有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6. 某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 甲乙两人在数独上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了局的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 对变量和的一组样本数据，，，进行回归分析，建立回归模型，则(    )

A. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好
B. 若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
C. 用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D. 若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系

10. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是(    )

A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D.

11. 杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为，假设坐公交车用时单位：和骑自行车用时单位：都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则(    )

A.
B.
C.
D. 若某天只有可用，杨明应选择坐自行车

12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知曲线在处的切线方程为，则______．
14. 的展开式中的系数是______ 用数字作答．
15. 为庆祝中国共产党成立周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组名教师中人只会器乐表演，人只会声乐表演，人既会器乐表演又会声乐表演，现从这人中选出人参加器乐表演，人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有          种不同的选法．用数字作答
16. 若对任意的，，且当时，都有，则的最小值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知函数在处有极值．
    求，的值；
    求的单调区间．
18. 已知正项数列的前项和为，对有．
    Ⅰ求数列的通项公式；
    Ⅱ若，求的前项和．
19. 如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为梯形，二面角为直二面角，且，，，为的中点．
    求证：平面；
    求直线与平面所成的角的余弦值．

20. 设椭圆：的离心率为，焦距为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，．
    求椭圆方程；
    当直线垂直轴时，与有何关系？
    随着直线的变化，是否为定值？请说明理由．
21. 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端午节期间消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小完全相同的小球其中红球有个，黑球有个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
    方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折．
    方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元．
    若小清、小北均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；
    若小杰消费恰好满元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
22. 已知函数．
    若函数在定义域上的最大值为，求实数的值．
    设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由已知可得集合，
则，
故选：．
先求出集合，然后根据交集的定义即可求解．
本题考查了集合的运算关系，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，

，
故选：．
由得，再利用复数代数形式的乘法运算化简即可．
本题考查了复数代数形式的乘法运算及模，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查线性回归方程的理解，解题的关键是正确理解与的含义，考查逻辑推理能力，属于基础题．
通过表格中数据，分析随着的值是增加还是减小，从而可判断的情况，由，即可判断的情况．

【解答】

解：由表格可知，随着的值增加而减小，
故，
又当时，根据方程大于，
故．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：展开式的常数项为，
所以，解得，
故选：．
求出展开式的常数项，令其等于，由此求出的值．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意，甲、乙都不是第一名且不是最后一名；
故先排乙，有种情况；
再排甲，有种情况；
余下人有种排法．
故共有种不同的情况．
故选：．
先排乙，有种情况；再排甲，有种情况；余下人有种排法，最后相乘即可求解．
本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为两套机制是相互独立的，且两套机制失效的概率分别为和，
则恰有一套机制失效的概率为．
故选：．
利用分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．
本题考查了分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲乙两人各自解题是相互独立事件，又知每局中甲乙两人赢的概率相同，
即甲赢的概率为，甲输的概率为．
其概率是，
故选：．
以独立事件同时发生的概率公式去解决即可．
本题考查相互独立事件的乘法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：令，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以在上为增函数，
因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，，
所以，
所以在上为奇函数，
所以在上为增函数，
因为，
所以，
所以不等式的解集为的解集，
所以，
所以或，
故选：．
令，求导分析的单调性，根据题意可得的奇偶性，由，得，则不等式的解集为解集，即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项A错误；
因为回归方程必过样本中心，故选项B正确；
因为系数越接近，说明模型的拟合效果越好，故选项C错误；
由相关系数为负且接近，则和之间具有很强的负线性相关关系，故选项D正确．
故选：．
利用残差平方和的含义判断选项A，由回归方程必过样本中心判断选项B，由相关系数的含义判断选项C，．
本题考查了残差平方和的含义、相关系数的含义的应用，回归方程必过样本中心的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，事件包含的基本事件为，，，，，，共种，
，
事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共种情况，
，
故A正确，B错误；
对于，事件包含的基本事件个数为，
，，
事件与相互独立，故C正确；
对于，，
，故D错误．
故选：．
列举出事件，所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义可判断；分别求出，，利用相互独立事件定义判断；分别求出，，利用条件概率可判断．
本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：随机变量的均值为，方差为，则，，，
随机变量的均值为，方差为，则，，，
所以，故A正确；
，
，
因为，
所以，故B正确；
，故C错误；
对于，因为，
所以选择公交车，故D正确．
故选：．
利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据定义可知：若有不动点，则有解．
A.令，所以，易知是方程的一个解，故是“不动点”函数；
B.令，所以，方程的，故方程无解，所以不是“不动点”函数；
C.当时，令，所以或，所以是“不动点”函数；
D.令，所以，所以是“不动点”函数．
故选：．
根据所给定义，逐一定性判断即可，：满足条件，故A正确；：方程无解，故B错误；或满足条件，故C正确；：满足条件，故D正确．
本题考查简单的合情推理，涉及新定义问题，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，则，得，
，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，利用函数在处的导数值为求得，再由切点处的函数值相等列式求得．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的展开式中的系数是，
故答案为：．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分种情况讨论：只会器乐表演的人全部被选中，参加器乐表演，从只会器乐表演的人选出人，和既会器乐表演又会声乐表演的人共同参加器乐表演，由加法原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，分种情况讨论：
只会器乐表演的人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下人中选出人参加声乐表演，有种选法，
从只会器乐表演的人选出人，和既会器乐表演又会声乐表演的人共同参加器乐表演，有种选法，
则有种选法．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：由于当时，都有，
得，
即，
令，
对任意的，，且当时，都有，
在上单调递增，
，
，
在上单调递增，
，
故的最小值为，
故答案为：．
将已知不等式变形可得，令，则在上单调递增，利用导数可求得的单调递增区间，由此可确定的最小值．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，又在处有极值，
即解得，．
由可知，其定义域是，
，．
由，得；由，得．
函数的单调减区间是，单调增区间是． 

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
先求导，再又在处有极值，可得，解得即可，
根据导数和函数的单调性的关系即可求出．
 

18.【答案】解：Ⅰ，
当时，，解得；
当时，，
由得，
化为，
有，．
数列是以首项为，公差为的等差数列．
．
；
Ⅱ由Ⅰ得，
，，

． 

【解析】Ⅰ由数列递推式可得数列是以首项为，公差为的等差数列，则数列的通项公式可求；
Ⅱ把Ⅰ中求得的数列的通项公式代入，分组后利用等差数列与等比数列的前项和公式求解．
本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，训练了数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和，是中档题．
 

19.【答案】证明：如图所示，取的中点，连接，．
为的中点，．
又，且．
四边形为平行四边形．．
又平面，平面，平面分

解：取的中点，连接，由为正三角形，．
取的中点，连接，四边形为梯形，
为二面角的平面角．分
又二面角为直二面角，分
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

设，则，，，，
故，分
设平面的一个法向量为，则
则可取分
设直线与平面所成的角为．
分
．
故直线与平面所成的角的余弦值为分 

【解析】取的中点，连接，证明四边形为平行四边形．推出然后证明平面．
取的中点，连接，说明为二面角的平面角．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意得，解得，
所以，
所以椭圆方程为，
当直线垂直轴时，直线的方程为，
当时，，得，
所以，
因为，
所以，
所以，
直线为，，，
由，得，
所以，
所以


，
所以为定值． 

【解析】由题意得，再结合，求出，，从而可得椭圆的方程，
当直线垂直轴时，可求出，两点的坐标，从而可求出，的值，
直线为，，，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再求的值即可得答案．
本题考查直线与椭圆的综合，考查学生的综合能力，属于难题．
 

21.【答案】解：方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
小清、小北二人至多一人享受到免单的概率为．
若小杰选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、，
故的分布列为：

元，
若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
元，
，
小杰选择第一种抽奖方案更合算． 

【解析】在方案一种，先求出一个免单的概率，再求出两人同时免单的概率，求出该事件的对立事件，即可求解．
若小杰选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、，求出的期望，方案二摸到红球的个数服从二项分布，求出的数学期望，结合期望的线性公式，即可得的值，通过比较两个方案的期望，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
 

22.【答案】解：函数的定义域，，
当时，，函数单调递增，此时没有最大值；
当时，可得在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
由对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
因为，，
所以，
只需，对任意的恒成立，
令，则，
因为，所以，单调递增，且，，
故一定存在，使得，即，，
所以单调递增区间，单调递减区间，
所以，
故的最小值． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数可求函数在定义域上的单调性，进而可求最大值，即可；
由已知整理可得，，对任意的恒成立，结合，，可知，故只需，对任意的恒成立，构造函数，结合导数可求．
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．