2021-2022学年湖南省邵阳市第二中学高一下学期期末考试数学试卷含答案

邵阳市二中2022年上学期期末考试试卷

高一年二期数学试卷

时量：120min    分值：150min  

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知复数满足(其中为虚数单位)，则（    ）

A. 3 B.  C. 2 D.

3. 已知向量，若，则（    ）

A.  B.  C. 5 D. 6

4. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为排球社50位同学的垫球个数所做的频率分布直方图，所有同学垫球数都在5——40之间，估计垫球数的样本数据的75%分位数是（    ）

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

6. 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为线段BC，DC上的动点，且，则的最小值为（    ）

A.  B. 15 C. 16 D. 17

7. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将，分别沿MD，MC折起，使MA，MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 以下对各事件发生的概率判断正确的是（    ）

A. 连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为

B. 每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为

C. 将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是

D. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

10. 已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（    ）

A. 图象关于直线对称 B.

C. 的最小正周期为4 D. 对任意都有

11. 在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（    ）

A. 当为中点时，为锐角

B. 存在点，使得平面

C. 的最小值

D. 顶点到平面的最大距离为

12. 已知，，下列命题中正确的是（    ）

A. “”的最小值为

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设分别为两条异面直线的方向向量，且，则异面直线所成的角为___________.

14. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.

15. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

16. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒(长方体)表面积的最小值为___________.(忽略乒乓球及包装盒厚度)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

18. 如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.

（1）该截角四面体的表面积；

（2）该截角四面体的体积.

20. 如图，在长方体中，，P为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

21. 为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了名学生的成绩（满分分）作为样本，其中成绩不低于分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.

（1）若该年级共有名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数；

（2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）；

（3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于分的学生中随机抽取人，再从中抽取人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中名优秀生的概率.

22. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．

（1）求函数的解析式；

（2）记， 求函数的定义域；

（3）若对任意的， 不等式恒成立， 求实数的取值范围．

参考答案

1. 【答案】B
2. 【答案】D
3. 【答案】C
4. 【答案】C
5. 【答案】D
6. 【答案】B
7. 【答案】D
8. 【答案】A
9. 【答案】BCD
10. 【答案】ABD
11. 【答案】ABD
12. 【答案】BD
13. 【答案】####
    【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】256
16. 【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（k=1，2，3），记“甲获胜”为事件C，则

.

【小问2详解】

记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.

则

.

17. 【答案】（1）；   

（2）.

【小问1详解】

依题意，该截角四面体是4个边长为1正三角形和4个边长为1的正六边形围成，

截角四面体中，正三角形的面积，

边长为1的正六边形的面积，

所以该截角四面体的表面积为.

【小问2详解】

该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得，

棱长为1的正四面体的高，棱长为3的正四面体的高为，

则棱长为1的正四面体的体积，

棱长为3的正四面体的体积

所以该截角四面体的体积为：.

18. 【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

由及正弦定理可得

，

所以，

因为、，则，，则，故．

【小问2详解】

依题意，为锐角三角形且，由正弦定理得，

所以，，

所以

，

由于，所以，解得，

所以，，所以，

所以，所以．

所以的取值范围是．

19. 【答案】（1）见解析    （2）

【小问1详解】

以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示

设，则

又，平面

【小问2详解】

由（1）可知，平面的法向量为

设平面的法向量为，

，令，可得

故二面角的正弦值为

20. 【答案】（1）人；（2）；（3）.

【详解】（1）由直方图知，样本中数据落在的频率为：，

则估计全校这次考试中优秀生人数为：人；

（2）该样本数据的平均数为：

，

估计所有参加考试学生的平均成绩为；

（3）由分层抽样可知成绩在、、间分别抽取了、、人，

记成绩在的人为、、，在的人为、，在的人记为，

则人中抽取人的所有情况有种，分别为：

、、、、、、、、、、、、、、，

记抽取人为优秀生为事件，则事件包含的基本事件有：、、，共种，

因此，恰好抽中名优秀生的概率.

21. 【答案】（1）   

（2）   

（3）

【小问1详解】

由图像可知

，

，

∴

【小问2详解】

由（1) 知, 要使函数有意义, 

有, 故，即

解得

∴函数的定义域为

【小问3详解】

对, 有

，即

若对恒成立,

即最小值大于.

故, 即.

所以实数的取值范围为