2021-2022学年江西省抚州市七校高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年江西省抚州市七校高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设为实数，且为纯虚数其中是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 参数方程为参数所表示的曲线是(    )

A. 圆 B. 直线 C. 射线 D. 线段

5. 函数的部分图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 设，，均为正数，则，，(    )

A. 都不大于 B. 都不小于
C. 至多有一个不大于 D. 至少有一个不小于

7. 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强．某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量单位：与时间单位：的关系式为，为正常数，表示污染物的初始含量，实验发现废气经过的过滤，其中的污染物被消除了，则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为结果四舍五入保留整数，参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设，是函数的两个极值点，若，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知命题：若函数在上单调递增，则；：函数的值域为则下列命题中的真命题是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知变量关于的非线性经验回归方程为，其一组数据如下表所示：

若，则预测的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知是定义在上的函数，是其导函数，若，且，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知幂函数的定义域为，则实数______．
14. 已知复数满足，则的最大值为______．
15. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，给出下列三个结论：
    对于任意正整数，；
    存在正整数，为整数；
    存在正整数，使得的面积为．
    其中所有正确结论的序号是______．

16. 已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 周末，某游乐园汇聚了八方来客．面对该园区内相邻的两个主题区和，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同．某统计机构对园区内的位游客这些游客只在两个主题区中二选一进行了问卷调查．调查结果显示，在被调查的位成年人中，只有人选择主题区，而选择主题区的未成年人有人．
    根据题意，请将下面的列联表填写完整；

根据列联表的数据，判断是否有的把握认为选择哪个主题区与年龄层的人有关．
参考公式：，．

18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    设点的直角坐标为，曲线与曲线相交于，两点，求的值．
19. 已知函数．
    求不等式的解集；
    记函数的最小值为，正实数，满足，求证“”
20. 如图，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设是的内切圆圆心，是的内切圆半径，设是的面积，是的周长，由等面积法，可以得到．
    
    与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是，表面积是，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式只写结论即可，不必写推理过程；
    若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，求三棱锥的内切球半径和外接球的半径之比．
21. 定义在上的奇函数，已知当时，．
    求在上的解析式；
    若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知函数．
    讨论的单调性；
    当时，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
由题意得，
所以．
故选：．
根据一元二次不等式的解法，可得集合，根据集合的交运算即可求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：为纯虚数，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题主要考查纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，
则“”不能推出“”，“”能够推出“”，
即“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
由充分必要条件结合判断即可．
本题考查了充分必要条件，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据转换关系参数方程为参数转换为直角坐标方程为；
故该曲线为一条线段．
故选：．
直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程．
本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，
则有，则函数为奇函数，排除，
当时，，排除，
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，又由时，，排除，即可得答案．
本题考查函数图象的分析，涉及函数奇偶性和函数值变化趋势的分析，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为
，当且仅当时等号成立，
如果都小于，则不符合，
所以至少有一个不小于．
故选：．
结合基本不等式判断出正确选项．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为实验发现废气经过的过滤，其中的污染物被消除了，
所以，即，
要使，则，
即，
所以该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为．
故选：．
由题意知，，可解得，再利用，根据指数、对数的运算法则，即可得解．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，则，是的两相异实根，
则，解得，
故选：．
首先求函数的导数，再根据极值点的分布，求参数的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，则且为减函数．
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
由得，故命题为真命题；
因为，当且仅当或时，等号成立，
所以，即值域为，
故命题为假命题，则为真命题．
故选：．
先判断命题，的真假，结合选项可得答案．
本题考查复合命题的真假，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的导数为，
令，可得，解得，
则，，
设，可得，
则，即或，
由或，
可得倾斜角满足：或，
故选：．
求得的导数，令，解方程可得，由指数函数的值域可得处切线的斜率，由直线的斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的图象可得所求范围．
本题考查导数的几何意义和直线的斜率与倾斜角的关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由将两边同时取对数，得，
设，

，，
由，得，解得，
所以，
所以当时，．
故选：．
由将两边同时取对数，得，再结合线性回归方程的性质，求出该线性回归方程，并将代入上式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，
因为，且，
所以且，
故在上单调递增且，
所以不等式可转化为，
即，
故，
所以．
故选：．
由已知不等式可考虑构造函数，结合导数与单调性关系及已知函数性质可求．
本题主要考查了导数与单调性关系在不等式求解中的应用，解题的关键是根据已知不等式合理的构造函数，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：幂函数，
，，或，
或，
幂函数的定义域为，
，
故答案为：．
根据幂函数的定义，求出的值，再根据幂函数的定义域为，即可求解．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，由，得，
复数在复平面内所对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
表示圆上的点到点的距离，
的最大值为．
故答案为：．
令，则，根据即可求出其最大值．
本题考查复数的模，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，且点，在同一坐标轴的点的同侧，则，故正确；
同理当时，，故正确；
，而不可能等于，故错误．
故答案为：．
根据螺线形成的规律即可逐一求解．
本题考查归纳推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知，当时，，此时函数不存在最小值．
当时，，此时当时，函数取得最小值．
因此要使得存在最小值，即满足．
设函数，此函数在上单调递增．
．
．
．
所以当时，成立．
故实数的范围是．
由已知，可分段判断函数的最小值，然后再从整体来看．
要使得存在最小值需要满足的关系，根据得到的关于的不等关系．
设函数，通过赋值结合单调性来判断的取值范围．
本题主要考查分段函数确定最小值问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意成年人中有人选择主题区，人选择主题区，
末成年人中有人选择主题区，人选择主题区，
列联表：

，
所以没有的把握认为选择哪个主题区与年龄层的人有关． 

【解析】由题意填写表格；
由公式计算卡方后判断．
本题考查了独立性检验的知识，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，消去参数可得；
由，可得，则；
曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；
曲线的参数方程为为参数，将曲线的参数方程代入曲线的普通方程可得，，
令，，则由韦达定理有，． 

【解析】根据参数方程，极坐标方程与普通方程的转换关系求解即可；
写出曲线的参数方程，并与曲线的普通方程联立，利用参数的几何意义即可得解．
本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，解得；
当时，，此时无解；
综上，所求不等式的解集为；
证明：由知，当时，；
当时，；
当时，；
的最小值为，则，
，当且仅当时等号成立． 

【解析】将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；
分析可知的最小值为，进而可得，再由基本不等式转化求证即可．
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：类比推理可得，三棱锥的内切球的半径公式；
因为，，两两垂直，，所以的面积为，
则三棱锥的体积为，
三棱锥的表面积为．
所以内切球的半径，
外接球半径，
所以三棱锥的内切球半径和外接球的半径之比为． 

【解析】由类比推理的思想可判断三棱锥内切球的半径公式为；
由题意，根据等体积法计算三棱锥的体积与三棱锥的表面积，代入内切球的半径公式可求出，再由，，两两垂直，可计算外接球的半径，从而可得三棱锥的内切球半径和外接球的半径之比．
本题考查类比推理，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
 

21.【答案】解：是定义在上的奇函数，
，
，
，
设，则，
，
时，；
，，
即，
即在时恒成立，
，
，
在上单调递减，
时，的最大值为，
． 

【解析】根据奇函数的性质即可求出，设，，易求，根据奇函数性质可得与的关系；
分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．
本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，易得当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
故当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：当时，，
要证，即证，
即证，
只要证，
令，，
即证，
令，，
则，
易得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，函数取得最小值，
故，
所以． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，进而可求函数的单调性；
要证，问题转化为证，合理进行变形可转化为证，然后进行换元令，，即证，结合不等式特点考虑构造函数，，结合导数分析函数性质即可证明．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．