2021-2022学年江西省上饶市六校高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年江西省上饶市六校高二（下）期末数学试卷（文科） 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为(    )A.  B.  C.  D. 若：，：，则是的(    )A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件已知，且与共线，则(    )A.  B.  C.  D. 已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 在区间上任取一个数，则的概率为(    )A.  B.  C.  D. 设实数，满足约束条件，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥表面积为(    )A.  B.  C.  D. 已知为等差数列的前项和，若，，则该数列的公差为(    )A.  B.  C.  D. 已知直线与圆相交，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 已知正数，满足，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 已知双曲线：的焦距为，，为其左右两个焦点，直线经过点且与渐近线平行，若上存在第一象限的点满足，则双曲线离心率的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）已知角的终边经过点，则______．曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．在正项等比数列中，已知，则______．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，面，，，，为线段的中点，下面结论正确的是______．
；
直线和底面所成的角为；
过点且与平面平行的平面截该四棱锥所得截面的面积为；
四棱锥外接球的表面积为． 三、解答题（本大题共7小题，共82分）足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．为了解某社区足球爱好者的年龄分布情况，从该社区随机抽取名足球爱好者，将这人的年龄按，，，，分成组，得到了如下的频率分布直方图．
求样本的平均数及中位数；
从年龄段和中按分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这两人的年龄都落在的概率．
内角、、所对的边分别为、、，且．
求角的大小；
若外接圆的半径为，角的平分线与线段交于点，且，求、的值．如图，四边形是边长为的正方形，为等腰直角三角形，，点在线段上，且二面角为直二面角．
证明：平面平面；
当平面时，求点到平面的距离．
已知函数．
若，求的单调区间；
若，对一切恒成立，求的取值范围．已知抛物线上的任意一点到的距离比到轴的距离大．
求抛物线的方程；
若过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求重心的轨迹方程．选做题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
若曲线，交于，两点，求的值．已知函数，．
求不等式的解集；
若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
的共轭复数为．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：：，，
：，，
，
是的必要不充分条件，
故选：．
先解对数不等式，一元二次不等式，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了对数不等式，一元二次不等式的解法，充要条件的判定，属于中档题．
 3.【答案】 【解析】解：，且与共线，
，且 ，求得，
故选：．
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和指数函数性质的合理运用．
 5.【答案】 【解析】解：区间，区间长度为，包含于的区间长度为，
故的概率为．
故选：．
利用几何概型的定义，计算即可．
本题考查几何概型，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：作出实数，满足约束条件对应的平面区域，
由，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最大，此时最大．
由可行域可确定目标函数在处取最大．
故选：．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．
本题考查线性规划问题．利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
 7.【答案】 【解析】解：设等边三角形的边长为，
圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
，则，它的高为，
则这个圆锥的表面积为，
故选：．
由题意求得圆锥的底面半径，可得它的表面积．
本题考查利用圆锥的轴截面，求圆锥的表面积，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：为等差数列的前项和，，，
，
解得该数列的公差为．
故选：．
利用等差数列的通项公式和前项和公式，列方程组，能求出该数列的公差．
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 9.【答案】 【解析】解：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相交，所以，
解得．
故选：．
由题意利用点到直线的距离小于半径，求出的范围即可．
本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．
 10.【答案】 【解析】解：，，，




，
当且仅当，即，时，等号成立；
故的最小值为，
故选：．
化简，再结合基本不等式求最值．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：因为满足的所有点在以，为焦点，长轴长为，短轴长为的双曲线，即上．
故若上存在第一象限的点满足，则双曲线与直线有交点即可．
数形结合可得，当的渐近线与直线的斜率满足即可，故，
故离心率，即．
故选：．
根据题意分析满足的点的轨迹，再根据此轨迹与直线有交点，结合渐近线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的离心率的取值范围的问题，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由已知可得，可得，
所以，．
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函最，由可得，
所以，，即．
令，其中则，
当时，，此时函数单词递减，
当时，，此时函数单调通增．则，
，解得，故实数的最大值为．
故选：．
将所求不等式变形为，构造函数，分析出函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数的最小植，可得出关于的不等式，即可求得实数的最大值．
该题考查了如何利用导数研究函数的最值，转化为不等式恒成立问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：角的终边经过点，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：曲线表示焦点在轴上的椭圆，
，
解得：．
实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意可得，，求解不等式得答案．
本题考查椭圆的简单性质，是基础的计算题．
 15.【答案】 【解析】解：是等比数列，
，
，
．
故答案为：．
根据是等比数列可得，则，进一步利用进行求解即可．
本题考查等比数列的性质，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：因为面，所以，
又因为底面为等腰梯形，，，
所以梯形的高为，
所以
因为，
所以，
又因为，
所以平面，
所以，故正确；
由可知是和底面所成的角，
又因为，
又因为，
所以，即和底面所成的角为，故错误；
如图所示：

取中点，中点，中点，依次连接，，，，
则平面是与平面平行且截该四棱锥所得截面，
由题可知平面是梯形，，且，
如图所示：

则有，解得，
所以梯形的高为，
所以面积为，故正确；
将四棱锥补成以，，为长、宽、高的长方体，则此长方体的八个顶点在球面上，
所以，
所以，
所以四棱锥外接球的表面积为，故正确．
故答案为：．
由题意可知，求出梯形的高为，证明即可判断；
由题意可得是和底面所成的角，求出大小即可判断；
作出截面，再计算面积即可判断；
将四棱锥补成以，，为长、宽、高的长方体，即可求出球的表面积，从而判断即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 17.【答案】解：由频率分布直方图可知，
样本的平均数为；
，，
样本的中位数为；
：：，
从年龄段和中分别抽取人，人；
再从这人中随机抽取人，
共有种方法，
其中这两人的年龄都落在的共有人，
故这两人的年龄都落在的概率为． 【解析】结合频率分布直方图，利用平均数与中位数的定义代入值求解即可；
先确定从年龄段和中分别抽取的人数，再利用古典概率模型求概率．
本题考查了频率分布直方图及古典概率模型的应用，属于中档题．
 18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
可得，
又，
所有，可得，
又，
所以．
若外接圆的半径为，，
由正弦定理，可得，
因为为角的平分线，
所以，
又，，
即，可得，
由余弦定理，可得，
由得． 【解析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的的值．
利用三角形的面积公式和余弦定理可得出关于、的方程组，即可解得，的值．
本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式和余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 19.【答案】证明：四边形是正方形，，
又二面角为直二面角，平面平面，
平面，
平面，，
又；，
平面，
平面，平面平面；
解：连接交于点，连接，平面，
又平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可得，
又是中点，为中点，
取中点，连接，则平面，且，
，，
因为为中点，所以，故四面体的体积
，
设点到平面的距离为，由等体积法可知，所以，

故点到平面的距离为． 【解析】根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可证明线线垂直，通过线线垂直可证明线面垂直；根据线面平行的性质可判断点为中点，进而根据等体积法可求．
本题考查了面面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 20.【答案】解：．
由得或，
且当或时，，当时，，
的单调增区间为和，单调减区间为．
依题意可得在上恒成立，
令，则，
令，易知在上单调递增，
，，又，，，
使得，即有，
且在上单调递减，在上单调递增，
．
，
即的取值范围为． 【解析】将代入原函数，进行求导，大于求出增区间，小于求出减区间．
将恒成立问题转化为零点问题，求导，求最值．
该题考查了如何利用导数研究函数的最值，考查对问题的转换能力，属于中档题．
 21.【答案】解：由抛物线的定义可得，抛物线的方程为；
由题意可得直线的斜率存在，设其为，设，，
则直线的方程为；代入抛物线方程得，则有，，
，，
：，即，
同理：，
可得，，
，
，
，
设，则，
消得，所以的轨迹方程为． 【解析】根据抛物线的定义求解即可；
设直线的方程为，再联立抛物线的方程，利用韦达定理结合切线方程可得，再根据重心的坐标公式，代入韦达定理可得轨迹．
本题考查了抛物线的切线问题、动点的轨迹方程，考查了运算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：消去参数得曲线的普通方程为，
由可得曲线的直角坐标方程为；
易知的直角坐标为，将曲线的参数方程为参数，
代入的直角坐标方程，化简得，
设、对应的参数分别为，，则有，
所以． 【解析】利用消参法可得曲线：，由可得曲线；根据直线参数方程的理解可得，把曲线的参数方程代入曲线的普通方程整理，结合韦达定理求解．
本题考查了方程之间的互化和参数方程的应用，属于中档题．
 23.【答案】解：不等式化为，，
当时，，，符合题意，
当时，，，此时不等式无解，
当时，，，符合题意，
综上，不等式的解集；
表示数轴时点到点和点的距离和，，
而，当时，，
又，，，增函数，，
若对任意，都存在，使得成立，则应，--，
的取值范围，--． 【解析】运用零点分段法求解；
转化为求的最小值，的最小值问题求解．
本题考查了绝对值不等式的解法，及绝对值的几何意义，是中档题．