2021-2022学年江西省宜春市丰城九中高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年江西省宜春市丰城九中高二（下）期末数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若复数满足为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，，为非零实数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据记录数据都是正整数，单位：：
   甲地：个数据的中位数为，极差不超过；
   乙地：个数据的中位数为，总体均值为；
   丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为．
   其中肯定进入夏季的地区有(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数，且的图象恒过定点，若点在直线上其中，，则的最小值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线：的焦点到的一条渐近线的距离为，则的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 幻方，是中国古代一种填数游戏．阶幻方是指将连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等．中国古籍周易本义中的洛书记载了一个三阶幻方如图若某阶幻方正中间的数是，则该幻方中的最小数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数满足：对任意，，当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 函数，，若函数与的图象有三个交点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若函数在上的最大值为，则______．
14. 一个质点做直线运动，其位移单位：与时间单位：满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为______．
15. 设函数，若，则______．
16. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知集合，．
    若，求的取值范围；
    若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
18. 本小题分
    在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数．
    Ⅰ求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    Ⅱ若直线与曲线交于，两点，已知点，且，求的值．
19. 本小题分
    已知函数．
    当时，求不等式的解集；
    若，求的取值范围．
20. 本小题分
    已知函数．
    求的单调递减区间；
    设锐角内角，，的对边分别为，，，已知，，求的取值范围．
21. 本小题分
    上海的疫情牵动着全国人民的心，全国各地送来了很多支援上海的防疫物资，除此之外一些蔬菜中转厂，通过向农场购买蔬菜进行储存，再卖给上海各个小区，也为上海居民提供了蔬菜来源．某蔬菜中转厂的每日进货的蔬菜量最多不超过吨，由于蔬菜采购，运输，管理等因素，蔬菜每日浪费率与日进货量吨之间近似地满足关系式，已知每售出一顿蔬莱可赢利千元，而浪费一吨蔬菜则亏损千元．
    蔬菜中转厂的日利润日售出赢利额日浪费亏损额．
    将该蔬菜中转厂的日利润千元表示成日产量吨的函数；
    当该蔬菜中转厂的日进货量为多少吨时，日利润最大？最大日利润是几千元？
22. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ若函数无零点，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算，解题的关键是掌握复数的除法运算公式，考查了运算能力，属于基础题．
利用复数的除法运算求解即可．
【解答】
解：因为，
所以．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，，
则．
故选：．
由已知结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，A错误，
当，时，，B错误，
由，可得，C正确，
当时，，D错误，
故选：．
利用不等式的基本性质，分别判断各选项即可．
本题考查不等式的基本性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据倍角公式求出三角函数值即可．
本题考查了倍角公式的应用，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于甲地，由于个数据的中位数为，若有低于，假设取，此时极差超过，故假设不成立，
甲地连续天的日平均温度均不低于，故甲地肯定进入夏季，故正确，
对于乙地，个数据的中位数为，总体均值为，
当个数据为，，，，时，可得其连续天的日平均气温有低于，
故乙地不一定进入夏季，故错误，
对于丙地，个数据中有个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，
此时，故假设不成立，
丙地连续天的日平均温度均不低于，丙地肯定进入夏季，故正确，
综上所述，正确的为．
故选：．
根据已知条件，结合中位数，方差，极差的数据特征，运用特殊值法，即可求解．
本题主要考查中位数，平均数，方差的数据特征，以及方差公式的运用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：令，求得，可得函数，且的图象恒过定点，
若点在直线上其中，，则，即．
由基本不等式可得，即，即，当且仅当时，取等号．
则，
故选：．
先求出定点的坐标，再把代入直线方程，利用基本不等式求得的最小值．
本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，基本不等式的应用，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
由正弦定理可得，
又，
所以可得，可得，
又，
所以，
又，，
由余弦定理可得，
所以．
故选：．
由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可求得，结合范围，可求，进而由余弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：双曲线：的焦点到的一条渐近线的距离为，
可得，，所以，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
利用双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，求解，，推出，即可得到离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，阶幻方正中间的数是时，
幻方中的最小数为，
阶幻方正中间的数是时，
幻方中的最小数为．
故选：．
根据阶幻方对应关系能求出该幻方中的最小数．
本题考查幻方、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对任意，，
所以，，即函数的周期，
当时，，
则．
故选：．
由已知先求出函数的周期，然后结合对数的运算及周期把所求函数值的变量转化到已知区间上，代入结合对数恒等式可求．
本题主要考查了函数值的求解，体现了转化思想的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
求得的导数，结合三元均值不等式，以及导数的几何意义，可得所求切线的斜率的最小值．
本题考查导数的几何意义，以及基本不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
【解答】
解：由，的导数，
当且仅当时等号成立，
可得曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中作出函数的大致图像如图所示，

函数恒过点，
设过点与函数的图像相切的直线为，
设切点为，
的导函数，
所以切线的斜率，
则，
解得或舍，
所以切线的斜率，
由图像可知，若函数与的图像有三个交点，则实数的取值范围为，
故选：．
在平面直角坐标系中作出函数的大致图像，函数恒过点，设过点与函数的图像相切的直线为，设切点为，则，解得，进而可得切线的斜率，即可得出答案．
本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合，转化思想的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
则，，
由得；由得，
则，在单调递增，在单调递减，
则函数，，
在时求得最大值，
故，解之得，
故答案为：．
求导函数，确定函数在定义域内的单调性，利用已知函数的最大值为，进而求出的值．
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值，是通过比较函数在内所有极值与端点函数，的大小而得到的．
 

14.【答案】 

【解析】解：质点的瞬时速度，
当时，该质点的瞬时速度为
故答案为：．
由导数的实际意义可知质点的瞬时速度，求出，再令即可求出结果．
本题主要考查了导数的实际意义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数，，
时，，时，，
由，得，，解得或，
不存在，舍去，
，则，解得．
故答案为：．
先求的值域，再由，求出，再求出．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为当时，不等式恒成立，
所以当时，不等式恒成立，
设，则在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
所以，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为
问题转化为当时，不等式恒成立，设，则在上是增函数，即在上恒成立，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，解得：，故A，
因为，所以，
故，解得：，
所以的取值范围是，
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得：，
当时，需要满足：或，解得：
综上：的取值范围是． 

【解析】先求出，由得到，得到不等式组，求出的取值范围：
根据充分不必要条件得到是的真子集，分与两种情况进行求解，求得的取值范围．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 

18.【答案】解：Ⅰ由．
由，得，
又且，得，
即．
直线的普通方程和曲线的直角坐标方程分别为和；
Ⅱ解把代入，整理得．
设，对应的参数为，
则，，
，，
，
． 

【解析】Ⅰ直接把直线的参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程；
Ⅱ把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中的几何意义的应用，是中档题．
 

19.【答案】解：当时，，
，或或，
或，
不等式的解集为．
，
若，则，
两边平方可得，解得，
即的取值范围是． 

【解析】将代入中，根据，利用零点分段法解不等式即可；
利用绝对值三角不等式可得，然后根据，得到，求出的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：，
令得，
的单调递减区间为；
由得，
，，，
由正弦定理得，，，
的取值范围为． 

【解析】本题考查正弦定理以及学生三角恒等变换的能力，属于中档题．
先将函数式化为的形式，然后结合正弦曲线的单调性构造出关于的不等式求解；
先求出，然后根据正弦定理将表示为的三角函数，求出值域即可．
 

21.【答案】解：依题意得，，
当，时，
，
令解得：，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，取得极大值，也是最大值，
又，，，
最大值为，
当，时，
，
单调递减，
当时，取得最大值，
，
当该蔬菜中转厂的日进货量为吨时，日利润最大，最大日利润是千元． 

【解析】根据蔬菜中转厂的日利润日售出赢利额日浪费亏损额，列出函数式将代入即可；
对分段函数分别求其单调性以及最值即可得出日利润最大值．
本题考查了数学建模思想、导数的综合运用，属于中档题．
 

22.【答案】解：证明：，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
当时，取最大值，所以，所以；
Ⅱ因为，
所以，
当时，， 在定义域上无零点；
当时，，所以，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时， 取最大值
因为无零点，所以，即；
当时，因为，所以，
即，
所以在定义域上无零点．
综上，的取值范围是，． 

【解析】对求导，利用导数求出的最大值，即可得证；
Ⅱ对求导，对分类讨论，结合题意即可求解的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，函数零点个数问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．