人教版 (2019)必修 第三册2 电势差导学案

电势差

必备知识·自主学习

一、电势差

如图是等高线的图示,所标数值是地面某个点高出海平面的垂直距离,也就是海拔,也称为绝对高度。而地面上某一点高出另一点的垂直距离称为相对高度。

(1)选择不同的测量起点时,不同地方的高度和两个地方的高度差会有怎样的变化?

(2)同样地,在电场中选择不同的电势零点时,不同位置的电势和两个位置的电势差又会有怎样的变化?

提示:(1)不同地方的高度不一样,但高度差不变。

(2)不同位置的电势不同,但电势差不变。

1.定义:电场中两点间电势的差值叫作电势差,也叫电压。

2.公式:设电场中A点的电势为φA,B点的电势为φB,则A、B两点之间的电势差为:UAB=φA-φB。B、A两点之间的电势差为:UBA=φB-φA。所以UAB=-UBA。

3.电势差的正负:电势差是标量,但有正负。电势差的正负表示两点电势的高低。所以电场中各点间的电势差可依次用代数法相加。

4.电势差的单位:在国际单位制中,电势差与电势的单位相同,均为伏特,符号是V。

二、静电力做功与电势差的关系

1.公式:WAB=qUAB　UAB=。

2.物理意义:电场中A、B两点间的电势差,等于将电荷由A点移至B点的过程中静电力做的功与电荷量q的比值。

3.适用范围:任意电场。

三、等势面

如图所示是我们在地理上学到的等高线的表示方法,类比到电场中,我们怎么用类似的方法表示电场中电势相等的各点呢?

提示:等势面。

1.定义:电场中电势相等的各点构成的面。

2.等势面的特点:

(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。

(2)电场线跟等势面垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。

(3)两个不同的等势面永不相交。

(1)电场中两点的电势越高,电势差越大。 (×)

(2)UAB>0说明从A到B电势降低。 (√)

(3)电势差有正负值,是矢量。 (×)

(4)电势差与电势一样,是相对量,都与零电势点的选取有关。 (×)

(5)UAB越大,WAB越大,WAB与UAB成正比。 (×)

(6)若电场中两点间的电势差UAB=1 V,则将单位正电荷从A点移到B点,静电力做功为1 J。 (√)

(7)电荷在等势面上移动时不受静电力作用,所以不做功。 (×)

(8)匀强电场中的等势面是相互平行且垂直于电场线的一簇平面。 (√)

(9)等势面上,不仅各点电势相同,电场强度也一定相同。 (×)

关键能力·合作学习

知识点一　静电力做功与电势差的关系

1.对公式WAB=qUAB和UAB=的理解:

(1)公式WAB=qUAB适用于任何电场,式中UAB为A、B两点间的电势差,WAB为q从初位置A运动到末位置B时静电力做的功,计算时要注意W与U的下角标要对应,如WAB=qUAB,WBA=qUBA。

(2)电势差UAB仅与电场中A、B两点的位置有关,不能认为UAB与WAB成正比,与q成反比,只是可以利用来计算A、B两点间的电势差。

(3)WAB、UAB、q均可正可负,但代表的意义不同。WAB取正号,表示静电力做正功;UAB取正号,表示φA>φB,q取正号,表示试探电荷为正电荷。WAB取负号,表示静电力做负功;UAB取负号,表示φA<φB;q取负号,表示试探电荷为负电荷。

(4)WAB=qUAB中,静电力做的功WAB与移动电荷q的路径无关,只与初、末位置的电势差有关。

2.静电力作用下的能量转化规律:

(1)从动能定理角度考虑,带电体动能的变化量等于静电力对它做的功。

(2)从静电力做功与带电体的电势能变化的关系考虑,带电体的电势能的减少量等于静电力对它做的功。

(3)从能量守恒角度考虑,带电体动能的增加量等于它的电势能的减少量。

在如图所示的电场中有A、B两点,若选取无穷远处为零电势点,A、B两点的电势分别为φA、φB。

(1)A、B两点的电势差UAB是多少?若把某电荷q从A移到B,电荷的电势能变化了多少?

(2)根据静电力做功与电势能变化的关系,求静电力对该电荷做的功。

提示:(1)UAB=φA-φB,电势能的变化量为ΔEp=EpB-EpA=q(φB-φA)

(2)WAB=EpA-EpB=qφA-qφB=q(φA-φB)=qUAB

【典例】如图所示的匀强电场中,有a、b、c三点,ab=6 m,bc=10 m,其中ab沿电场线方向,bc和电场线方向成60°角,电荷量为q=4×10-8 C的正电荷从a移到b静电力做功为W1=1.2×10-5 J,求:

(1)匀强电场的场强E;

(2)电荷从b移到c,静电力做的功W2;

(3)b、c两点间的电势差Ubc。

【解题探究】

(1)静电力做的功和电场强度有何关系?

提示:W=qElcosα,α表示静电力与位移之间的夹角。

(2)电势差与静电力做的功有何关系?

提示:UAB=。

【解析】(1)设a、b两点间距离为d,则:W1=qEd,

解得:E== V/m=50 V/m

(2)设b、c两点沿电场强度方向距离为d1,则:

d1=bc·cos60°=10× m=5 m

所以:W2=qE·d1=4×10-8×50×5 J=1×10-5 J

(3)由(2)知,电荷从b移到c,静电力做的功W2=1×10-5 J

又:W=qU

联立解得:Ubc=250 V

答案:(1)50 V/m　(2) 1×10-5 J　(3) 250 V

求解电场力做功的常用方法

(1)功的定义法:W=qEd,仅适用于匀强电场,公式中d表示始末位置沿电场线方向的距离。

(2)电势差法:WAB=qUAB,既适用于匀强电场,又适用于非匀强电场,计算时要注意带符号运算。

(3)电势能变化法:WAB=-ΔEp=EpA-EpB,适用于任何电场。

(4)动能定理法:W电场力+W其他力=ΔEk,适用于任何电场。

四个公式中,前三个公式可以互相导出,应用时要注意它们的适用条件,要根据具体情况灵活选用公式。

1.(母题追问)在【典例】中a、c两点间的电势差Uac是多少?

【解析】设电荷从a移到c静电力做功为W,则:W=W1+W2

又:W=qUac

联立解得:Uac=550 V

答案:550 V

2.如图所示,光滑绝缘细杆竖直放置,它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点,质量为m、带电荷量为-q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑,已知q≪Q,AB=h,小球滑到B点时的速度大小为,求:

(1)小球由A到B的过程中静电力做的功;

(2)A、C两点间的电势差。

【解析】(1)因为杆是光滑的,所以小球从A到B的过程中只有两个力做功:静电力做的功WAB和重力做的功mgh,

由动能定理得WAB+mgh=m

代入已知条件vB=得

WAB=m·3gh-mgh=mgh。

(2)因为B、C在同一等势面上,所以φB=φC,

即UAC=UAB==-。

答案:(1)mgh　(2)-

【加固训练】

如图所示,已知AC⊥BC,∠ABC=60°,BC=20 cm,A、B、C三点都在匀强电场中,且A、B、C所在平面与电场线平行,把一个电荷量q=1×10-5 C的正电荷从A移到B,电场力做功为零;从B移到C,电场力做功为-×10-3 J。

(1)求A、C间的电势差;

(2)若规定B点电势为零,求C点的电势。

【解析】(1)根据W=Uq得,UAB==0,即φA=φB,UBC==-×102 V

UAC=φA-φC=φB-φC=UBC=-×102 V

(2)φB=0,UBC=φB-φC,所以φC=φB-UBC=×102 V。

答案:见解析

知识点二　等势面的特点及其与电势的关系

1.等势面的特点:

(1)在同一等势面内任意两点间移动电荷时,静电力不做功。

(2)空间两等势面不相交。

(3)电场线总是和等势面垂直,且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。

(4)在电场线密集的地方,等差等势面密集。在电场线稀疏的地方,等差等势面稀疏。

(5)等势面是虚拟的,是为描述电场的性质而假想的面。

2.四种常见的典型电场等势面的对比分析:

在地理学中,为了形象地表示地形的高低,常采用在地图上画等高线的方法。在电场中,我们也可以采用类似的方法表示电势的高低分布,采用画等势线(面)的方法。如图所示为等量同种点电荷形成的电场的电势分布规律。

探究:(1)两个不同的等势面能相交吗?

(2)顺着电场线,等势面的电势如何变化?

提示:(1)不能　(2)降低

【典例】如图所示,a、b两点位于以负点电荷-Q(Q>0)为球心的球面上,c点在球面外,则 (　　)

A.a点电场强度的大小比b点大

B.b点电场强度的大小比c点小

C.a点电势比b点高

D.b点电势比c点低

【解析】选D。负点电荷电场线和等势面如图所示,沿电场线方向电势降低,电场线的疏密表示电场强度的大小,由此可知a、b两点电场强度大小相等且大于c点电场强度的大小,选项A、B错误;c点电势高于b点电势,b点电势等于a点电势,选项C错误,D正确。

　等势面的应用

(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低及差值。

(2)由等势面可以判断静电力对移动电荷做功的情况。

(3)已知等势面的形状分布,可以绘制电场线。

(4)由等差等势面的疏密,可以比较不同点电场强度的大小。

1.(多选)如图所示,真空中M、N处分别放置两等量异种电荷,a、b、c表示电场中的3条等势线,d点和e点位于a等势线上,f点位于c等势线上,df平行于MN。以下说法正确的是              (　　)

A.d点的电势高于f点的电势

B.d点的电势与e点的电势相等

C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点,则静电力先做正功、后做负功

D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点,试探电荷的电势能增加

【解析】选A、B。电场线从M指向N,而沿电场线方向电势降低,所以d点的电势高于f点的电势,选项A正确;d点和e点在同一条等势线上,所以两点电势相等,选项B正确;若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点过程中,静电力方向与运动方向夹角为钝角,所以静电力一直做负功,选项C错误;若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点,过程始末试探电荷的电势相等,所以静电力做功为零,电势能不变,选项D错误。

2.如图所示匀强电场E的区域内,在O点处放置一点电荷+Q。a、b、c、d、e、f为以O点为球心的球面上的点, acef平面与电场线平行, bdef平面与电场线垂直,则下列说法中正确的是              (　　)

A.b、d两点的电场强度相同

B.a点的电势等于f点的电势

C.点电荷+q在球面上任意两点之间移动时,电场力一定做功

D.将点电荷+q从球面上a点移动到c点的电势能变化量最大

【解析】选D。电场强度是矢量,题图中每一点的电场强度应为匀强电场E和点电荷+Q在该点产生的电场强度的合场强, b、d两点的电场强度大小相等,方向不同,A错误;把正电荷从a点移到f点,电场力做正功,所以a点的电势大于f点的电势,B错误;点电荷+q在球面bdef上任意两点之间移动时,电场力不做功,C错误;因为a、c两点所在直线与匀强电场E的方向相同,因此将点电荷+q从球面上a点移动到c点,电场力做功最多,电势能变化量最大,D正确。

【加固训练】

 (多选)位于A、B处的两个带有不等量负电荷的点电荷在平面内的电势分布如图所示,图中实线表示等势线,则 (　　)

A.a点和b点的电场强度相同

B.正电荷从c点移到d点,静电力做正功

C.负电荷从a点移到c点,静电力做正功

D.正电荷从e点沿图中虚线移到f点,电势能先减小后增大

【解析】选C、D。电场线与等势线垂直,易判断a、b两点的电场强度方向不相同,选项A错误;正电荷从c点移到d点,静电力做负功,选项B错误;负电荷从a点移到c点,静电力做正功,选项C正确;正电荷从e点沿图中虚线移到f点,静电力先做正功,后做负功,故电势能先减小后增大,故选项D正确。

【拓展例题】考查内容:电势、电场强度及电势能之间的区别与联系

【典例】如图,在点电荷Q产生的电场中,将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点,实线为等势线。取无穷远处为零电势点,若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等,则下列说法正确的是 (　　)

A.A点电势大于B点电势

B.A、B两点的电场强度相等

C.q1的电荷量小于q2的电荷量

D.q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能

【解析】选C。由于将q1、q2移到无穷远过程外力克服电场力做的功相等,则q1在A点的电势能等于q2在B点的电势能,D错误。由于电场力做负功,则电场线由外指向内,B点电势大于A点电势,A错误。A点处电场线密,场强大,A、B两点电场强度方向也不同,B错误。据W=qU及A点到无穷远处电势差大于B点到无穷远处电势差可知q1的电荷量小于q2的电荷量,C正确。

情境·模型·素养

如图为某一平面内非匀强电场的等势线分布图,已知相邻的等势线间的电势差大小相等,其中A、B两点电势分别为φA=10 V,φB=2 V。

探究:

(1)比较A、B两点电场强度的大小。

(2)若将一电子从A点沿某一路径运动到B点,则电子的电势能如何变化?变化了多少?

【解析】(1)等差等势面密的地方电场强度大,B处的等势面密,所以B点的电场强度大。

(2)根据公式:W=qU得:W=qU=-e·(φA-φB)=-1.6×10-19×8 J=-1.28×10-18 J;电场力做负功,电子的电势能增大。

答案:(1)B点的电场强度大

(2)增大　1.28×10-18 J

如图所示,Y和Y′是真空中一对水平放置的平行金属板,板间距离为d,板长为L,两板间电势差为U,板间电场可视为匀强电场。现有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子,以水平初速度v0射入板间。

探究:极板间既有电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质,请写出电势φ的定义式。类比电势的定义方法,在重力场中建立“重力势φG”的概念。

【解析】电场中,电势的定义为电势能与电荷量的比值,即:φ=,根据电势的定义可以这样定义重力势:物体在某点的重力势能与质量的比值,即:φG=。

答案:见解析

课堂检测·素养达标

1.(2020·菏泽高二检测)如图所示,在处于O点的点电荷+Q形成的电场中,试探电荷+q由A点移到B点,静电力做功为W1;以OA为半径画弧交OB于C,再把试探电荷由A点移到C点静电力做功为W2,由C点移到B点静电力做功为W3,则3次静电力做功的大小关系是              (　　)

A.W1=W2=W3<0　　　　　 B.W1>W2=W3>0

C.W1=W3>W2=0    D.W2>W1=W2=0

【解析】选C。因为A、C在同一等势面上,所以UAB=UCB,UAC=0,W1=W3,W2=0。故选项C正确。

2.如图所示的电场,实线和虚线分别表示该电场的电场线和等势线,若a、b两点所处的等势线电势为0,相邻等势线间的电势差为2 V,则 (　　)

A.a处电场强度等于b处电场强度

B.c、b两点间的电势差大于c、a 两点间的电势差

C.电子在c处具有的电势能为20 eV

D.若将一电子在d处由静止释放,则运动至c点对应等势线时,具有的动能为2 eV

【解析】选D。a处电场线较b处密集,a处的电场强度大于b处的电场强度,故A错误;a、b 两点在同一等势面上,c、b两点间的电势差等于c、a两点间的电势差,故B错误;电子在c处具有的电势能为-20 eV,故C错误;电子在d处由静止释放,运动至c点对应等势线时,电场力做功2 eV,电子的电势能减少2 eV,动能增加2 eV,故D正确。故选D。

3.(多选)如图所示,虚线A、B、C表示某电场中的三个等势面,相邻等势面间的电势差相等,一电子从右侧垂直等势面A向左进入电场,运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点,则可以判断 (　　)

A.三个等势面的电势大小为φA>φB>φC

B.三个等势面的电势大小为φC>φB>φA

C.电子由a到c电势能不断减小

D.电子由a到c动能不断减小

【解析】选A、D。由等势面画出电场线如图所示,电子在c点的受力和运动方向如图,并由此进一步得出电场线垂直等势面指向左,φA>φB>φC,A正确,B错误;从a至c静电力做负功,电势能不断增加,动能不断减小,C错误,D正确。

【加固训练】

如图所示,三个同心圆是以点电荷Q为圆心的同心圆,则下列说法正确的是 (　　)

A.一个点电荷+q在B点所受的静电力比在A点的大

B.一个点电荷+q在B点具有的电势能比在A点的小

C.将同一电荷从B点移到D点,电场力做功比由C点移到A点多

D.将电荷+q由B点移到C点,电场力做正功

【解析】选D。负的点电荷产生的电场的电场线是会聚的直线,如图所示。

电场线密处电场强度大,电场线稀处电场强度小,由图可知,B点的电场强度比A点的电场强度小,则一个点电荷+q在B点所受的电场力比在A点的小,故A错误。沿着电场线电势要降低,故B点的电势比A点的电势高,故+q在B点具有的电势能比在A点的电势能大,故B错误。 据题有UBD<UCA,根据电场力做功公式W=qU可知,将同一个电荷由B点移到D点电场力做的功比由C点移到A点少,故C错误。 沿着电场线电势要降低,故B点的电势比C点的电势高,故+q在B点具有的电势能比在C点的电势能高,所以将电荷+q由B点移到C点,电场力做正功。故D正确。

4.(多选)(教材二次开发·P34【练习与应用】T3)如图所示,电场中有A、B两点,则下列说法正确的是 (　　)

A.电势φA>φB,电场强度EA>EB

B.电势φA>φB,电场强度EA<EB

C.将+q从A点移到B点,电场力做正功

D.将-q分别放在A、B两点时具有的电势能EpA>EpB

【解析】选B、C。B处电场线较密,故电场强度EA<EB,沿电场线方向电势降低,故φA>φB,A错误,B正确;对正电荷,由于φA>φB,故EpA>EpB,从A到B,电势能减小,电场力做正功;对负电荷,φA>φB,EpA<EpB,C正确,D错误。

5.把带电荷量为2×10-8 C的正点电荷从无限远处移到电场中A点,要克服静电力做功8×10-6 J,若把该电荷从无限远处移动到电场中的B点,需克服静电力做功2×10-6 J,求:

(1)A点的电势;

(2)A、B两点的电势差;

(3)把2×10-8 C的负电荷由A点移到B点静电力做的功。

【解析】(1)无限远处与A点间的电势差

U∞A== V=-400 V,

而U∞A=φ∞-φA,又φ∞=0,所以φA=400 V

(2)无限远处与B点间的电势差

U∞B== V=-100 V,

而U∞B=φ∞-φB,又φ∞=0,

所以φB=100 V,则A、B两点的电势差为

UAB=φA-φB=300 V。

(3)静电力做的功

W=q′UAB=-2×10-8×300 J=-6×10-6 J。

答案:(1)400 V　(2)300 V　(3)-6×10-6 J