人教版 (2019)必修 第三册3 电势差与电场强度的关系学案设计

电势差与电场强度的关系

[核心素养·明目标]

知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系

1．关系式：UAB＝Ed。

2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。

3．适用条件：匀强电场。

公式中d必须是沿场强方向的距离。当电场中的两点不在同一条电场线上时，d应为两点在场强方向上的投影距离，亦为电场中两点所在的等势面间的距离。

1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大。 (×)

(2)任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积。 (×)

(3)匀强电场中，沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等。 (√)

知识点二　电场强度的另一种表述

1．另一种表述：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。

2．公式：E＝。

3．物理意义：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。

4．方向

电场强度的方向就是电势降低最快的方向。如图所示，在匀强电场中，沿AB、AC、AD三个方向，电势下降的值都相等(因D、B、C在同一条等势线上)，但AB沿电场线方向，距离最短，单位长度上电势下降最大，即电势下降最快。因此，AB方向为电场强度的方向。

5．单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。

E＝这一比值在非匀强电场中也有意义，它表示两点间的平均电场强度。

2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由公式E＝可知，电场强度与电势差U成正比。 (×)

(2)电势逐渐降落的方向就是电场线的方向。 (×)

(3)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等。 (×)

考点1　电势差与电场强度的关系

1．电场强度的三个公式对比

2．关于电场强度与电势的理解

(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点。

(2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面。

3．在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论

在等差等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab<Ubc。

　应用E＝定量计算

【典例1】　如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)a、b两点的电势差Uab；

(2)匀强电场的场强大小和方向。

[思路点拨]　(1)电场力对电荷做功一定时，初、末位置的电势差一定，其数值可由U＝求解。

(2)匀强电场的场强可由公式E＝求解。

[解析]　(1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知场强方向与ac平行，垂直指向bc。

Uab＝＝ V＝60 V。

(2)由U＝Ed可得

E＝＝＝ V/m＝375 V/m

场强方向平行于ac，且由a指向c。

[答案]　(1)60 V　(2)375 V/m　方向平行于ac且由a指向c

计算电场强度应注意的问题

(1)在选取场强公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。

(2)应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿场强方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿场强方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿场强方向上的距离。

　应用E＝定性分析

【典例2】　如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50 V，φb＝－20 V，则ab连线的中点c的电势φc应为(　　)

A．φc＝－35 V

B．φc＞－35 V

C．φc＜－35 V

D．无法判断

B　[由题图可知这是一个非匀强电场，且Ea＞Ec＞Eb，即从b到a场强越来越大，则Ubc＝Ebc·d，Uca＝Eca·d，其中Ebc、Eca分别为bc段和ca段的平均场强，且Ebc＜Eca，故Ubc＜Uca，即φb－φc＜φc－φa，得φc＞－35 V，B正确。]

[跟进训练]

1．(角度一)(多选)场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为(　　)

A．1.0 V　　　　 B．2.0 V

C．3.0 V D．4.0 V

AB　[如图：

最大：UAB＝E·d＝2 V　　最小：UAB＝0

故：0≤UAB≤2 V，A、B可能，C、D不可能，故A、B正确。]

2．(角度二)如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定(　　)

A．φa＞φb＞φc B．Ea＞Eb＞Ec

C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec

A　[电场线是沿直线的电场，通常有如图所示几种情况：

题中给出的一条电场线，不一定是哪一种，故B、C、D错误；不论是何种情况的电场，沿着电场线方向电势总是降低的，φa>φb>φc，故A正确。]

考点2　匀强电场性质的应用

利用匀强电场中电势的特点确定电场的方向

1．等分法

在匀强电场中，如果把某两点的距离等分为几段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的。

2．两个推论

(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等。故在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点间的电势差相等。

(2)在匀强电场中，相互平行的两条线段，无论它们是否与电场线的方向平行，只要一条线段是另一条线段的n倍，这条线段两端点间的电势差就一定是另一条线段两端点间电势差的n倍。

【典例3】　如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，A点处的电势为6 V，B点处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)

A．200 V/m B．200 V/m

C．100 V/m D．100 V/m

A　[由匀强电场的特点可得，OA的中点C的电势φC＝3 V，则φC＝φB，即B、C在同一等势面上，由电场线与等势面的关系和几何关系可知，电场强度的方向垂直于BC，如图所示。由几何关系知d＝1.5 cm，则E＝＝ V/m＝200 V/m。故选A。

]

用等分法找等势点的技巧

(1)在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点。

(2)在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向。

(3)等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线。

(4)用等分法确定电势或场强方向只适用于匀强电场。

[跟进训练]

3．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，由此可以推断D点的电势φD是(　　)

A．6 V  B．9 V  C．3 V  D．12 V

B　[方法一：如图甲所示，根据A、B、C三点电势的特点，连接AC并在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC。尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等。由U＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝＝ V＝6 V。由此可知，φN＝3 V，φM＝9 V，B、N两点在同一等势线上，根据几何知识不难证明MD平行于BN，即MD也为等势线，所以φD＝φM＝9 V。

甲　　　　　　乙

方法二：在匀强电场中，除等势面上的直线外，任何一条直线上两点间的电势差一定与这两点间的距离成正比。

如图乙所示，连接AC、BD交于O点，则有UAO＝UOC，UBO＝UOD。φA－φO＝＝ V＝9 V，φO＝φA－9 V＝15 V－9 V＝6 V，φB－φO＝φO－φD，所以φD＝2φO－φB＝2×6 V－3 V＝9 V。

方法三：由匀强电场的特点知，在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等。故有UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，所以φD＝9 V。]

考点3　电势φ­x图像和场强E­x图像

1．φ­x图像

对比E＝与速度的定义式v＝，速度是位移对时间的变化率，电场强度是电势差对空间位置的变化率。位移随时间变化越快，则速度越大；电势随空间位置变化越快，则电场强度越大。电势φ随沿场强方向上的距离x分布的图像，即φ­x图像，其斜率等于电势差对空间位置的变化率，即等于电场强度，电场强度的方向由沿场强方向电势降低判断。

2．E­x图像

对比U＝Ed(或U＝Ex)与位移公式Δx＝vt，v­t图线与时间轴所围的面积表示位移，E­x图线与x轴所围的面积表示两点间的电势差U，电势差的正负由沿场强方向电势降低判断。

【典例4】　(多选)空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示。下列叙述正确的是(　　)

A．x1、x2两处的电势相同

B．电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能

C．x＝0处与x1处两点之间的电势差为U＝

D．电子沿x轴从x1处运动到x2处，电场力一直做负功

BCD　[沿电场方向电势降低，因电场方向指向x轴正方向，故x轴相当于一条电场线，故φx1＞φx2，A错误；电子受到的电场力方向和电场方向相反，故从x1到x2电场力做负功，电势能增大，电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能，B、D正确；因为从x＝0处到x1处的电场强度是均匀增大的，所以从x＝0处到x1处的电场强度平均值为，根据公式E＝，可得x＝0处和x1处的电势差为U＝，C正确。]

[跟进训练]

4．(多选)(2021·北京四中期中)电场强度方向与x轴平行的静电场中，x轴上各点电势φ随x的分布如图所示。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)，以初速度v0从O点(x＝0)沿x轴正方向进入电场，下列说法正确的是(　　)

A．在O～x1、x3～x4两个区间内电场方向相反

B．粒子从O点运动到x4点的过程中，在x2点的速度最大

C．粒子从x1点运动到x3点的过程中，电势能一直增大

D．若v0＝2，则粒子运动到x2点时的动能为2qφ0

CD　[O～x1、x3～x4区间图像斜率均为正，场强方向均沿x轴负方向，故A错误；带负电的粒子所受的电场力方向与场强方向相反，故粒子先加速后减速再加速运动，故在x1～x2粒子做减速运动，即在x2点的速度不是最大，故B错误；粒子从x1点运动到x3点的过程中，电势不断降低，根据负电荷在电势高处电势能小可知，粒子的电势能一直增大，故C正确；若v0＝2，从O点到x2点，电场力做功W＝qU＝0，则由动能定理得Ek＝mv＝2qφ0，故D正确。]

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．E＝适用于任何电场

B．E＝适用于任何电场

C．E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场

D．E是矢量，由U＝Ed可知，U也是矢量

BC　[E＝只适用于匀强电场，A错误；E＝适用于任何电场，B正确；E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场，C正确；在公式U＝Ed中，E是矢量，U是标量，D错误。]

2．关于静电场，下列说法正确的是(　　)

A．电场强度为0的地方，电势也为0

B．任一点的电场强度方向总是指向该点电势降落最快的方向

C．电场线越密的地方相等距离两点的电势差越大

D．根据公式Uab＝Ed可知，在匀强电场中a、b间的距离越大，电势差就越大

B　[电场强度与电势没有直接关系，电场强度为0时，电势不一定为0，电势为0，电场强度不一定为0，故A错误；顺着电场线方向电势降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向，故B正确；电场线越密的地方电场强度大，但是若两点间不沿电场线，则电势差不一定越大，故C错误；公式Uab＝Ed中d为沿电场线的距离，若a、b两点不沿电场线，则两点间距离越大电势差不一定越大，故D错误。]

3．如图所示，在E＝400 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于(　　)

A．－8 V　　　B．－4 V　　　C．8 V　　　D．4 V

B　[在电场线方向上a、b两点间的距离(或a、b两点所在等势面间的距离)为d′＝d·cos 60°＝0.01 m，根据匀强电场中，电势差与电场强度的关系可知，Uab＝－Ed′＝－4 V，选项B正确。]

4．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为(　　)

A．4 V　　B．8 V　　C．12 V　　D．24 V

B　[根据匀强电场的特点，Uad＝Ubc，即φa－φd＝φb－φc，解得φc＝8 V，B正确。]

5．情境：天空中有两块乌云，它们之间的竖直距离为1.0×103 m，水平相距5.0×103 m。受气流影响，两块乌云均以10 m/s的速率沿水平方向互相靠近。

问题：当一块乌云位于另一块乌云正下方时，云间场强达到1.0×106 V/m。若此时两块云间的电场可视为匀强电场，这时空气恰被击穿而变成导体，两块乌云通过空气放电，形成闪电。   

(1)两块乌云即将放电时云间的电势差为多大？

(2)地面观察者看到闪电后8.0 s才听到雷声，则闪电发生点离观察者多远？(声音在空气中传播速度约为340 m/s)

[解析]　(1)当一块乌云位于另一块乌云正下方时，两块乌云间的距离为d＝1.0×103 m。两块乌云间的电势差为U＝Ed＝1.0×106×1.0×103 V＝1.0×109 V。

(2)光传播到地面所需的时间可以忽略不计，声音在空气中以3.4×102 m/s的速度传播，所以闪电发生点离观察者的距离为s＝vt＝3.4×102 m/s×8.0 s＝2.72×103 m。

[答案]　(1)1.0×109 V　(2)2.72×103 m

回归本节知识，自我完成以下问题：

1．电场强度与电势差的关系是怎样的？

提示：在匀强电场中，E＝。

2．相邻等势面之间的电势差相同时，等势面越密集的地方，电场强度越大还是越小？

提示：根据E＝，可知等势面越密集的地方，电场强度越大。

3．既然沿电场线方向是电势降落最快的方向，电场线与等势面应存在什么关系？

提示：电场线与等势面处处垂直且由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。