高考数学二轮专题训练2.12课时突破三角函数及解三角形高考小题第2课时三角恒等变换与解三角形课件

这是一份高考数学二轮专题训练2.12课时突破三角函数及解三角形高考小题第2课时三角恒等变换与解三角形课件，共60页。PPT课件主要包含了关键能力·应用实践，考场思维，题组训练·素养提升，专题能力提升练等内容，欢迎下载使用。
考向一　三角恒等变换【多维题组】速通关1.函数y=lg 的零点是x1=tan α和x2=tan β,则tan =(　　)　A. B.- C. D.-
【解析】选C.因为函数y=lg 的零点是x1=tan α和x2=tan β,所以tan α和tan β是方程x2+5x+4=1的两个实数根,所以tan α+tan β=-5,tan αtan β=3,所以
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin =1,则sin =(　　)A. B. C. D. 【解析】选B.由题意可得:sin θ+ sin θ+ cs θ=1,则 sin θ+ cs θ=1, sin θ+ cs θ= ,从而有:sin θcs +cs θsin = ,即sin = .
【加练备选】　　　(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cs 2α-8cs α=5,则sin α=(　　)　　　　　　　　　　　　　A. B. C. D.
【解析】选A.3cs 2α-8cs α=5,得6cs2α-8cs α-8=0,即3cs2α-4cs α-4=0,解得cs α=- 或cs α=2(舍去),又因为α∈(0,π),所以sin α=
3.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转 后经过点 ,则tan α=(　　)A.-3-2 B.-3+2 C.-1D.1
【解析】选A.设β=α+ ,则tan β=- ,
4.(2020·全国Ⅱ卷)若sin x=- ,则cs 2x=______. 【解析】cs 2x=1-2sin2x=1-2× 答案:
5.已知α∈ ,β∈ ,且 , 则cs =(　　)
【解析】选C.由α∈ 得 +α∈ .又cs 所以 +α∈ ,所以 由β∈ 得 又
所以 所以 = =
【加练备选】(2020·聊城二模)已知cs(α+ )= ,α∈ ,则sin =________. 
【解析】因为 α∈ 所以 所以 则 答案:
【技法点拨】提素养三角函数求值的类型及方法　(1)“给角求值”:利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数,有时,虽不能转化为特殊角,但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的.(2)“给值求值”:关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
考向二　利用正弦、余弦定理解三角形【多维题组】速通关1.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cs C= ,AC=4,BC=3,则cs B=(　　)
【解析】选A.设AB=c,BC=a,CA=b,因为c2=a2+b2-2abcs C=9+16-2×3×4× =9,所以c=3,cs B=
【加练备选】(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cs C= ,AC=4,BC=3,则tan B=(　　)A. 　　　B.2 　　　C.4 　　　D.8
【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,因为c2=a2+b2-2abcs C=9+16-2×3×4× =9,所以c=3,cs B= 所以 所以tan B=4 .
2.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是(　　)A.a2=b2+c2-2bccs AB.asin B=bsin AC.a=bcs C+ccs BD.acs B+bcs A=sin C
【解析】选ABC.由在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:在A中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccs A,故A正确;在B中,由正弦定理得: 所以asin B=bsin A,故B正确;在C中,由余弦定理得:bcs C+ccs B= 故C正确;在D中,由余弦定理得acs B+bcs A= ≠sin C,故D错误.故选ABC.
3.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cs A=- ,则 =(　　)A.6B.5C.4D.3【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得- =cs A= ,所以 所以 所以 ×4=6.
4.(2020·南昌二模)已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD= ,AB=4,∠ABC=60°,∠ACB=45°,则DC=________. 【解析】因为在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=45°,AB=4,所以由正弦定理 可得
所以 因为AD∥BC,所以∠ACB=∠DAC=45°,所以在△ACD中,由余弦定理可得 答案:
【加练备选】　　　在△ABC中,已知AC= ,∠ABC=60°,ABc解得:a=3,c=2.设BC边上的高为h,所以 ah= ×3×h= .所以h= .答案:
【变式拓展】　本题条件改为“AC=3,AB=3 ,∠ABC=30°,BC>AC”,求AC边上的高.【解析】设角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为AC=3,AB=3 ,∠ABC=30°,所以b=3,c=3 ,B=30°,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,
可得9=a2+27-2×a×3 × ,整理可得a2-9a+18=0,又a>b,所以a=6.因为S△ABC= acsin B= ,所以AC边上的高的长为
5.(2020·全国Ⅰ卷)如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD= ,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB=______. 
【解析】因为AB⊥AC,AB= ,AC=1,由勾股定理得BC= =2,同理得BD= ,所以BF=BD= ,在△ACE中,AC=1,AE=AD= ,∠CAE=30°,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcs30°=1+3-2×1× × =1,所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF= ,CF=1,由余弦定理得cs∠FCB= 答案:-
【技法点拨】提素养解三角形的常见题型及求解方法　(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及 可先求出角C及b,再求出c.(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccs A,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.
(4)已知两边a,b及其中一边a的对角A,由正弦定理 可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由 可求出c,而通过 求角B时,可能有一解或两解或无解的情况.
考向三　正弦、余弦定理的实际应用(重难突破)【多维题组】速通关1.如图所示,为了测量A,B两座岛屿间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏东15°的方向上,现在船往东开2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的方向上,再开回C处,由C向西开2 百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的方向上,则A,B两座岛屿间的距离为(　　)A.3百海里B.3 百海里C.4百海里D.4 百海里
【解析】选B.根据题意知:∠ADC=∠DAC=67.5°,∠ACB=60°,DC=2 ,CE=2,∠BCE=75°,∠CBE=45°,∠CEB=60°.所以在△BCE中,利用正弦定理 解得BC= ,在△ADC中,∠ADC=∠DAC=67.5°,所以DC=AC=2 ,则在△ACB中,利用余弦定理AB2=AC2+CB2-2AC·CB·cs 60°,解得AB=3 ,所以A,B两座岛屿的距离为3 百海里.
2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为(　　)A.210( + )米B.140 米C.210 米D.20( - )米
【解析】选B.由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,在△ABC内,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cs∠BAC,即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,由正弦定理 可得CH=AC· =140 (米).
【技法点拨】提素养　解三角形实际应用问题的步骤
【变式训练】1.为测出所住小区的面积,某人进行了一些测量工作,所得数据如图所示,则小区的面积为(　　)A. km2B. km2C. km2D. km2
【解析】选D.如图,连接AC,根据余弦定理可得AC= ,故△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,∠BAC=30°,从而△ADC为等腰三角形,且∠ADC=150°,设AD=DC=x,根据余弦定理得x2+x2+ x2=3,即x2= 所以所求小区的面积为 ×1× + ×3(2- )× = (km2).
2.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作,现有取自其中的一个问题:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直,从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合,从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合,问岛高几何?其大意为:如图所示,立两个三丈高的标杆BC和DE,两标杆之间的距离BD=1 000步,两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上,从前面的标杆B处后退123步,人眼贴地面,从地上F处仰望岛峰,A,C,F三点共线,从后面的标杆D处后退127步,人眼贴地面,从地上G处仰望岛峰,A,E,G三点也共线,则海岛的高为(注:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步)(　　)
A.1 255步　　B.1 250步C.1 230步　　D.1 200步
【解析】选A.因为AH∥BC,所以△BCF∽△HAF,所以 因为AH∥DE,所以△DEG∽△HAG,所以 又BC=DE,所以 即 所以HB=30 750步,又 所以AH= =1 255(步).
3.如图所示,在山脚A测得山顶P的仰角为∠QAP=45°,沿倾斜角为∠QAB=15°的斜坡向上走146.4米到达B,在B测得山顶P的仰角为∠CBP=60°,则山高PQ约为________米. ( ≈1.414, ≈1.732,结果保留到小数点后1位)
【解析】∠PAB=∠PAQ-∠BAQ=45°-15°=30°,∠APB=∠QPA-∠CPB=45°-(90°-60°)=15°.∠ABP=180°-(∠PAB+∠APB)=135°,在△PAB中,由正弦定理得 即 PQ=APsin∠PAQ= ≈282.8(米).答案:282.8
【加练备选】已知在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.轮船沿BC行驶一段时间后,到达海岛的正西方向的D处,此时轮船距岛A有________千米. 
【解析】由已知可求得AB= ,AC= ,BC= ,所以sin∠ACB= ,cs∠ACB= ,则∠ACB为锐角,∠ACD为钝角,且sin∠ACD= ,cs∠ACD=- .
在△ACD中,sin∠ADC=sin(∠ACD+∠DAC)=sin∠ACDcs∠DAC+sin∠DACcs∠ACD 由正弦定理可求得AD= 答案:
【新题速递】1.已知角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边绕O点顺时针旋转 后,经过点(-3,4),则sin α=(　　)　　　　　　　A. B. C. D.-
【解析】选B.角α的终边按顺时针方向旋转 后得到的角为α- ,所以由三角函数的定义,可得:所以sin α=sin
2.(2020·青岛模拟)若函数f(x)=sin 2xsin φ+2cs2xcs φ-cs φ 的一个极大值点为 ,则φ=(　　)A.0B. C. D.
【解析】选D.f(x)=sin 2xsin φ+2cs2xcs φ-cs φ=sin 2xsin φ+(2cs2x-1)cs φ=sin 2xsin φ+cs 2xcs φ=cs ,因为f(x)的一个极大值点为 ,所以f =cs =1,解得φ= +2kπ,k∈Z,又00,sin(α+β)>0,所以α-β为第四象限角,α+β为第二象限角,因此sin(α-β)=- ,cs(α+β)=- ,所以sin 2α=sin(α-β+α+β)=sin (α-β)cs (α+β)+cs (α-β)sin (α+β)= =1.因为α为锐角,所以2α= ,所以sin(3α-β)=sin(2α+α-β)=cs(α-β)= .
【一题多解】解答本题还可以有如下解法:由上面可得,sin(α-β)=- ,cs(α+β)=- .所以cs2(α-β)=2cs2(α-β)-1=2× ,sin2(α-β)=2sin(α-β)cs(α-β)=2× .
所以sin(3α-β)=sin[2(α-β)+(α+β)]=sin 2(α-β)·cs(α+β)+cs 2(α-β)·sin(α+β)= .
5.函数f(x)=2sin2ωx+sin 2ωx-1的图象向左平移 个单位长度后,与原图象有相同的对称轴,则正实数ω的最小值是(　　)A.1B.2C.4D.6
【解析】选B.因为f(x)=2sin2ωx+sin 2ωx-1=sin 2ωx-cs 2ωx= sin ,将其图象向左平移 个单位长度后,可得y= sin = sin 的图象.由于所得的图象与原图象有相同的对称轴,所以 =kπ,k∈Z,即ω=2k,k∈Z,则正实数ω的最小值为2.
6.在△ABC中,cs2 = (a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(　　)A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
【解析】选B.因为cs2 = ,所以 ,所以 ,化简得a2+b2=c2.故△ABC是直角三角形.
7.(多选题)下列选项中,值为 的是(　　)A.cs 72°cs 36°B. C. D.
【解析】选AB.对于A,cs 36°cs 72° 故A正确;对于B, 故B正确;
对于C,原式= 故C错误;对于D, - cs215°=- (2cs215°-1)=- cs 30°=- ,故D错误.
8.(2020·中卫二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C= ,sin B=3sin A,若△ABC的面积为6 ,则c=(　　) 【解题导引】由sin B=3sin A可得b=3a,再利用面积公式得到a,b的方程组,解出a,b,最后利用余弦定理求出c的值.
【解析】选B.因为sin B=3sin A,所以b=3a,又因为C= ,△ABC的面积为6 ,所以S= absin C= a2×sin =6 ,解得a=2 ,b=6 ,所以c2=a2+b2-2abcs C= =104.所以c=2 .
【加练备选】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A= ,a=2,S△ABC= ,则b的值为(　　)
【解析】选A.由S△ABC= bcsin A= bc× = ,解得bc=3.因为A为锐角,sin A= ,所以cs A= ,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,代入数据解得b2+c2=6,则(b+c)2=12,b+c=2 ,所以b=c= .
9.(2020·郑州三模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 asin B=c-bcs A,则角B等于(　　)
【解析】选A.因为 asin B=c-bcs A,所以由正弦定理可得 sin Asin B=sin C-sin Bcs A,所以 sin Asin B+sin Bcs A=sin C,因为sin C=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B,所以 sin Asin B=sin Acs B,因为sin A≠0,所以 sin B=cs B,可得tan B= ,因为B∈(0,π),所以B= .
10.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距30 海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cs θ的值为(　　)
【解析】选B.在△ABC中,AB=30 ,AC=20,∠BAC=135°由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs 135°=3 400,所以BC=10 ,由正弦定理得sin∠ACB= ·sin∠BAC= .
由∠BAC=135°知∠ACB为锐角,故cs∠ACB= .故cs θ=cs(∠ACB+45°)=cs∠ACBcs 45°-sin∠ACBsin 45°= .
11.(2020·泉州二模)若ω>0,函数f(x)=3sin ωx+4cs ωx 的值域为[4,5],则cs 的取值范围是(　　)
【解析】选D.函数f(x)=3sin ωx+4cs ωx=5sin(ωx+φ),其中sin φ= ,cs φ= ,00,0≤x≤ ,所以φ≤t≤ ω+φ,因为g(φ)=5sin φ=4,且0