新高考数学二轮复习课件 专题突破 专题2　第2讲　三角恒等变换与解三角形

这是一份新高考数学二轮复习课件 专题突破 专题2　第2讲　三角恒等变换与解三角形，共60页。PPT课件主要包含了考情分析，三角恒等变换，考点一，核心提炼，规律方法，余弦定理，考点二，①求角A的大小，解三角形的实际应用，考点三等内容，欢迎下载使用。

1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积 等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范 围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；(2)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcs α；(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2cs sin β，则A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1
由题意得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β
整理，得sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.
三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等；(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；(4)弦、切互化：一般是切化弦.
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cs x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cs θ＝________.
因为bsin 2A＝asin B，所以2bsin Acs A＝asin B，利用正弦定理可得2abcs A＝ab，
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).①证明：2a2＝b2＋c2；
方法一　由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，可得sin Csin Acs B－sin Ccs Asin B＝sin Bsin Ccs A－sin Bcs Csin A，
可得accs B－bccs A＝bccs A－abcs C，即accs B＋abcs C＝2bccs A(*).
将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
方法二　因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acs2B－cs2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
由①及a2＝b2＋c2－2bccs A得，a2＝2bccs A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.
根据正弦定理可知b＝2Rsin B，a＝2Rsin A，得2Rsin Bcs A＋2Rsin Acs B＝2Rsin(A＋B)＝2，
在△ABC中，由正弦定理得，c＝2Rsin C，b＝2Rsin B，
化简得cs Asin B＋sin Acs B＝2sin Ccs A.即sin(A＋B)＝2sin Ccs A，∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C≠0，
②若a＝2，求△ABC面积的最大值及此时边b，c的值.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
又b2＋c2≥2bc，∴bc≤4，
解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
(1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12 m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)A.42 m B.45 m C.51 m D.57 m
在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°，
在Rt△CDM中，CD＝CMsin 60°
(2)雷达是利用电磁波探测目标的电子设备，电磁波在大气中大致沿直线传播，受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝ (如图)，其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8 490 km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25 m，为保护航母的安全，须在直视距离412 km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据： ≈4.12)A.6 400 m B.8 100 mC.9 100 m D.1 000 m
根据题意可知L＝412 km，R＝8 490 km，h2＝0.025 km，
解得h1≈9.02(km)≈9 100(m).所以舰载预警机的巡航高度至少约为9 100 m.
解三角形实际问题的步骤
(1)如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面PAD与地面垂直，在山顶P点测得点A，C，D的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB＝200 m，CD＝100 m，现欲沿直线AD开通穿山隧道，则隧道BC的长为
由题意可知A＝30°，D＝45°，∠PCB＝60°，所以∠PCD＝120°，∠APC＝90°，∠DPC＝15°，因为sin 15°＝sin(45°－30°)
所以在Rt△PAC中，
(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部).现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60 米，则OP等于
如图所示，设OP＝h，由题意知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.
在Rt△BOP中，OB＝h.在△ABO中，由余弦定理，得OA2＝AB2＋OB2－2AB·OBcs 60°，
由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
所以bc＝6，又b－c＝1，可得b＝3，c＝2，
∴cs β＝cs[(β－α)＋α]＝cs(β－α)cs α－sin(β－α)sin α
5.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为A.3米 B.4米C.6( －1)米 D.3( ＋1)米
如图，根据题意得∠ACB＝15°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠CAD＝45°，CD＝24米，所以∠CAD＝45°，在△ACD中，由正弦定理得
6.(2022·济宁模拟)已知sin α－cs β＝3cs α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为
由sin α－cs β＝3cs α－3sin β得，
二、多项选择题7.(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB.在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立C.在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝ ，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
对于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sin A>sin B，正确；
因此不等式sin A>cs B恒成立，正确；对于C，在△ABC中，acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin Acs A＝sin Bcs B，
∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，错误；
由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，
∴△ABC必是等边三角形，正确.
11.(2022·开封模拟)如图，某直径为5 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cs∠BAD＝－ .则小岛B与小岛D之间的距离为_____海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为____平方海里.
由圆的内接四边形对角互补，得
又∠BCD为锐角，所以sin∠BCD
整理得CD2－8CD－20＝0，解得CD＝10(负根舍去).
12.(2022·汝州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，cs 2C＝cs 2A＋4sin2B，则△ABC面积的最大值为____.
由cs 2C＝cs 2A＋4sin2B得，1－2sin2C＝1－2sin2A＋4sin2B，即sin2A＝sin2C＋2sin2B，由正弦定理得a2＝c2＋2b2＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝4，
∵c2＋2b2＝4，∴c2＝4－2b2，
(1)求△ABC的面积；
又a2－b2＋c2＝2accs B，所以accs B＝1.
∴由正弦定理可得(2c－a)c＝b2＋c2－a2＝2bccs A，∴2c－a＝2bcs A，
整理可得c2＋a2－b2＝ac，
(2)求2a－c的取值范围.
故a＝4sin A，c＝4sin C，2a－c＝8sin A－4sin C