2023年高考数学一轮复习课时规范练8幂函数与二次函数含解析北师大版文

课时规范练8　幂函数与二次函数

基础巩固组

1.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图像如图,则a,b,c,d的大小关系是(　　)

A.d>c>b>a

B.a>b>c>d

C.d>c>a>b

D.a>b>d>c

答案:B

解析:根据幂函数的性质及图像知选B.

2.已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c B.a<b<c 

C.b<c<a D.c<a<b

答案:A

解析:因为a=,c=2,b=,且函数y=在[0,+∞)上是递增的,所以,即b<a<c.故选A.

3.若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图像只可能是(　　)

答案:C

解析:因为一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以二次函数的图像开口向下,对称轴方程x=-<0,只有选项C适合.故选C.

4.(2021安徽六安模拟)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(-1+x)=f(-x),那么(　　)

A.f(0)<f(2)<f(-2) B.f(0)<f(-2)<f(2)

C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(-2)<f(0)<f(2)

答案:B

解析:∵f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(-1+x)=f(-x),

∴函数f(x)=x2+bx+c的对称轴方程为直线x=-.

∵抛物线开口向上,对称轴方程为直线x=-,x=0距离x=-最近,x=2距离x=-最远,

∴f(0)<f(-2)<f(2),故选B.

5.(2021陕西安康高三质检)已知函数f(x)=2x2-mx-3m,则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的(　　)

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:若f(x)<0对x∈[1,3]恒成立,则解得m>3,{m|m>3}是{m|m>2}的真子集,所以“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件.

6.(2021广西崇左模拟)若函数f(x)=-x2+4ax在[1,3]内不单调,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 

答案:

解析:由题意得f(x)=-x2+4ax的对称轴为直线x=2a,因为函数f(x)在[1,3]内不单调,所以1<2a<3,得<a<

7.(2021上海浦东实验高中高三月考)函数y=的定义域是R,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:[0,4)

解析:由题意可得ax2+ax+1>0在R上恒成立.

①当a=0时,得1>0恒成立,∴a=0符合题意;

②当a≠0时,则需解得0<a<4.

综上可得0≤a<4,∴实数a的取值范围为[0,4).

8.(2021四川内江诊断测试)若函数f(x)=x2+ax在区间[1,2]上的最大值为a+1,则a的取值范围为　　　　　. 

答案:(-∞,-3]

解析:f(x)=x2+ax的对称轴为直线x=-

①当-,即a>-3时,f(x)max=f(2)=4+2a=a+1,解得a=-3,不符合题意,舍去;

②当-,即a≤-3时,f(x)max=f(1)=1+a,符合题意,故a≤-3.

综上可知,a的取值范围为(-∞,-3].

9.(2021江苏常熟中学三模)已知函数f(x)同时满足①f(0)=0;②在[1,3]上是递减的;③f(1+x)=f(1-x).该函数的表达式可以是f(x)=　　　　　. 

答案:f(x)=2x-x2(答案不唯一)

解析:由f(1+x)=f(1-x)可知y=f(x)关于直线x=1对称;可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在[1,3]上是递减的,所以f(x)=2x-x2符合题意.

综合提升组

10.(2021北京人大附中高三月考)若函数f(x)=x2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-9],则实数m的取值集合是(　　)

A.[3,6] B.[3,7]

C.[6,7] D.以上都不对

答案:D

解析:由题意,f(x)=x2-6x-16=(x-3)2-25,即f(x)关于直线x=3对称且f(x)min=f(3)=-25,∵f(x)定义域为[0,m],值域为[-25,-9],又f(0)=-16,

∴m>3,要使f(x)=-9,在x≥0上有x=7,故m=7.

11.(2021贵州思南中学一模)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.当a=2,x∈[-2,3]时,函数f(x)的值域为　　　　　;若函数f(x)在[-1,3]上是递增的,则实数a的取值范围是　　　　　.

答案:

解析:(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,对称轴为直线x=-[-2,3],而直线x=-距离直线x=3比距离直线x=-2远,故f(x)max=f(3)=15,f(x)min=f=-,故函数f(x)的值域为

(2)因为函数f(x)在[-1,3]上是递增的,故--1,故a

12.(2021福建龙岩模拟)已知二次函数f(x)顶点坐标为(2,-4),且f(x)图像和x轴两交点间的距离为4.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若关于x的不等式f(x+t)≤-3t在x∈[2,4]上恒成立,求实数t的取值范围.

解:(1)由题可知f(x)和x轴两交点为(0,0),(4,0),故可设f(x)=ax(x-4)(a≠0),由题可知f(2)=a×2×(2-4)=-4⇒a=1,所以f(x)=x2-4x.

(2)设g(x)=f(x+t)+3t=(x+t)(x+t-4)+3t,则g(x)≤0在[2,4]上恒成立,

故有-4≤t≤0.

所以t的取值范围是[-4,0].

创新应用组

13.函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为　　　　　. 

答案:2

解析:令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,t,显然g(t)在上是递增的,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,

所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以1<a≤2,所以a的最大值为2.

14.(2021江苏南通西藏民族中学高三月考)已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(1,13),且函数y=f是偶函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)已知t<2,g(x)=[f(x)-x2-13]·|x|,求函数g(x)在区间[t,2]上的最大值和最小值.

解:(1)因为二次函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(1,13),

所以13=1+b+c,即b+c=12;①

又函数y=f是偶函数,所以y=f关于y轴对称,

因此y=f(x)关于直线x=-对称,所以-=-,即b=1,代入①式可得c=11,所以f(x)=x2+x+11.

(2)由(1)知,f(x)=x2+x+11,所以g(x)=(x2+x+11-x2-13)·|x|=(x-2)·|x|=

因为g(1)=-1,当x<0时,

由-x2+2x=-1,解得x=1-

因为x∈[t,2],所以当1≤t<2时,g(x)=x2-2x在[t,2]上是递增的,

所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(t)=t2-2t;

当0≤t<1时,g(x)=x2-2x在[t,1)上是递减的,在[1,2]上是递增的,

所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(1)=-1;

当1-t<0时,因为x<0时,g(x)=-x2+2x在[t,0)上是递增的,

则-1=g(1-)≤g(t)≤g(x)<g(0)=0;x∈[0,2]时,g(x)=x2-2x在[0,1)上是递减的,在[1,2]上是递增的,所以g(x)∈[g(1),g(2)]=[-1,0],

所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(1)=-1;

当t<1-时,因为x<0时,g(x)=-x2+2x在[t,0)上是递增的,所以g(t)≤g(x)<g(0)=0,且g(t)<g(1-)=-1;x∈[0,2]时,g(x)=x2-2x∈[-1,0],所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(t)=-t2+2t.

综上,函数g(x)在区间[t,2]上的最大值g(x)max=g(2)=0,最小值为g(x)min=