2021-2022学年江苏省南通市崇川区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省南通市崇川区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，是的正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：，，，，，则这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将▱的一边延长至点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某校准备选派甲、乙、丙、丁中的一名队员代表学校参加市直跳绳比赛，表中是这四名队员选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某企业年产值从年的亿元增长到年的亿元，求这两年的年平均增长率．设该企业这两年的年平均增长率均为，由题意可列得方程是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，正方形边长为，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共30分）

11. 若一次函数的图象经过点，则______．
12. 菱形的对角线长分别为和，则该菱形的面积等于______．
13. 某校规定学生的学期体育成绩满分为分，其中平时成绩：期中成绩：期末成绩：：小彤的体育平时成绩、期中成绩、期末成绩百分制依次是分、分、分，则小彤的学期体育成绩是______分．
14. 把抛物线向上平移个单位得到新抛物线，这条新抛物线的解析式是______．
15. 关于的方程是一元二次方程，则______．
16. 直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为______ ．
17. 若，是一元二次方程的两个根，则______．
18. 二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共90分）

19. 解下列方程：
    
     
20. 已知一次函数的图象经过，两点．
    求这个一次函数的解析式；
    设图象与轴和轴交点分别是，，求的面积．
21. 新冠肺炎疫情初期，我市教育局积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“线上课堂”为了解直属中学八年级学生每天参加“线上课堂”的时间，随机调查了市直属中学的八年级学生．根据调查结果，绘制出如图统计图、表不完整，请根据相关信息，解答下列问题．
     

本次调查的八年级学生共为______，表格中______；
本次统计的这组数据中，市直属中学八年级学生每天参加“线上课堂”时间的众数是______；
若市直属中学八年级学生约有名，请估计学生每天参加“线上课堂”的时间为及其以上的人数．

22. 如图，矩形中，，，分别是边，上的点，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若四边形是菱形，求菱形的边长．

23. 已知关于的一元二次方程．
    求证：方程有两个不相等的实数根；
    若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根．
24. 月日，崇川区进行了一次全民核酸检测，某小区上午点开始检测，居民陆续到采集点排队，点排队完毕，秀秀就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：

秀秀把数据在平面直角坐标系里描点连线，得到如图所示函数图象：
当，是的二次函数；当，是的一次函数．
如果是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；
若排队人数在人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态持续的时间多长？

25. 四边形为正方形，点为对角线上一点，连接过点作，交射线于点．
    
    如图，若点在边上，求证；
    以，为邻边作矩形，连接．
    如图，若，，求的长度；
    当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．
26. 平面直角坐标系中，有两点，，我们把叫做，两点间的“转角距离”，记作
    若为，为坐标原点，则______；
    已知为坐标原点，动点满足，请写出与之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点所组成的图形；
    若，点为抛物线上一动点，求的最小“转角距离”．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，是的正比例函数，故A符合题意；
B、，是的反比例函数，故B不符合题意；
C、，是的一次函数，故C不符合题意；
D、，是的二次函数，故D不符合题意；
故选：．
根据正比例函数的定义，即可判断．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【解答】
解：数据出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，
故选：．
根据平行四边形对角相等即可得出答案．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：甲、丙成绩的平均数大于乙、丁成绩的平均数，
从甲和丙中选择一人参加比赛，
，
最适合的队员是甲；
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为点、在抛物线上，
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴；
故选：．
由已知，点、是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．
本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该企业这两年的年平均增长率均为，
由题意得，年的产值为，
年的产值为：．
故选：．
设该企业这两年的年平均增长率均为，则年的产值是，年在年的基础上，产值是根据年产值是亿元，即可列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于的解集是轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．看在轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】
解：直线交轴于，
不等式的解集是：，
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，错误；
观察函数图象，可知：
当时，，
，错误．
抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
当时，，
，正确；
抛物线与轴有个交点，
，正确．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断；当时，，即可判断；当时，，即可判断；根据抛物线与轴有个交点，即可判断．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，．
又，
≌．
．
所以最小值等于最小值．
作点关于的对称点点，如图，
连接，则、、三点共线，
连接，与的交点即为所求的点．
根据对称性可知，
所以．
在中，，，
，
最小值为．
故选：．
连接，利用≌转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
 

11.【答案】 

【解析】解：把点代入，
得：．
故答案为：．
把点代入即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是明确在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线长分别为和，
该菱形的面积
故答案为：．
直接利用菱形的面积公式计算．
本题考查了菱形的性质：菱形面积、是两条对角线的长度．
 

13.【答案】 

【解析】解：小彤的成绩为：


分．
答：小彤的学期体育成绩是分．
故答案为：．
根据加权平均数的公式列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位得到的新抛物线的解析式为：．
故答案是：．
根据“上加下减”的法则求得新的抛物线解析式．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得，
故答案是：．
利用一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程解答即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直角三角形两直角边长分别为和，
斜边长为：，
斜边上的中线长为，
故答案为：．
根据勾股定理可以求得斜边的长，然后根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以求得斜边上的中线长．
本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和直角三角形的知识解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故答案为：．
由题意可得，，则．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
 

18.【答案】且 

【解析】解：将代入得，
将代入得，
由得，
，，
抛物线的对称轴为直线，
当时．随着的增大而减小，
时，，
解得，
时，，
解得，
综上所述，且．
将已知点代入解析式，用含的代数式表示，再表示出对称轴，根据二次函数的性质解答即可．
本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
 

19.【答案】解：，
或，
所以，；
，
或，
所以， 

【解析】利用因式分解法把原方程化为或，然后解两个一次方程即可；
利用因式分解法把原方程化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

20.【答案】解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得，，
这个一次函数的解析式为；
当时，，
当时，，解得，
函数图象与两坐标轴交点坐标分别为、，
，，
． 

【解析】把经过的点的坐标代入，求解得到、的值即可得解；
根据一次函数的解析式即可求出点、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
 

21.【答案】     

【解析】解：本次共调查的学生人数为：，
．
故答案为：，；
由统计表可知，本次统计的这组数据中，市直属中学八年级学生每天参加“线上课堂”时间的众数是．
故答案为：；
人．
估计学生每天参加“线上课堂”的时间为及其以上的人数为人．
根据的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查的学生人数，然后即可计算出的值；
根据表格中的数据，可以写出相应的众数；
根据表格中的数据，可以计算出该校八年级学生每天听“空中课堂”的时间为的人数．
本题考查众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
所以菱形的边长是． 

【解析】根据矩形的性质得出，，求出，根据平行四边形的判定得出即可；
根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

23.【答案】证明：对一元二次方程，



，
，
，即，
一元二次方程有两个不相等的实数根；
解：设一元二次方程另一个根为，
则，，
，
解得，
，
答：的值是，该方程的另一个根为． 

【解析】证明即可；
设一元二次方程另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案．
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握的符号与一元二次方程根的个数的关系及根与系数的关系．
 

24.【答案】解：设二次函数解析式为：，
将代入得，
二次函数解析式为：；
设的解析式为：，
将，代入，
得：，
解得：，
的解析式为：，
将代入中，
得：，
解得：或舍去，
将代入中，
得：，
解得：，
，
满负荷状态的时间为分． 

【解析】将，点的坐标代入二次函数解析式中即可；
利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将分别代入两个函数求出，相减即可得出答案．
本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图象信息，正确求解解析式，理解问题中给出的限制条件，属于中考必考题．
 

25.【答案】证明：连接，如下图，
直线是正方形是正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：四边形为矩形，，
四边形为正方形，
，
四边形为正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
；
当时，如下图，

，
，
，
当时，如下图，

，，
，
综上，或． 

【解析】连接，由正方形的对称性得，再根据四边形的内角和定理可证明，进而证得，得，便可得；
证明≌得，求出的长度便可；
分两种情况：或，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是作辅助线和证明全等三角形．
 

26.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；

为坐标原点，动点满足，
，
所有符合条件的点组成的图形如图所示；

点为抛物线上一动点，
设，
，
则，
当时，，
时，的最小“转角距离”为；
当时，，
时，的最小“转角距离”为；
当时，，
时，的最小“转角距离”为；
当时，，
时，的最小“转角距离”为；
综上可知，的最小“转角距离”为．
由与原点的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
利用题中的新定义列出与的关系式，画出相应的图象即可；
由条件可得到，分情况去掉绝对值号，根据二次函数的性质进行讨论即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了两点间的“转角距离”，函数图象，绝对值的意义，二次函数的性质，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．