2021-2022学年江苏省泰州市海陵区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省泰州市海陵区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 角

3. 方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

4. 下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 抛掷个均匀的骰子，出现点向上
B. 任意数的绝对值都是正数
C. 两直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 人中至少有人的生日相同

5. 在平行四边形中，，，对角线，相交于点，则的长可能为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量毫升与喷洒消毒液的时间分钟成正比例关系，喷洒完成后，与成反比例关系如图所示已知喷洒消毒液用时分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于毫升的持续时间为(    )

1. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

7. 若分式有意义，则的取值范围为______．
8. 为了解我区年八年级学生数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本容量是______．
9. 当______时，最简二次根式与是同类二次根式．
10. 若分式的值为，则的值为______ ．
11. 已知直线与双曲线相交于点，则______．
12. 若点、都在反比例函数的图象上，比较大小：______填“”、“”、“”之一．
13. 如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，，，则______．

14. 如图，在正方形中，，的角平分线交对角线于点，连接，则______

15. 菱形的边长为，面积为，则的值是______．
16. 已知点，，是轴正半轴上一动点，将点绕点逆时针旋转得到点，以、为邻边作平行四边形，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 解方程：
    ；
    ．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

请根据图表信息回答下列问题：
频数分布表中的______，______；
将频数分布直方图补充完整；
学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

21. 如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点给出下列信息：；；．
    请在上述条信息中选择其中一条作为条件，证明：；
    在的条件下，连接、，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．

22. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中有两个格点、仅用一把无刻度的直尺按要求画图不需写作法．
    画出以为一边的菱形，使其四个顶点都在格点上；
    在上找一点，使．

23. 在疫情期间，某蛋糕店采用线上和线下两种方式销售某种糕点．已知线上销售的单价比线下便宜元只，若用元购买这种糕点，线上购买的数量是线下购买数量的倍．求线上购买这种糕点的单价．
24. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    若此方程的一个实数根为，求的值；
    直接写出所有不大于的正整数的值，使原方程的两个根均为有理数．
25. 已知点为平行四边形外一点．
    如图，若，求证：平行四边形是矩形；
    如图，若，过点作交的延长线于点．
    求证：四边形是正方形；
    探索线段、与之间的数量关系，并说明你的理由；直接写出线段、与之间的数量关系．
     

26. 如图所示，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于点，且为线段的中点．向上平移直线与反比例函数的图象相交于点，点为轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．
    若，，则点的坐标为______；反比例函数的表达式为______；
    在的条件下，求平移后的直线的函数表达式；
    当▱的面积等于时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据二次根式的性质即可解答．
本题考查二次根式的基本运算，关键在于掌握二次根式的性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；
B、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
C、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、角不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：移项得，．
故选：．
这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求的平方根．
解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
 

4.【答案】 

【解析】解：、抛掷个均匀的骰子，出现点向上，是随机事件，故A不符合题意；
B、任意数的绝对值都是正数，是不可能事件，故B不符合题意；
C、两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，故C不符合题意；
D、人中至少有人的生日相同，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围．
本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，设，
将点代入，得：，
解得，
；
当时，设，
将点代入，得：，
解得：，
；
综上，；
当时，若，则，
解得；
当时，若，则，
解得；
分钟，
故室内每立方米空气中的含药量不低于毫升的持续时间为分钟．
故选：．
分和两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出时，的值，从而得到有效消毒时间．
本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得，即时，分式有意义．
故答案是：．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

8.【答案】 

【解析】解：为了解我区年八年级学生数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本容量是．
故答案为：．
根据样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量可得答案．
此题主要考查了样本容量，关键是注意样本容量只是个数字，没有单位．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据同类二次根式的定义，得，
．
故答案为：．
根据“二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则是同类二次根式”得到关于的方程，求解即可．
本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式的值为零则分子为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线与双曲线相交于点，
，，
，，
，
故答案为：．
把点代入解析式即可求得，，整体代入变形后的代数式即可求得．
本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，代数式的取值，求得，是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数，
图象在第二四象限，
点、都在反比例函数的图象上，
点在第二象限，点在第四象限，
．
故答案为：．
根据反比例函数的性质可得反比例函数，图象在第二、四象限，然后根据每个象限上点的坐标特征即可得到结论．
此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握，图象在第二、四象限．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分线为，
，
，
，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质和角平分线证出，得出，进而得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的相关知识是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设与交于，
四边形是菱形，
，，，
菱形的边长为，
，
即，
整理得：，
菱形的面积是，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理得出，求出，根据菱形的面积得出，求出，根据完全平方公式求出，再求出答案即可．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相垂直且平分．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，设与的交点为，

设点，
，
将点绕点逆时针旋转得到点，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点，
点在直线上移动，
直线与轴所成锐角为，
设直线与轴的交点为，
点，
四边形是平行四边形，
，，
点的坐标为，有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可得：直线时，有最小值，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，可得点，即点在直线上移动，由垂线段最短可得直线时，有最小值，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，垂线段最短，旋转的性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，再进行加法运算即可；
先通分，把能分解的进行分解，再进行约分即可．
本题主要考查二次根式的加法，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：去分母得，
解得，
检验：当时，，则是原方程的解，
所以原方程的解为；
，
，
，
，
，
所以，． 

【解析】先把分式方程化为整式方程得到，再解整式方程，然后进行检验确定原分式方程的解；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了解分式方程．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，
原式
． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，分解因式约分后，将的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，能将分式通分和约分，把分式化简．
 

20.【答案】解：，；
阅读时间为的学生有人，补全频数分布直方图，如图所示：
 
根据题意得：人，
则该校名学生中评为“阅读之星”的有人． 

【解析】

解：根据题意得：人，
则；；
故答案为：；；
见答案；
见答案．
【分析】
由阅读时间为的频数除以频率求出总人数，确定出与的值即可；
补全频数分布直方图即可；
由阅读时间在小时以上的频率乘以即可得到结果．
此题考查了频率数分布表，频数分布直方图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．  

21.【答案】解：选择，理由如下：
，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
；
当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由如下：
当为的中点时，，
由可知，，
四边形是平行四边形，
平分，平分，
，，
，
即，
平行四边形是矩形． 

【解析】由平行线的性质和角平分线定义得，，则，，即可得出结论；
先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，菱形即为所求；

如图，点即为所求． 

【解析】根据网格即可画出以为一边的菱形，使其四个顶点都在格点上；
根据网格即可在上找一点，使．
本题考查了作图应用与设计作图，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
 

23.【答案】解：设线上购买这种糕点的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：线上购买这种糕点的单价为元． 

【解析】设线上购买这种糕点的单价为元，由用元购买这种糕点，线上购买的数量是线下购买数量的倍，列出方程，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
把代入得，
解得；
当为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，
当时，；
当时，舍去；
当时，舍去；
当时，舍去；
当时，，
综上所述，当为或时，原方程的两个根均为有理数． 

【解析】根据根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可；
把代入得，然后解关于的方程即可；
利用求根公式得到当为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，然后对、、、、依次进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

25.【答案】证明：连接，
四边形是平行四边形，
是、的中点，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
证明：，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
≌，
，
，
；
过点作交于，过点作交于，
，
，
，
≌，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行证明即可；
通过证明≌，即可证明四边形是正方形；
由≌，可得，再由；过点作交于，过点作交于，可证明≌，再由，，即可得到．
本题是四边形的综合题，熟练掌握矩形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：当，时，，
当时，，当时，，
，，
为线段的中点，
，
反比例函数过点，
，
，
故答案为：，；
过点作轴于点，过点作轴于点，

则≌，
，，
由知，，，
，
，
，
，把代入中，得，
，
设直线为，
直线由直线平移得到，
，
将代入中，得，
，
直线的解析式为为；
▱的面积等于，
的面积为，
点是的中点，
的面积为，
由题意可得，，，
将代入中，得：，
同的作法可得，
，
把代入中，得：，
，
，
，
的面积为，
，
即，
．
首先根据直线的解析式求出和的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，从而求出反比例函数解析式；
过点作轴于点，过点作轴于点，利用≌可得点的坐标，再利用平移知，相同，从而解决问题；
根据▱的面积等于，得的面积为，由题意可得，，，再由同理可得点的坐标，从而表示出，进而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质等知识，利用由特殊到一般类比的数学思想是解决问题的关键．