2021-2022学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一元二次方程化为一般形式后，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各组数中为勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某品牌运动鞋专卖店在销售过程中，对近期不同尺码的鞋子销售情况进行了统计，若决定下次进货时，增加一些码的鞋子，影响该决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7. 下列命题中真命题的个数是(    )
   一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
   对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
   对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
   顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 受我省“药品安全春风行动”影响，某品牌药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，根据题意可得方程(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知的小数部分是方程的一个根，则该方程另一根的整数部分是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在菱形中，，，、分别为、边上的两点，点为对角线上一点，则的最小值为(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
13. 如图，四边形中，，、分别为对角线，的中点，若，，则的长度为______．

14. 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为，弦为，则图中四边形的周长为______．

15. 如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接．
    若、，三点在同一条直线上时，的长度为______．
    若点落在线段上时，的长度为______．
16. 若方程的两个实数根都是整数，则整数值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56分）

17. 计算：；
    解方程：．
18. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，其中点，，都在格点上，点是线段的中点．
    请在网格中画出以、为邻边的平行四边形；
    利用网格图，画出直线，使．

19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和．
    求实数的取值范围；
    若，求实数值．
20. 如图▱中，的平分线交于点，交的延长线于点．
    求证：．
    若，，求▱的面积．

21. 某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出盒，每盒利润元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价元，每天可多售出盒．根据以上情况，请解答以下问题：
    当每盒材料降价元时，这种材料每天可获利______元．
    为了更多的让利消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达元，则每盒应降价多少元？
22. 为弘扬“三色文化”，让同学们领略中国传统文化的魅力，营造良好的文化艺术氛围，某学校开展红色文化主题教育活动，八年级两班分别选名同学参加“三色文化”知识比赛，其成绩如图所示：
    
    根据图填写下表：

若从这两个班中选择一支成绩比较稳定的队伍参加区级比赛，你认为选择哪个班？请通过计算说明理由．

23. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交的延长线于点平分交于点，交于点．
    若，，求长；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.是最简二次根式，因此选项C符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
选项符合题意；
选项未知数最高次数是，不符合题意；
选项不是整式方程，不符合题意；
化简，得，不含有次项，
选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是次，并且得是整式方程，即可判断．
本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，则常数项为．
故选：．
方程整理为一般形式，找出常数项即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
D、，是勾股数，符合题意．
故选：．
勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数．一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
 

5.【答案】 

【解析】解：该正多边形的边数为：，
该正多边形的内角和为：．
故选：．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这是真命题，故符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，题中说法是假命题，故不符合题意；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，这是真命题，故符合题意；
顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，这是真命题，故符合题意；
符合题意的有个，
故选：．
根据平行四边形的判定定理判断；根据菱形的判定定理判断；根据矩形的判定定理判断；根据中位线定理和平行四边形的判定定理判断．
本题考查了命题与定理，掌握平行四边形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：第一次降价后的价格为：；
第二次降价后的价格为：；
两次降价后的价格为，
．
故选：．
等量关系为：原价降价的百分率现价，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

9.【答案】 

【解析】解：的小数部分是方程的一个根，
方程的一个根是，
该方程另一根是，
，
该方程另一根的整数部分是．
故选：．
先求出的小数部分是，根据根与系数的关系得出该方程另一根，进一步可求该方程另一根的整数部分．
本题考查了根与系数的关系，估算无理数的大小，关键是得到方程的一个根是．
 

10.【答案】 

【解析】解：在上截取，连接，作于，

四边形是菱形，
，
，，
≌，
，
当、、三点共线，且时，最小，最小值为的长，
，，
，，
，
由勾股定理得，，
的最小值为，
故选：．
在上截取，连接，作于，利用证明≌，得，当、、三点共线，且时，最小，最小值为的长，利用含角的直角三角形的性质求出的长，从而得出答案．
本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，将的最下值转化为的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据二次根式有意义的条件，，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于，列出不等式即可求出的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
 

12.【答案】 

【解析】解：有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：
连接、，

，为中点，
，
，
，
，
是中点，
．
，，、分别是边、的中点，
，，
．
．
故答案是：．
利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可证得；在中，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，，，，

，
四个直角三角形全等，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长为：．
根据勾股定理可得，由全等的直角三角形可求的长，进而可得，的长，再利用勾股定理求解的长，证明四边形为平行四边形，进而可求解．
本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，利用勾股定理求解线段长是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：如图，

，，
，
以为轴将进行翻折，得到，
，，，
，
，
，
故答案为：；
如图，过点作于，过点作于，

以为轴将进行翻折，得到，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：．
由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求解；
由“”可证≌，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】或 

【解析】解：设方程的两个实数根分别为，假设，
则，．
，
方程的两个实数根都是整数，
，或，，
解得，或，，
或．
故整数值为或．
故答案为：或．
由根与系数的关系可得，，那么，再由整数的性质即可求解．
此题考查了一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程中根与系数的关系，因式分解，抓住关系式是解题的关键．
 

17.【答案】解：



；
，
，
或，
，． 

【解析】先算乘除，后算加减，即可解答；
根据解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，平行四边形即为所求；
如图，线段即为所求．
 

【解析】根据平行四边形的判定画出图形即可；
作出的中点，连接即可．
本题考查作图应用与设计作图，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故实数的取值范围是；
根据根与系数的关系得：，，
，
，
解得．
故实数值是． 

【解析】由得到关于的不等式，解之得到的范围；
根据根与系数的关系，结合得到关于的一元一次方程，解之即可求解．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟练掌握“当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键．
 

20.【答案】证明：在▱中，，
，
平分，
，
，
；
连接，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质可得，由平行线的性质及角平分线的定义可得，进而可证明结论；
连接，利用证明≌可得，，结合等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可求解的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题意，得元，
故答案为：；
设每盒应降价元，
根据题意，得，
解得或，
更多的让利消费者，
，
答：每盒应降价元．
根据每盒的利润数量总利润求解即可；
根据每天销售这种节能材料获利达元，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并找出合适的等量关系建立方程是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：八班名同学参加“三色文化”知识比赛的成绩从小到大排列为、、、、，故中位数是分，
八班的众数是分；
故答案为：，；
八班的方差为：，
八班的的方差为：，
从方差看，八班的方差小，所以八班的成绩更稳定，选择八班参加区级比赛．
根据中位数与众数的定义解答即可；
根据方差的性质解答．
本题考查的是方差、众数、中位数和平均数，掌握方差的计算公式、方差的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，

四边形是正方形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：如图，过点作交的延长线于点，

四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质得出，，，证明四边形是平行四边形，得出，证明≌，得出，由平分，，求出，进而得出，由勾股定理求出，即可得出；
过点作交的延长线于点，先证明≌，得出，，由角平分线和平行线的性质证明，得出，由，，证明，得出，证明≌，得出，，根据同角的余角相等得出，
进而得出，得出，由，得出．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握正方形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识是解决问题的关键．