2021-2022学年安徽省合肥市庐阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市庐阳区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列式子中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 六边形的内角和是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

5. 下列说法正确的是(    )

A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形

6. 合肥市装家书店开业，第一天收入约为元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三天收入约为元，若设每天的增长率为，则满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知一组数据、、、、、的平均数是，则这组数据的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为正方形边延长线上一点，且，交于，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在中，点、、分别是、、中点，则下列四个判断中不一定正确的是(    )

A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形是矩形
C. 若四边形是菱形，则是等边三角形
D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形

10. 如图，在中，于点，于点，点是的中点，连接、，设，则的度数可表示为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 方程的解是______．
12. 我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌．如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则度数是______．

13. 已知，是方程的两个根，则______．
14. 如图，矩形纸片，、，点是边上的点，，点是边上一点，将纸片沿折叠，、的对应点分别为、．
    当点落在边上时，长为______；
    最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

15. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共82分）

16. 解一元二次方程：．
17. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形．
    在网格中画出长为的线段；
    在网格中画出，满足，且面积为．
     

18. 如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上．他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出米；把风筝线沿直线向后拉米，风筝线末端刚好接触地面．求风筝距离地面的高度．

19. 已知关于的一元二次方程：
    求证：无论为何值，方程总有实数根；
    若方程的一个根是，求另一个根及的值．
20. 如图，平行四边形，、相交于点，点在线段上，，连接并延长交边于点．
    求证：四边形为菱形；
    若，，直接写出菱形的面积．

21. 年月日，中国选手谷爱凌在冬奥会自由式滑需女子大跳台决赛中夺得金牌，国际滑联评价谷爱凌为滑雪史上第一人，已知自由式滑雪大跳台的计分规则如下：
    每次滑雪的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数；
    每次滑雪都有名裁判进行打分，在个得分中去掉个最高分和个最低分，剩下个得分的平均值为这次起跳的完成分；
    运动员该次滑雪的最后得分难度系数完成分．
    在某次自由滑雪大跳台比赛中，某运动员的打分满分分表为：

名裁判打分的众数是______；中位数是______．
该运动员的最后得分是多少？
已知某运动员在一次滑雪大跳台比赛中完成了难度系数的动作，且所有裁判都打了满分，请你帮她算一下，难度系数的满分成绩应该是多少分？

22. 某商店销售一种商品，每件进价元，在销售过程中发现，当售价为元时，每天可售出件．该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润经调查发现，如果每件商品降价元，平均可多售出件．
    若每件商品降价元，商家平均每天能盈利多少元？
    每件商品降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利元？
23. 四边形与四边形均为正方形，是的中点，连接、．
    如图，当点在线段上时，
    猜想与的数量关系和位置关系；
    证明你猜想的结论；
    如图，当、、三点不共线时，中的结论还成立吗？说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由内角和公式可得：，
故选：．
多边形内角和定理：边形的内角和等于，且为整数，据此计算可得．
此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：，且为整数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

5.【答案】 

【解析】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故选：．
利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了正方形的判定，平行四边形、进行、菱形的判定，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：设每天的增长率为，则满足的方程是：．
故选：．
根据开业第一天收入约为元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第天收入约为元列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一组数据、、、、、的平均数是，
，
解得，
，
故选：．
先由平均数是计算的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，
，
，
，
是正方形的对角线，
，
，
，
在中，．
故选：．
根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
故A不符合题意，
若，则
四边形是矩形，
故B不符合题意，
若四边形是菱形，则，

是等腰三角形，
故C符合题意；
若四边形是正方形，则，
，
是等腰直角三角形
故D不符合题意；
故选：．
利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：于点，于点；
，
点是的中点，
，，
，，
，，
，
，
故选：．
由垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，比较简单．这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出．
【解答】
解：即，
所以或．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：正五边形的每个内角，
，
故答案为：．
先求出正五边形的每个内角的度数，根据在顶点处各角之和为即可得出的度数．
本题考查了平面镶嵌密铺，掌握多边形的内角和是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

14.【答案】   

【解析】解：如图，作于点，作于点，连接，

则四边形为矩形，
，
由折叠可知，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：；
如图，连接，，

由勾股定理得，，
，
，
在中，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
作于点，作于点，连接，利用证明≌，得，再说明四边形为矩形，得，可得答案；
连接，，在中，利用三角形三边关系可得的最小值．
本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，需要熟练掌握利用三角形三边关系是求单线段最值的常用方法．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

16.【答案】解：
移项得，
因式分解得，
，
；． 

【解析】通过移项，因式分解再求方程的解即可．
考查一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁．
 

17.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】利用勾股定理画出图形即可；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想画出图形，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设米，则米，
由图可得，，，
中，，
即，
解得，
答：风筝距离地面的高度为米． 

【解析】设米，则米，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度．
本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
 

19.【答案】解：，
无论取任何值，方程总有实数根．

是方程的一个根，
，
解得：，
设方程的另一个根为，则，
即，
，
则方程的另一个根为． 

【解析】根据根的判别式得出，从而证出无论取任何值，方程总有实数根．
先把代入原方程，求出的值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

20.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
四边形为菱形，
，，，平分，
，
，
在中，，
，
菱形的面积

，
菱形的面积为． 

【解析】利用平行四边形的性质可得，，，然后利用平行线和线段中点构造≌，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，即可证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定方法，即可解答；
根据菱形的性质可得，，，平分，从而可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后根据菱形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：出现次数最多，名裁判打分的众数是；
把这组数据按照从小到大的顺序排列得：、、、、、、，根据中位数的定义知，中位数是．
故答案为：；；
分．
故该运动员本次滑雪的得分是分．
分，
答：难度系数的满分成绩应该是分． 

【解析】本题考查的是平均数、众数和中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数的值．
根据众数和中位数的定义即可得出答案；
根据运动员该次滑雪的得分难度系数完成分列出算式计算即可求解；
根据运动员该次滑雪的得分难度系数完成分列出算式计算即可求解．
 

22.【答案】解：根据题意，得元，
答：商家平均每天盈利元；
设每件商品降价元，
根据题意，得，
解得或，
让利于顾客，
，
答：每件商品降价元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利元． 

【解析】根据每件的利润件数总利润求解即可；
设每件商品降价元，根据商家平均每天能盈利元列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：结论：，．
证明：如图中，延长与交于点，

四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，．
中的结论还成立．
理由如下：
延长到，使，连接，，，延长交于点，交于点，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
即，
，，
，． 

【解析】由题意得出结论；延长与交于点，由正方形的性质得出，，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出结论；
延长到，使，连接，，，延长交于点，交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出，由等腰三角形的性质可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．