2021-2022学年河南省洛阳市偃师市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省洛阳市偃师市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 直线不经过第象限．(    )

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

5. 双曲线有三个点，，，若，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在▱中，交对角线于点若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 矩形、菱形都具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线垂直、平分且相等

8. 方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，下列说法中，错误的是(    )

A. 数据个数是 B. 数据平均数是 C. 数据众数是 D. 数据的方差是

10. 如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是则下列图象能大致反映与的函数关系的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 写一个当时，随的增大而增大的函数解析式          ．
12. 某公司欲招收职员一名，从学历和经验两个方面对甲、乙两名应聘者进行初步测试，测试成绩如表：

如果将学历和经验两项得分按：的比例确定各人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被录用填“甲”或“乙”．

13. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是______．
14. 正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，轴于点如图，则四边形的面积为______．

15. 如图，在矩形中，，，点在边上不与，重合，连接，把沿直线折叠，点落在点处，当为直角三角形时，则的周长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共70分）

16. 计算：．
    解分式方程：．
17. 先化简：，然后在，，，四个数中选择一个你认为最合适的数代入，求值．
18. 年，疫情依然还没有离我们而去，全民抗疫，需要您我他．某校为了了解七年级共名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
    【收集数据】
    甲班名学生测试成绩分别为：
    ，，，，，，，，，，，，
    乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，
    【整理数据】

【分析数据】

【应用数据】
根据以上信息，可以求出：______，______分，______分；
根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？并至少从两个方面说明理由．

19. 如图，在▱中，是边的中点，连结并延长交的延长线于点．
    求证：≌．
    当，，时，求的长．

20. 如图，在中，是边上一点，过点作交于点，交于点．
    如果是的角平分线，求证：四边形是菱形．
    如果是的中线且，请判断四边形的形状并说明理由．

21. 如图，在菱形中，轴，点的坐标为，点的坐标为，边所在直线与轴交于点，与双曲线交于点
    求直线的函数表达式及的值；
    把菱形沿轴的正方向平移多少个单位后，点落在双曲线上？
    直接写出使的自变量的取值范围．

22. 临近期末，某文具店需要购进一批涂卡铅笔和黑色水笔，已知用元购进铅笔与用元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高元．
    求这两种笔每支的进价分别是多少元？
    该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的倍还多支，且两种笔的总数量不超过支，售价见店内海报如下所示该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？

23. 直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．
    求点的坐标；
    是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于，，设的长为，点的横坐标为，请求出与之间的函数关系式；
    在的条件下，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．直接写出结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是分式，故A不符合题意．
B、是分式，故B符合题意．
C、不是分式，故C不符合题意．
D、不是分式，故D不符合题意．
故选：．
一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标为：．
故选：．
利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而求出即可．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
该直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：．
根据直线解析式和一次函数的性质，可以得到该直线经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
此函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
，
、，
．
故选：．
先根据反比例函数的系数判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，判断出、、的大小．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及反比例函数的增减性是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可得，再根据三角形外角定义即可得的度数．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：．
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：把分式方程去分母得：
，
解得：，
分式方程有增根，
，
把代入中得：
，
解得：，
故选：．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
样本容量是，故选项A正确，不合题意；
样本平均数是：，故选项B正确，，不合题意；
样本众数是，故选项C正确，，不合题意；
样本方差是：，故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查方差、样本容量、算术平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、样本容量、算术平均数、众数．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点由点向点运动时，的值为；
当点在上运动时，随着的增大而增大；
当点在上运动时，不变；
当点在上运动时，随的增大而减小．
故选：．
根据动点从点出发，首先向点运动，此时不随的增加而增大，当点在上运动时，随着的增大而增大，当点在上运动时，不变，据此作出选择即可．
本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势．
 

11.【答案】或或等 

【解析】解：若为一次函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为反比例函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为二次函数，当时，随的增大而增大，，对称轴，如；
当时，随的增大而增大的函数解析式为或或等此题答案不唯一．
根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质作答．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性，是一道难度中等的题目．
 

12.【答案】乙 

【解析】解：甲的最终得分是，
乙的最终得分是，
，
被录取的是乙；
故答案为：乙．
根据加权平均数的计算公式，列出算式，分别求出甲、乙的最终得分，即可得出答案．
此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式求出甲、乙的最终得分．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知是的平分线，
．
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
故答案为：
只要证明即可解决问题．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：解方程组得或，
即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为，轴于点，轴于点，
所以，与均是直角三角形，
则：，
即：四边形的面积是．
故答案为：．
方法二：
比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，
、关于原点对称，
，
轴于点，轴于点，
，
，
，
即：四边形的面积是．
故答案为：．
联立正比例函数与反比例函数的解析式，解方程组得点、、、的坐标，然后在求四边形的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
由矩形的性质和折叠的性质可得，，，分和两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求的周长．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，
由折叠可知：，，，
若，且，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
，
，
，
的周长；
若，且，
，
点，点，点三点共线，
在中，，
，
的周长．
故答案为：或  

16.【答案】解：原式
；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
，
分式有意义，，，
．
当时，原式． 

【解析】先计算括号里分式减法，再将除法转化为乘法计算，最后代入合适的求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．
 

18.【答案】     

【解析】解：由题意知，甲班成绩在的人数，
其众数，
乙班成绩的中位数，
故答案为：、、；
甲班学生防疫测试的整体成绩较好，
因为甲班成绩的平均数大于乙班，且甲班成绩的方差小于乙班，
所以甲班成绩的平均水平高且成绩稳定，
所以甲班学生防疫测试的整体成绩较好．
根据中位数和众数的定义求解即可；
根据平均数、中位数和方差的意义求解即可．
本题考查了中位数、众数和平均数方差的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，
是的中点，
，
在与中，
，
≌，
解：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
，，，
． 

【解析】根据可知，再根据是的中点可求出≌；
根据全等三角形的性质，可得，，然后根据平行四边形的性质证明是的中位线，再根据勾股定理即可解决问题．
此题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是矩形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
是的中线，
，
，
，
，，
，即，
，即，
平行四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，即可证四边形为菱形；
由题意可得，等边对等角可得，，由三角形的内角和定理可求，即可得平行四边形是矩形．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识；掌握菱形的判定与矩形的判定方法是本题的关键．
 

21.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，
，．
，解得，
直线的函数表达式为，
点在反比例函数的图象上，
，
．
，
把代入得，，
把菱形沿轴的正方向平移个单位后，点落在双曲线上．
由图象可知：当时，． 

【解析】根据勾股定理求得的长，进而求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的函数表达式及的值；
把代入得，，即可求得平移的距离；
根据函数的图象即可求得使的自变量的取值范围．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式等；求得、的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每支黑色水笔的进价为元，则每支涂卡铅笔的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每支涂卡铅笔的进价为元，每支黑色水笔的进价为元．
设购进支涂卡铅笔，则购进支黑色水笔，
依题意得：，
解得：．
设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：该商店应购进支涂卡铅笔，支黑色水笔才能使利润最大，最大利润是元． 

【解析】设每支黑色水笔的进价为元，则每支涂卡铅笔的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进铅笔与用元购进水笔的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每支黑色水笔的进价，再将其代入中即可求出每支涂卡铅笔的进价；
设购进支涂卡铅笔，则购进支黑色水笔，根据购进两种笔的总数量不超过支，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围，设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每支笔的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】解：直线与直线交于点，
，
，
点，
轴，
点；
根据题意可以知道，点的横坐标为，
把代入中可得
，
把代入中可得，
，
当时，；，
当时，；
由题意可知，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，解得或，
即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】联立方程组可求点坐标，即可求解；
用可分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式；
由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由的关系式可得到关于的方程，可求得的值．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，利用方程思想解决问题是解题的关键．