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2020年河北省中考数学试卷
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这是一份2020年河北省中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．（3分）（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．（3分）（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
4．（3分）（2020•河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
5．（3分）（2020•河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（3分）（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞12DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜12DE的长
7．（3分）（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．a+2b+2=ab B．a-2b-2=ab C．a2b2=ab D．12a12b=ab
8．（3分）（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
9．（3分）（2020•河北）若(92-1)(112-1)k=8×10×12，则k＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．（3分）（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是
（ ）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
11．（2分）（2020•河北）若k为正整数，则(k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k
12．（2分）（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
13．（2分）（2020•河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
14．（2分）（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
15．（2分）（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
16．（2分）（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）（2020•河北）已知：18-2=a2-2=b2，则ab＝ ．
18．（3分）（2020•河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝ ．
19．（6分）（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）（2020•河北）已知两个有理数：﹣9和5．
（1）计算：(-9)+52；
（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．
21．（8分）（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
22．（9分）（2020•河北）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．
（1）①求证：△AOE≌△POC；
②写出∠l，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）．
23．（9分）（2020•河北）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
24．（10分）（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
25．（10分）（2020•河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
26．（12分）（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长．
2020年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【解答】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线的垂线，可作无数条．
故选：D．
2．（3分）（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【解答】解：∵x3x＝x2（x≠0），
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
3．（3分）（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
4．（3分）（2020•河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
【解答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选：D．
5．（3分）（2020•河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
∴a＝8，
故选：B．
6．（3分）（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞12DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜12DE的长
【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于12DE，否则没有交点，
故选：B．
7．（3分）（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．a+2b+2=ab B．a-2b-2=ab C．a2b2=ab D．12a12b=ab
【解答】解：∵a≠b，
∴a+2b+2≠ab，故选项A错误；
a-2b-2≠ab，故选项B错误；
a2b2≠ab，故选项C错误；
12a12b=ab，故选项D正确；
故选：D．
8．（3分）（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
【解答】解：∵以点O为位似中心，
∴点C对应点M，
设网格中每个小方格的边长为1，
则OC=22+12=5，OM=42+22=25，OD=2，OB=32+12=10，OA=32+22=13，OR=22+12=5，OQ＝22，OP=62+22=210，OH=62+32=35，ON=62+42=213，
∵OMOC=255=2，
∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，
∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，
故选：A．
9．（3分）（2020•河北）若(92-1)(112-1)k=8×10×12，则k＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【解答】解：方程两边都乘以k，得
（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，
∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，
∴80×120＝8×10×12k，
∴k＝10．
经检验k＝10是原方程的解．
故选：B．
10．（3分）（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是
（ ）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
11．（2分）（2020•河北）若k为正整数，则(k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k
【解答】解：(k+k+⋯+k)k︸k个k=（（k•k）k＝（k2）k＝k2k，
故选：A．
12．（2分）（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【解答】解：如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝62km，
则PC＝32km，
则从点P向北偏西45°走32km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．
13．（2分）（2020•河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
【解答】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5； 当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6． 因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，
故选：C．
14．（2分）（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
15．（2分）（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
16．（2分）（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是1×42=42，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是2×32=62；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是2×22=42，
∵62＞42，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）（2020•河北）已知：18-2=a2-2=b2，则ab＝ 6 ．
【解答】解：原式＝32-2=a2-2=b2，
故a＝3，b＝2，
则ab＝6．
故答案为：6．
18．（3分）（2020•河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝ 12 ．
【解答】解：正六边形的一个内角为：(6-2)×180°6=120°，
∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，
∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12．
故答案为：12．
19．（6分）（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ﹣16 ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ 5 ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 7 个．
【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），
∵L过点T1，
∴k＝﹣16×1＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（2）∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝﹣40，
∴反比例函数解析式为：y=-40x，
当x＝﹣8时，y＝5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m＝5，
故答案为：5；
（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，
若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，
若曲线L过点T3（﹣12，3），T5（﹣8，5）时，k＝﹣12×3＝﹣36，
若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，
∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴﹣36＜k＜﹣28，
∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，
∴答案为：7．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）（2020•河北）已知两个有理数：﹣9和5．
（1）计算：(-9)+52；
（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．
【解答】解：（1）(-9)+52=-42=-2；
（2）根据题意得，
-9+5+m3＜m，
∴﹣4+m＜3m，
∴m﹣3m＜4，
∴﹣2m＜4，
∴m＞﹣2，
∵m是负整数，
∴m＝﹣1．
21．（8分）（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；
（2）这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；
∵（2a﹣3）2≥0，
∴这个和不能为负数．
22．（9分）（2020•河北）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．
（1）①求证：△AOE≌△POC；
②写出∠l，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）．
【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，
OA=OP∠AOE=∠POCOE=OC，
∴△AOE≌△POC（SAS）；
②∵△AOE≌△POC，
∴∠E＝∠C，
∵∠1+∠E＝∠2，
∴∠1+∠C＝∠2；
（2）当∠C最大时，CP与小半圆相切，
如图，
∵OC＝2OA＝2，
∴OC＝2OP，
∵CP与小半圆相切，
∴∠OPC＝90°，
∴∠OCP＝30°，
∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，
∴S扇形ODE=120π×22360=43π．
23．（9分）（2020•河北）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【解答】解：（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k=13，
∴W与x的函数关系式为W=13x2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄=13（6﹣x）2-13x2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×13x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
24．（10分）（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴-k+b=-2b=1，解得k=3b=1，
∴直线l的解析式为y＝3x+1；
∴直线l′的解析式为y＝x+3；
（2）如图，解y=x+3y=3x+1得x=1y=4，
∴两直线的交点为（1，4），
∵直线l′：y＝x+3与y轴的交点为（0，3），
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：12+(4-3)2=2；
（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x=a-13；
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
当a﹣3+a-13=0时，a=52，
当12（a﹣3+0）=a-13时，a＝7，
当12（a-13+0）＝a﹣3时，a=175，
∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为52或7或175．
25．（10分）（2020•河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
【解答】解：（1）∵经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，
∴必须甲对乙错，
因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，
∴P甲对乙错=14．
（2）由题意m＝5﹣4n+2（10﹣n）＝25﹣6n．
n＝4时，离原点最近．
（3）不妨设甲连续k次正确后两人相距2个单位，
则有|8+2k﹣4k|＝2，解得k＝3或5．
如果k次中，有1次两人都对都错，则有|6+2（k﹣1）﹣4（k﹣1）|＝2，解得k＝3或5，
如果k次中，有2次两人都对都错，则有|4+2（k﹣2）﹣4（k﹣2）|＝2，解得k＝3或5，
…，
综上所述，满足条件的k的值为3或5．
26．（12分）（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，
∴tan∠B＝tan∠C=AHBH=34，
∴AH＝3，AB＝AC=AH2+BH2=32+42=5．
∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3．
（2）如图1中，∵∠APQ＝∠B，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，
∴S△APQS△ABC=（APAB）2=49，
∴APAB=23，
∴AP=103，
∴PM＝AP＝AM=103-2=43．
（3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．
∵PQ∥BC，
∴APAB=PQBC，∠AQP＝∠C，
∴x+25=PQ8，
∴PQ=85（x+2），
∵sin∠AQP＝sin∠C=35，
∴PJ＝PQ•sin∠AQP=2425（x+2）．
当3≤x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J．
同法可得PJ＝PC•sin∠C=35（11﹣x）．
（4）由题意点P的运动速度=936=14单位长度/秒．
当3＜x≤9时，设CQ＝y．
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPQ，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABCP=BPCQ，
∴511-x=x-3y，
∴y=-15（x﹣7）2+165，
∵-15＜0，
∴x＝7时，y有最大值，最大值=165，
∵AK=94，
∴CK＝5-94=114＜165
当y=114时，114=-15（x﹣7）2+165，
解得x＝7±32，
∴点K被扫描到的总时长＝（114+6﹣3）÷14=23秒．
方法二：①点P在AB上的时候，有11/4个单位长度都能扫描到点K；
②在BN阶段，当x在3～5.5（即7﹣1.5）的过程，是能扫到K点的，在5.5～8.5（即7+1.5）的过程是扫不到点K的，但在8.5～9（即点M到N全部的路程）能扫到点K．所以扫到的时间是[（9﹣8.5）+（5.5﹣3）+114]÷14=23（秒）．
2020年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．（3分）（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．（3分）（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
4．（3分）（2020•河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
5．（3分）（2020•河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（3分）（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞12DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜12DE的长
7．（3分）（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．a+2b+2=ab B．a-2b-2=ab C．a2b2=ab D．12a12b=ab
8．（3分）（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
9．（3分）（2020•河北）若(92-1)(112-1)k=8×10×12，则k＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．（3分）（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是
（ ）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
11．（2分）（2020•河北）若k为正整数，则(k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k
12．（2分）（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
13．（2分）（2020•河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
14．（2分）（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
15．（2分）（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
16．（2分）（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）（2020•河北）已知：18-2=a2-2=b2，则ab＝ ．
18．（3分）（2020•河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝ ．
19．（6分）（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）（2020•河北）已知两个有理数：﹣9和5．
（1）计算：(-9)+52；
（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．
21．（8分）（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
22．（9分）（2020•河北）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．
（1）①求证：△AOE≌△POC；
②写出∠l，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）．
23．（9分）（2020•河北）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
24．（10分）（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
25．（10分）（2020•河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
26．（12分）（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长．
2020年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【解答】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线的垂线，可作无数条．
故选：D．
2．（3分）（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【解答】解：∵x3x＝x2（x≠0），
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
3．（3分）（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
4．（3分）（2020•河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
【解答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选：D．
5．（3分）（2020•河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
∴a＝8，
故选：B．
6．（3分）（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞12DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜12DE的长
【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于12DE，否则没有交点，
故选：B．
7．（3分）（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．a+2b+2=ab B．a-2b-2=ab C．a2b2=ab D．12a12b=ab
【解答】解：∵a≠b，
∴a+2b+2≠ab，故选项A错误；
a-2b-2≠ab，故选项B错误；
a2b2≠ab，故选项C错误；
12a12b=ab，故选项D正确；
故选：D．
8．（3分）（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
【解答】解：∵以点O为位似中心，
∴点C对应点M，
设网格中每个小方格的边长为1，
则OC=22+12=5，OM=42+22=25，OD=2，OB=32+12=10，OA=32+22=13，OR=22+12=5，OQ＝22，OP=62+22=210，OH=62+32=35，ON=62+42=213，
∵OMOC=255=2，
∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，
∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，
故选：A．
9．（3分）（2020•河北）若(92-1)(112-1)k=8×10×12，则k＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【解答】解：方程两边都乘以k，得
（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，
∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，
∴80×120＝8×10×12k，
∴k＝10．
经检验k＝10是原方程的解．
故选：B．
10．（3分）（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是
（ ）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
11．（2分）（2020•河北）若k为正整数，则(k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k
【解答】解：(k+k+⋯+k)k︸k个k=（（k•k）k＝（k2）k＝k2k，
故选：A．
12．（2分）（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【解答】解：如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝62km，
则PC＝32km，
则从点P向北偏西45°走32km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．
13．（2分）（2020•河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
【解答】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5； 当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6． 因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，
故选：C．
14．（2分）（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
15．（2分）（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
16．（2分）（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是1×42=42，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是2×32=62；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是2×22=42，
∵62＞42，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）（2020•河北）已知：18-2=a2-2=b2，则ab＝ 6 ．
【解答】解：原式＝32-2=a2-2=b2，
故a＝3，b＝2，
则ab＝6．
故答案为：6．
18．（3分）（2020•河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝ 12 ．
【解答】解：正六边形的一个内角为：(6-2)×180°6=120°，
∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，
∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12．
故答案为：12．
19．（6分）（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ﹣16 ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ 5 ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 7 个．
【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），
∵L过点T1，
∴k＝﹣16×1＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（2）∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝﹣40，
∴反比例函数解析式为：y=-40x，
当x＝﹣8时，y＝5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m＝5，
故答案为：5；
（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，
若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，
若曲线L过点T3（﹣12，3），T5（﹣8，5）时，k＝﹣12×3＝﹣36，
若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，
∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴﹣36＜k＜﹣28，
∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，
∴答案为：7．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）（2020•河北）已知两个有理数：﹣9和5．
（1）计算：(-9)+52；
（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．
【解答】解：（1）(-9)+52=-42=-2；
（2）根据题意得，
-9+5+m3＜m，
∴﹣4+m＜3m，
∴m﹣3m＜4，
∴﹣2m＜4，
∴m＞﹣2，
∵m是负整数，
∴m＝﹣1．
21．（8分）（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；
（2）这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；
∵（2a﹣3）2≥0，
∴这个和不能为负数．
22．（9分）（2020•河北）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．
（1）①求证：△AOE≌△POC；
②写出∠l，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）．
【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，
OA=OP∠AOE=∠POCOE=OC，
∴△AOE≌△POC（SAS）；
②∵△AOE≌△POC，
∴∠E＝∠C，
∵∠1+∠E＝∠2，
∴∠1+∠C＝∠2；
（2）当∠C最大时，CP与小半圆相切，
如图，
∵OC＝2OA＝2，
∴OC＝2OP，
∵CP与小半圆相切，
∴∠OPC＝90°，
∴∠OCP＝30°，
∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，
∴S扇形ODE=120π×22360=43π．
23．（9分）（2020•河北）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【解答】解：（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k=13，
∴W与x的函数关系式为W=13x2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄=13（6﹣x）2-13x2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×13x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
24．（10分）（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴-k+b=-2b=1，解得k=3b=1，
∴直线l的解析式为y＝3x+1；
∴直线l′的解析式为y＝x+3；
（2）如图，解y=x+3y=3x+1得x=1y=4，
∴两直线的交点为（1，4），
∵直线l′：y＝x+3与y轴的交点为（0，3），
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：12+(4-3)2=2；
（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x=a-13；
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
当a﹣3+a-13=0时，a=52，
当12（a﹣3+0）=a-13时，a＝7，
当12（a-13+0）＝a﹣3时，a=175，
∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为52或7或175．
25．（10分）（2020•河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
【解答】解：（1）∵经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，
∴必须甲对乙错，
因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，
∴P甲对乙错=14．
（2）由题意m＝5﹣4n+2（10﹣n）＝25﹣6n．
n＝4时，离原点最近．
（3）不妨设甲连续k次正确后两人相距2个单位，
则有|8+2k﹣4k|＝2，解得k＝3或5．
如果k次中，有1次两人都对都错，则有|6+2（k﹣1）﹣4（k﹣1）|＝2，解得k＝3或5，
如果k次中，有2次两人都对都错，则有|4+2（k﹣2）﹣4（k﹣2）|＝2，解得k＝3或5，
…，
综上所述，满足条件的k的值为3或5．
26．（12分）（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，
∴tan∠B＝tan∠C=AHBH=34，
∴AH＝3，AB＝AC=AH2+BH2=32+42=5．
∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3．
（2）如图1中，∵∠APQ＝∠B，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，
∴S△APQS△ABC=（APAB）2=49，
∴APAB=23，
∴AP=103，
∴PM＝AP＝AM=103-2=43．
（3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．
∵PQ∥BC，
∴APAB=PQBC，∠AQP＝∠C，
∴x+25=PQ8，
∴PQ=85（x+2），
∵sin∠AQP＝sin∠C=35，
∴PJ＝PQ•sin∠AQP=2425（x+2）．
当3≤x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J．
同法可得PJ＝PC•sin∠C=35（11﹣x）．
（4）由题意点P的运动速度=936=14单位长度/秒．
当3＜x≤9时，设CQ＝y．
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPQ，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABCP=BPCQ，
∴511-x=x-3y，
∴y=-15（x﹣7）2+165，
∵-15＜0，
∴x＝7时，y有最大值，最大值=165，
∵AK=94，
∴CK＝5-94=114＜165
当y=114时，114=-15（x﹣7）2+165，
解得x＝7±32，
∴点K被扫描到的总时长＝（114+6﹣3）÷14=23秒．
方法二：①点P在AB上的时候，有11/4个单位长度都能扫描到点K；
②在BN阶段，当x在3～5.5（即7﹣1.5）的过程，是能扫到K点的，在5.5～8.5（即7+1.5）的过程是扫不到点K的，但在8.5～9（即点M到N全部的路程）能扫到点K．所以扫到的时间是[（9﹣8.5）+（5.5﹣3）+114]÷14=23（秒）．
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