2003年河北省中考数学试卷

这是一份2003年河北省中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）如果水位下降3m，记作﹣3m，那么水位上升4m，记作（ ）
A．+1mB．+7mC．+4mD．﹣7m
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣|﹣3|=3B．（a5）2=a7
C．0.2a2b﹣0.2a2b=0D．
3．（2分）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
4．（2分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）下列图形中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完．他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（ ）
A．=14B．=14
C．=1D．=14
7．（2分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36π米2B．0.81π米2C．2π米2D．3.24π米2
8．（2分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）
A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2C．直线y=x上D．双曲线
9．（2分）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2分）如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，则水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的（ ）
A．B．C．D．

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）﹣2的倒数是 ．
12．（2分）一种细菌的半径是0.00004米，用科学记数法表示出来是 ．
13．（2分）分解因式m2﹣n2﹣3m﹣3n= ．
14．（2分）两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是 ．
15．（2分）不等式组的解集为 ．
16．（2分）乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么A，B两站之间需要安排 种不同的车票．
17．（2分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 ．
18．（2分）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 ．
19．（2分）如图，这是某机械传动部分的示意图，已知两轮的外沿直径分别为2分米和8分米，轴心距为6分米，那么传动带的长为 分米．
20．（2分）如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当边上摆8（即n=8）根时，需要的火柴总数为 根．

三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）已知x=2+，y=2﹣，求的值．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．
23．（8分）某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩后，所得结果如下表（分数均为整数，满分为100分）：
请根据表中提供的信息解答下列各题：
（1）参加这次演讲比赛的同学共有 人；
（2）已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么优胜率为 ；
（3）所有参赛同学的平均得分M（分）在什么范围内？答： ．
24．（8分）如图：MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN交⊙O的弦BC于点P，若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm．求⊙O的直径．
25．（12分）小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，用这两种材料铺设地面的工钱不一样，小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别作了预算，通过列表，并用x（m2）表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用制成下图，请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）预算中铺设居室的费用为 元/m2；铺设客厅的费用为 元/m2；
（2）表示铺设居室的费用y（元）与面积x（m2）之间的函数关系为 ；
（3）已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元，购买1m2的瓷砖是购买1m2木质地板费用的，那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？
26．（12分）探究规律：如图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ；
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有： 与△ABC的面积相等；理由是： ．
解决问题：
如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）
（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由．
27．（12分）高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本﹣投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（2）试写出z与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划，在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售；到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
28．（12分）如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．
（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

2003年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）（2003•河北）如果水位下降3m，记作﹣3m，那么水位上升4m，记作（ ）
A．+1mB．+7mC．+4mD．﹣7m
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：∵“正”和“负”相对，水位下降3m，记作﹣3m，
∴水位上升4m，记作+4m．
故选C．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2．（2分）（2003•河北）下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣|﹣3|=3B．（a5）2=a7
C．0.2a2b﹣0.2a2b=0D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、绝对值、二次根式的概念进行判断．
【解答】解：A、错误，∵﹣|﹣3|=﹣3；
B、错误，∵（a5）2=a10；
C、正确，符合合并同类项的法则；
D、错误，∵=4．
故选C．
【点评】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、幂的乘方与积的乘方、绝对值、二次根式的化简，需熟练掌握且区分清楚．

3．（2分）（2003•河北）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
【分析】两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．
【解答】解：如图所示（实线为行驶路线）：
A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．
故选A．
【点评】本题考查平行线的判定，熟记定理是解决问题的关键．

4．（2分）（2003•河北）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先把分式分子分母因式分解，然后把相同的因子约掉．
【解答】解：=，
=﹣，
故选：B．
【点评】解答本题主要把分式分子分母进行因式分解，然后进行约分．

5．（2分）（2003•河北）下列图形中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先确定轴对称图形，再根据对称轴的概念，确定对称轴的条数．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、有2条对称轴；
C、有3条对称轴；
D、有4条对称轴．
故选C．
【点评】掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．能够熟练说出轴对称图形的对称轴条数．

6．（2分）（2003•河北）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完．他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（ ）
A．=14B．=14
C．=1D．=14
【分析】关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间=14．
【解答】解：读前一半用的时间为：，
读后一半用的时间为：．
方程应该表示为：．
故选D．
【点评】本题主要考查的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．

7．（2分）（2007•荆州）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36π米2B．0.81π米2C．2π米2D．3.24π米2
【分析】桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则灯泡离桌面是2米，桌面与阴影是相似图形，相似比是2：3，两个图形的半径的比就是相似比，设阴影部分的直径是xm，则1.2：x=2：3解得：x=1.8，因而地面上阴影部分的面积为0.81π米2．
【解答】解：设阴影部分的直径是xm，则
1.2：x=2：3
解得x=1.8，
所以地面上阴影部分的面积为：S=πr2=0.81πm2．
故选B．
【点评】本题主要考查了相似图形的性质，对应高线的比等于相似比．

8．（2分）（2003•河北）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）
A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2C．直线y=x上D．双曲线
【分析】根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．
【解答】解：A、y=﹣x即表示x与y互为相反数，正确；
B、例如（﹣1，1），就符合此解析式，正确；
C、当该点坐标为（0，0）时就成立，正确；
D、因为xy=1，所以x和y同号，该点不在双曲线上，错误．
故选D．
【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．

9．（2分）（2003•河北）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接BP，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．
【解答】解：连接BP，过C作CM⊥BD，
∵S△BCE=S△BPE+S△BPC
=BC×PQ×+BE×PR×
=BC×（PQ+PR）×=BE×CM×，BC=BE，
∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1且正方形对角线BD==，
又BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM=BD=，
即PQ+PR值是．
故选A．
【点评】本题的解题关键是作出正确的辅助线，利用全等三角形的判定和性质的应用，来化简题目．

10．（2分）（2003•河北）如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，则水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】注意注水的位置是水槽底部的烧杯，而高度h表示水槽中水面上升高度；按不同的时间段，判断h的变化．
【解答】解：由于先往烧杯里注水，所以水槽中水的高度在前一段时间内为0，可排除A、C；
那么只有从B和D里面进行选择．
当淹过烧杯后，空间变大，那么水的高度将增长缓慢，
表现在函数图象上为先陡，后缓，排除B．
故选D．
【点评】本题需注意的知识点为：高度增加的先快后慢，函数图象的坡度将先陡后缓．

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）（2013•曲靖）﹣2的倒数是 ．
【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

12．（2分）（2003•河北）一种细菌的半径是0.00004米，用科学记数法表示出来是 4×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．此题n＜0，n=﹣5．
【解答】解：0.000 04=4×10﹣5．
答：0.000 04米，用科学记数法表示出来是4×10﹣5．
【点评】把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．

13．（2分）（2003•河北）分解因式m2﹣n2﹣3m﹣3n= （m+n）（m﹣n﹣3） ．
【分析】此题首先分组，然后分别利用完全平方公式和提取公因式法分解，最后利用提取公因式即可解决问题．
【解答】解：m2﹣n2﹣3m﹣3n，
=（m﹣n）（m+n）﹣3（m+n），
=（m+n）（m﹣n﹣3）．
故应填：（m+n）（m﹣n﹣3）．
【点评】此题主要考查了因式分解的方法，首先利用分组分解法，然后利用了平方差公式和提取公因式法，最后利用提取公因式分组解决问题．

14．（2分）（2003•河北）两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是 3＜x＜17 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，则第三根木棒应＞两边之差即3cm，而＜两边之和17cm．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
10﹣7＜x＜10+7，
3＜x＜17．
【点评】能够熟练运用三角形的三边关系求得第三边的取值范围．

15．（2分）（2003•河北）不等式组的解集为 x＞3 ．
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后求它们的交集即可．
【解答】解：由①得，x＞
由②得，x＞3
解集为x＞3．
【点评】注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集，此题比较简单．

16．（2分）（2003•河北）乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么A，B两站之间需要安排 20 种不同的车票．
【分析】画出图形，结合图形，表示出线段的条数，就可以知道车票的种数．
【解答】解：从A到B共有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条，
因为从两站出发点不同，车票就不同如A到C与C到A不同，故应有20种．
【点评】此题的关键是要联系生活实际，从几个站点设车票就要都能直达，所以学生平时不可死学生死学知识，要联系生活．

17．（2分）（2006•曲靖）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 y2﹣3y﹣1=0 ．
【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把x2﹣2x看做一个整体．
【解答】解：原方程可化为：
﹣（x2﹣2x）+3=0
设y=x2﹣2x
﹣y+3=0
∴1﹣y2+3y=0
∴y2﹣3y﹣1=0．
【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换元的整体．

18．（2分）（2003•河北）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 12π ．
【分析】根据圆锥侧面积=底面周长×母线长计算．
【解答】解：圆锥的侧面面积=×4π×6=12π．
故本题答案为：12π．
【点评】本题考查圆锥的侧面积公式的应用．

19．（2分）（2003•河北）如图，这是某机械传动部分的示意图，已知两轮的外沿直径分别为2分米和8分米，轴心距为6分米，那么传动带的长为 （6π+6） 分米．
【分析】要分为三部分进行计算，首先通过构造直角梯形和直角三角形计算其外公切线长，再根据弧长公式计算两条弧长，最后计算传动带的长．
【解答】解：连接AB，过A作AE⊥DB于点E
∵两轮的外沿直径分别为2分米和8分米，轴心距为6分米
∴BE=4﹣1=3分米，AB=6分米
∴AE==3分米
∴∠EAB=30°
∵小圆中需要的传动带长是=，
大圆中的弧长=，
∴传动带的长是（6π+6）分米．
【点评】此题考查切割线定理及弧长的计算等知识点的综合运用．

20．（2分）（2006•乌兰察布）如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当边上摆8（即n=8）根时，需要的火柴总数为 108 根．
【分析】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
【解答】解：n=1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3×1；
n=2时，有3个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2）；
n=3时，有6个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；
…；
n=8时，有8个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+…+8）=108．
【点评】本题的关键是弄清到底有几个小三角形．

三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）（2003•河北）已知x=2+，y=2﹣，求的值．
【分析】先利用x，y的值，求出x+y，x﹣y，xy的值，再将代数式化简，整体代入求值．
【解答】解：由已知，得x+y=2++2﹣=4，
x﹣y=2+﹣2+=2，
xy=（2+）（2﹣）=4﹣3=1，
∴原式=．
【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．

22．（8分）（2005•浙江）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．
【分析】本题考查平行四边形性质的应用，要证BE=DF，可以通过证△ABE≌△CDF转而证得边BE=DF．要证△ABE≌△CDF，由平行四边形的性质知AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，又知AE=CF，于是可由SAS证明△ABE≌△CDF，从而BE=DF得证．本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等．
【解答】证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE=DF．
证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAF=∠BCE．
∵AE=CF，
∴AF=AE+EF=CF+EF=CE．
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE．
∴BE=DF．
【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．

23．（8分）（2003•河北）某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩后，所得结果如下表（分数均为整数，满分为100分）：
请根据表中提供的信息解答下列各题：
（1）参加这次演讲比赛的同学共有 20 人；
（2）已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么优胜率为 20% ；
（3）所有参赛同学的平均得分M（分）在什么范围内？答： 77≤M≤86 ．
【分析】（1）求出所有人数的和；
（2）利用（1）中所求的数据，结合优胜者人数为4，即可求出优胜率；
（3）将总分数段的最小值及最大值分别除以人数，即可得出平均数M的范围．
【解答】解：（1）从统计表格中得出参加这次演讲比赛的同学共有2+8+6+4=20人，
（2）优胜者人数为4，所以优胜率=4÷20=20%；
（3）M的最小值=（61×2+71×8+81×6+91×4）÷20=77，M的最大值=（70×2+80×8+90×6+100×4）÷20=86
∴77≤M≤86
【点评】本题考查了从统计表格得出信息的能力．

24．（8分）（2003•河北）如图：MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN交⊙O的弦BC于点P，若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm．求⊙O的直径．
【分析】作辅助线，延长AP交⊙O于点D，由AP⊥MN，可知AP过圆心O，由相交弦定理可知，PA•PD=PB•PC，将数据代入，可将PD的长求出，故⊙O的直径AD=AP+PD．
【解答】解：延长AP交⊙O于点D；
∵PA•PD=PC•PB，
∴2×PD=3×5，
∴PD=7.5cm，
∴⊙O的直径AD=PA+PD=2+7.5=9.5cm．
【点评】本题主要考查切线的性质及相交弦定理的应用．

25．（12分）（2003•河北）小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，用这两种材料铺设地面的工钱不一样，小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别作了预算，通过列表，并用x（m2）表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用制成下图，请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）预算中铺设居室的费用为 135 元/m2；铺设客厅的费用为 110 元/m2；
（2）表示铺设居室的费用y（元）与面积x（m2）之间的函数关系为 y=135x（0≤x≤30） ；
（3）已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元，购买1m2的瓷砖是购买1m2木质地板费用的，那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？
【分析】（1）可根据（25，2750）求出铺设客厅每平米的费用，根据（30，4050）求出铺设居室每平米的费用；
（2）根据（1）中求出的铺设居室的每平米的费用，也就是居室的费用y与面积x的正比例函数的k的值，因此，y=135x；
（3）可根据铺设客厅每平米的费用=铺设每平米的瓷砖的工钱+每平米瓷砖的价钱，铺设居室每平米的费用=铺设每平米的木质地板的工钱+每平米木质地板的价钱，来列方程组求解．
【解答】解：（1）由题得：4050÷30=135，2750÷25=110，
即预算中铺设居室的费用为135元/m2；铺设客厅的费用为110元/m2；
（2）y=135x（0≤x≤30）；
（3）设铺木质地板的工钱为a元/平方米，那么铺瓷砖的工钱为（a+5）元/平方米，
设购买1m2木质地板费用是b元，那么购买1m2的瓷砖的费用是b元．根据题意有：
，解得，
因此a+5=20元/m2，b=90元．
答：铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱分别是15元和20元；购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用分别是120元和90元．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及二元一次方程组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．

26．（12分）（2003•河北）探究规律：如图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： △ABC和△ABP；△PCA和△PCB；△ACO和△PBO ；
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有： △ABP 与△ABC的面积相等；理由是： 同底等高的两个三角形的面积相等 ．
解决问题：
如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）
（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由．
【分析】（1）m和n之间的距离是个定值，所以相同底的，另一顶点又在另一平行线上的三角形的面积相同，减去同一个三角形得到的三角形的面积也相等；
（2）可利用平行，把△EDC转移成和它同底等高的三角形．
【解答】解：探究规律：
（1）△ABC和△ABP；△PCA和△PCB；△ACO和△PBO；
（2）△ABP，同底等高的两个三角形的面积相等．
解决问题：
（1）连接EC，过D作EC的平行线DG交CM于点G，连接EG，EG就是所求的路，
（2）∵DG∥EC
∴S△EDC=S△ECG∴S△EDC+SABCE=S△ECG+SABCE
∴路两边的面积相等．
【点评】两条平行线间的距离是一定的；同底等高的三角形的面积相等．

27．（12分）（2003•河北）高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本﹣投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（2）试写出z与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划，在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售；到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
【分析】（1）依题意当销售单价定为x元时，年销售量减少（x﹣100），则易求y与x之间的函数关系式．
（2）由题意易得Z与x之间的函数关系．
（3）当x=160时则可推出x2﹣340x+28800=0，解得x的值．在分别把x的两个值代入y与x的函数关系式即可．
（4）把z与x的关系式化简，得出当x=170时，z取最大值．
【解答】解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少（x﹣100）万件，
∴y=20﹣（x﹣100）=﹣x+30，
即y与x之间的函数关系式是y=﹣x+30．
（2）由题意得：
z=（30﹣x）（x﹣40）﹣500﹣1500=﹣x2+34x﹣3200，
即z与x之间的函数关系是z=﹣x2+34x﹣3200．
（3）∵当x=160时，z=﹣×1602+34×160﹣3200=﹣320
∴﹣320=﹣x2+34x﹣3200，
整理，得x2﹣340x+28800=0，
解得x1=160，x2=180．
即同样的年获利，销售单价还可以定为180元，
当x=160时，y=﹣×160+30=14；
当x=180时，y=﹣×180+30=12．
即相应的年销售量分别为14万件和12万件．
（4）∵z=﹣x2+34x﹣3200=﹣（x﹣170）2﹣310．
∴当x=170时，z取最大值，为﹣310，
即当销售单价为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．
第二年的销售单价定为x元时，年获利为：
z=（30﹣x）（x﹣40）﹣310=﹣x2+34x﹣1510．
当z=1130时，即1130=﹣x2+34x﹣1510，
整理得x2﹣340x+26400=0，
解得：x1=120，x2=220．
函数z=﹣x2+34x﹣1510的图象大致如图所示，
由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．
故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．
【点评】本题主要考查的是学生的作图能力以及二次函数的实际应用，难度偏难．

28．（12分）（2006•兰州）如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．
（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
【分析】（1）当PM旋转到PM′时，点N移动到点N′，点N移动的距离NN′=ON′﹣ON；
（2）已知两三角形两角对应相等，可利用AAA证相似
（3）可由（2）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．
（4）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．
【解答】（1）解：∵sinα=且α为锐角，
∴α=60°，即∠BOA=∠MPN=60°．（1分）
∴初始状态时，△PON为等边三角形，
∴ON=OP=2，当PM旋转到PM'时，点N移动到N'，
∵∠OPM'=30°，∠BOA=∠M'PN'=60°，
∴∠M'N'P=30°．（2分）
在Rt△OPM'中，ON'=2PO=2×2=4，
∴NN'=ON'﹣ON=4﹣2=2，
∴点N移动的距离为2； （3分）
（2）证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN； （4分）
（3）解：∵MN=ON﹣OM=y﹣x，
∴PN2=ON•MN=y（y﹣x）=y2﹣xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP•cs60°=2×=1，PD=POsin60°=，
∴DN=ON﹣OD=y﹣1．
在Rt△PND中，
PN2=PD2+DN2=（）2+（y﹣1）2=y2﹣2y+4．（5分）
∴y2﹣xy=y2﹣2y+4，
即y=； （6分）
（4）解：在△OPM中，OM边上的高PD为，
∴S=•OM•PD=•x•x．（8分）
∵y＞0，
∴2﹣x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数，
∴0＜S＜×2，即0＜S＜． （9分）
【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．

参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；郝老师；HLing；wdxwwzy；733599；zhangb；438011；心若在；lanchng；蓝月梦；zhjh；ZJX；张超；MMCH；zhangCF；HJJ；Liuzhx；lanyan；算术；星期八；开心；bjf；zcx；ln_86；kuaile；hbxglhl；lf2﹣9；mmll852；Linaliu；hnaylzhyk；ljj（排名不分先后）
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2017年6月23日分数段（分）
61～70
71～80
81～90
91～100
人 数（人）
2
8
6
4
分数段（分）
61～70
71～80
81～90
91～100
人 数（人）
2
8
6
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