2021-2022学年广东省广州市番禺区八年级（下）期末数学试卷(含解析)

2021-2022学年广东省广州市番禺区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则所在的正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是(    )

A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是轴对称图形

5. 直线过点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，直线和直线相交于点，观察其图象可知方程的解(    )

A.  B.  C.  D.

8. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用、分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在▱中，平分交于点若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，，，，是四根长度均为的小木棒，点、、共线．若，，则线段的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算：______．
12. 如图，将▱放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______．

13. 将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______．
14. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，如果，，那么线段的长度是______．

15. 如图是甲、乙两射击运动员的次射击训练成绩的折线统计图，观察图形，设甲、乙这次射击成绩的方差分别为，，则______填“”、“”或“”．

16. 如图，在▱中，，为的中点，于点，连接，，下列结论：
    ；
    ；
    ：：；
    ．
    其中正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 某校羽毛球球队的年龄分布如下面的条形图所示，请找出这些队员年龄的平均数，众数和中位数，并解释它们的意义．

19. 设矩形的面积为，相邻两边长分别为、，对角线长为，已知，，求和．
20. 如图，中，，平分，交于点，，．
    求点到直线的距离；
    求线段的长．

21. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行海里和海里，小时后两船分别位于点，处，且相距海里，已知甲船沿北偏西方向航行，求乙船航行的方向．

22. 如图，直线：与两坐标轴分别交于、两点，点为线段的中点．
    求、、的坐标；
    直线关于轴对称的直线为，写出直线的解析式；
    若直线交轴于点，直线与轴的交点为，连接，求．

23. 如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
    求证：≌；
    连接，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
     

24. 已知，两地相距甲：由地出发骑电动自行车去地，平均速度为；乙在：由地出发乘汽车也去地，平均速度为．
    分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式，在同一坐标系中画出函数的图象；
    乙能否在途中超过甲？如果能超过，请结合图象说明，何时超过？
    设甲、乙两人之间的距离为，试写出关于时刻的函数解析式，并画出此函数的图象．
25. 如图，已知一次函数的图象过点，点是该直线上的一个动点，过点分别作垂直轴于点，垂直轴于点，在四边形的边上分别截取：，，，．
    求的值；
    求证：四边形是平行四边形；
    在直线上是否存在这样的点，使四边形为正方形？若存在，请求出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：正确；符合题意．
      ．；不符合题意．
      ．；不符合题意．
      ．；不符合题意．
故选：．
根据平方根和立方根的定义进行化简．
本题主要考查了二次根式的化简，平方根和立方根的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知：，
故选：．
由勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：菱形的四条边相等，故选项A不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直，故选项B不符合题意，
C.菱形的对角线不一定相等，故选项C符合题意，
D.菱形是轴对称图形，故选项D不符合题意，
故选：．
由菱形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查菱形的性质以及轴对称图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
【解答】
解：直线过点，
，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
故选：．
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数就是中位数．
本题考查中位数，掌握将一组数据从小到大排列处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数是正确解答的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线和直线相交于点，
方程的解为．
故选：．
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：此函数图象中，先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B.此函数图象中，第段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C.此函数图象中，、同时到达终点，符合题意；
D.此函数图象中，先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：．
乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑停急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同．
本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
平分，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质，可以得到，，然后即可得到，，再根据，平分，即可得到的度数．
本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，
过作于，过作于，
则，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，
，，
，
，
，
故选：．
过作于，过作于，由等腰三角形的性质得到，，根据全等三角形判定证得≌，得到，在中，根据勾股定理求出，进而求出．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得≌是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键，是一道基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：延长交轴于点，

点的坐标是，
，
四边形是平行四边形，
，，
点的坐标是，
，，
，
点的坐标是，
故答案为：．
延长交轴于点，根据已知可得，利用平行四边形的性质可得，，再根据点的坐标可得，，从而求出的长，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为，即，
故答案为：．
根据“上加下减”的函数图象平移规律来解答．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由作法得，
在中，，
，
．
故答案为：．
由作法得，利用勾股定理计算出，然后利用面积法求的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知甲的成绩为，，，，，，，，，，
乙的成绩为，，，，，，，，，，
甲的平均数是：，
乙的平均数是：，
甲的方差
乙的方差，
则．
故答案为：．
从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于，取的中点，连接．

，，
，
，
，
，
，
故正确，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，故正确，
，
，
若：：，
则，
过点作交于点，则四边形和四边形都是平行四边形，

为的中点，这与条件不相符，
故错误，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，故正确，
故答案为：．
延长交的延长线于，取的中点，连接，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得出正确；证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，可判断；证出，由平行四边形的性质可判断；证明四边形是菱形，由菱形的性质可得出，可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，再进行减法运算即可；
利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：这些队员年龄的平均数为：，说明队员年龄趋势为岁，
队员年龄的众数为：，表明队员年龄为岁的较多；
队员年龄的中位数是，说明队员年龄位于岁上下各半． 

【解析】总的年龄除以总的人数就是平均数；出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的平均数，中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

19.【答案】解：由题意得：，且，
解得：，． 

【解析】根据矩形的面积公式和勾股定理，列方程组求解．
本题考查了二次根式的应用，熟练计算二次根式是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作于，
平分，，，
，
点到直线的距离为；
在和中，
，
≌
，
在中，，
在中，，即，
解得，． 

【解析】作，根据角平分线的性质得到，得到答案；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可知：，，，
，
是直角三角形，
，
由题意知，
，
即乙船沿北偏东方向航行． 

【解析】根据题意即可知，，，利用勾股定理的逆定理可推出是直角三角形，由甲船沿北偏西方向航行，即可推出乙船的航行方位角．
本题考查勾股定理的应用以及方位角，熟练掌握勾股定理并能熟练应用以及能正确找出方位角是解题的关键．
 

22.【答案】解：令，则，
，
令，则，解得，
，
点为线段的中点．
；
，
点关于轴的对称点，
设直线的解析式为，
代入点得，，解得，
直线的解析式为；
设直线的解析式为，
把点、的坐标代入得，解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
是直角三角形斜边的中线，
，
． 

【解析】根据坐标轴上点的坐标特征即可求得、的坐标，进而根据中点公式求得点的坐标；
求得点关于轴的对称点，然后利用待定系数法即可求得；
求得直线的解析式，进而求得，利用勾股定理求得，利用直角三角形斜边中线的性质求得，进一步即可求得的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，直角三角形斜边中线的性质，求得交点的坐标是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
当平分时，四边形是菱形，

理由：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，即，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据四边形是平行四边形，可以得到，，，从而可以得到，然后根据即可证明结论成立；
根据平分和平行四边形的性质，可以证明▱是菱形，从而可以得到，然后即可得到，再根据题目中的条件，可以证明四边形是平行四边形，然后根据，即可得到四边形是菱形．
 

24.【答案】解：设行程为，时刻为，由题意可得，
甲：，
乙：．
图象如图所示：


乙能在途中超过甲，理由如下：
根据图象可知，两条直线交于点，
当时，落在的下方，即乙超过甲．
答：：后乙超过甲；

当时，；
时，；
当时，；
当时，；
图象如图所示：

综上所述，关于时刻的函数解析式为． 

【解析】根据行程速度时间分别列式即可；
联立两函数解析式求出相遇时的时间和行程，再根据、两地相距判断；
分四种情况分析可求关于时刻的函数解析式．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了函数解析式的求解，联立两函数解析式求交点，理解并表示出时间是解题的关键．
 

25.【答案】解：一次函数的图象过点，
，
解得：．
证明：过点分别作垂直轴于点，垂直轴于点，
，
四边形是矩形，
，，．
，，，，
，，，，
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌，
．
，，
四边形是平行四边形．
存在；理由：设点坐标，
当≌时，四边形为正方形，
，
当点在第一象限时，即，．
点在直线上，
，
解得，
当点在第二象限时，
，
解得，
在直线上存在这样的点，使四边形为正方形，点坐标是或． 

【解析】根据待定系数法，可得的值；
根据矩形的判定与性质，可得与，与的关系，根据，，，，可得与，与，与，与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得与，与的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
根据正方形的判定与性质，可得与的关系，与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得与的关系，可得点坐标间的关系，可得答案．
本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质．