2021-2022学年广东省广州市白云区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州市白云区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列函数中，是正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. (    )

A.  B.  C.  D.

3. 关于函数，的图象，下列说法正确的是(    )

A. 这两个函数的图象均与轴交于
B. 这两个函数的图象均与轴交于
C. 这两个函数的图象均与轴交于
D. 这两个函数的图象均与轴交于

4. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下部分展开后，得到的图形是(    )

A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形

5. 在一次青年歌手演唱比赛中，评分办法采用位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉最低分、最高分后的平均数．已知位评委给某位歌手的打分是、、、、、、、、、，则这位歌手的最后得分是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处，则木杆折断之前的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

8. 已知一次函数的图象经过点，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列各曲线中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 下列命题的逆命题中，是假命题的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的四边形是矩形

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 比较大小： ______
12. 在平面直角坐标系中，有两点和，则，两点间的距离为______．
13. 如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆，，则阴影部分的面积是______．

14. 把，两组数据分别画成下面的图和图，比较这两幅图，可以看出，______组数据的方差较大，______组数据的波动较小．

15. 函数的图象，可以看作由直线向______平移______个单位长度而得到．
16. 如图，在正方形中，点是直线上一点不含、两点，，且交正方形外角的平分线于点下列说法正确的是______填序号
    若点是的中点，则；
    若点是边上的任意一点中点除外，则；
    若点是延长线上任意一点，则；
    若点是反向延长线上任意一点，则．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. ．
19. 如图，▱的对角线，相交于点已知，分别是，的三等分点，其中，求证：．

20. 当自变量满足什么条件时，的函数值不小于的函数值？
21. ，，是正整数是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
    如果，，是一组勾股数，那么，，是正整数也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
22. 如表是校女子排球队队员的年龄分布．

该校女子排球队队员年龄的中位数是______，众数是______；
求该校女子排球队队员的平均年龄约为多少岁？结果保留到整数．

23. 在数轴上分别作出表示和的点．要求：用尺规作图，保留作图痕迹．不要求写作法．
24. 如图，一次函数的图象上，两点，点在第一象限，点在轴上．点在轴正半轴上，点的坐标为，四边形为菱形．
    求的值；
    求的面积；
    设点是直线上一动点，且，求点的坐标．

25. 在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边，其中，，按逆时针方向排列．
    如图，当点在线段上，点在菱形外部时，连接求证：；
    观察图，图，请直接写出当点在射线上运动时，点的运动路径是什么？
    如图，当在菱形外侧时，连接，，点为的中点．请探索和之间有怎样数量关系？写出猜想，并证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，不是正比例函数，不合题意；
B、是正比例函数，符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、是二次函数，不符合题意；
故选：．
根据正比例函数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接根据二次根式的性质进行化简即可．
此题考查的二次根式的性质与化简，化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数或因式都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，这两个函数的值均为，即．
这两个函数图象均与轴交于．
选项A正确，选项D错误．
当时，这两个函数对应的的值分别为：，．
这两个函数图象与轴的交点坐标分别为，．
选项B、均错误．
故选：．
分别求出两个函数与轴，轴的交点坐标，然后对各选项进行判断即可．
本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，一次函数与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形，
故选：．
根据菱形的判定解答即可．
本题主要考查了剪纸问题，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：去掉最低分、最高分后，
这位歌手的最后得分是．
故选：．
根据算术平均数的概念计算可得．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的概念．
 

6.【答案】 

【解析】解：一棵垂直于地面的大树在离地面处折断，树的顶端落在离树杆底部处，
折断的部分长为：，
折断前高度为米．
故选：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
这个三角形是等腰直角三角形．
故选：．
验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可利用勾股定理逆定理判定此三角形是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大．
一次函数的图象经过点，，，且，，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，故A不符合题意；
B、对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，故B不符合题意；
C、对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，故C符合题意；
D、对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念：对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握据函数的概念是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、逆命题为矩形的对角线相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为矩形的对角线互相平分，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为矩形的对角线互相垂直，错误，是假命题，符合题意；
D、逆命题为矩形有一个角是直角，正确，是真命题，不符合题意；
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据两个正数比较大小，绝对值大的数大进行比较即可．
本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；、绝对值法：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
 

12.【答案】 

【解析】解：点，，，
，，
，
故答案为：．
由点的坐标求解，的长，再根据勾股定理即可求解的长．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是直角三角形，
，
以等腰的边、、为直径画半圆，
，，，
，
所得两个月型图案和的面积之和图中阴影部分的面积；
故答案为：．
根据勾股定理得出，进而得出半圆面积解答即可．
此题考查扇形的面积，三角形的面积等知识，关键是根据图中阴影部分的面积解答．
 

14.【答案】   

【解析】解：比较这两幅图，可以看出，组数据的方差较大，组数据的波动较小．
故答案为：；．
根据方差的意义解答即可．
本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

15.【答案】上   

【解析】解：函数的图象是由直线向上平移个单位长度得到的．
故答案为：上，．
根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，在上一点，使得，

，
，
平分，，
，
，
，，
，
点是的中点，，，
，
≌，
．
如图，在上截取，

，
，
由知，同理可证≌，
．
如图，在延长线上取点，使得，

，
，
，
由知，同理可证≌，
．

在延长线上截取，连接．

四边形是正方形，
，．
又，
．
，，为正方形外角平分线．
．
，．
，，
．
在和中，
，
≌，
．
故答案为：．
作，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
在上截取，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
在延长线上取点，使得，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
在延长线上截取，连接≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用完全平方公式以及利用二次根式的性质求出即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．
 

19.【答案】证明：连接，，

四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的三等分点，其中，．
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由▱的对角线，交于点，易证得，，又由，分别是，的三等分点，其中，，可证得，进而可证得四边形是平行四边形，即可证明结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

20.【答案】解：的函数值不小于的函数值，
，
解得，
故当时，的函数值不小于的函数值． 

【解析】根据题意得到，解不等式即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，是正整数是一组勾股数，理由如下：
是正整数，
，，都是正整数，
，
，，是正整数是一组勾股数；
，，是正整数是一组勾股数，理由如下：
，，是一组勾股数，且是正整数，
，，是三个正整数，
，
，
，，是正整数是一组勾股数． 

【解析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可判断，，是正整数是不是一组勾股数；
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可判断，，是正整数是不是一组勾股数．
本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．
 

22.【答案】岁  岁 

【解析】解：这名队员的年龄．从小到大排列，排在中间的数都是，故中位数为岁，
岁出现次数最多，故众数为岁，
故答案为：岁，岁．
该校女子排球队队员的平均年龄是岁，
利用中位数和众数的定义求解即可．
根据加权平均数的计算公式把所有人的年龄数加起来，再除以总人数即可．
本题考查中位数和众数以及平均数的计算，正确理解中位数和众数以及平均数的意义是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示：点即为，
；
如图所示：点即为，
， 

【解析】利用数轴结合勾股定理分别得出表示和的点．
此题主要考查了勾股定理，正确利用勾股定理得出各边长是解题关键．
 

24.【答案】解：由菱形的性质可知，点的坐标为，，
把点代入得，
，
解得；
由得一次函数的关系式为，
当时，，
点，
即，
，
；
设点，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或． 

【解析】根据菱形的对称性可求出点的坐标，进而求出的值；
求出直线的关系式，得出直线与轴交点的坐标，进而得出三角形的底的长，再根据面积公式进行计算即可；
设出点的坐标，利用三角形的面积公式列方程求解即可．
本题考查因一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，掌握菱形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，交于点，

菱形，，
和都是等边三角形，，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，
；
解：，，
，
点在过点且垂直的射线上运动，
点的运动路径是过点且垂直的射线；
解：，理由如下：
如图，延长至，使，连接，

点为的中点，
，
又，，
≌，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，可得结论；
由题意可证，可得点的运动路径是过点且垂直的射线；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，可得结论．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．