高中第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质课后作业题

第2课时　函数的最大(小)值

基础过关练

　题组一　函数的单调性与最大(小)值

1.f(x)是定义在[-2,2]上的函数,其图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是(　　)

A.f(-2),0　　　　　　B.0,2

C.f(-2),2　　　　　　D.f(2),2

2.函数f(x)=-2x在区间[1,2]上的最小值是(　　)

A.-　　　　　B.　　　　　C.1　　　　　D.-1

3.(2022北京师范大学附属实验中学期中)函数f(x)=-x2+2x+1在[-1,2]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 

4.已知函数f(x)=|x|(x+1).

(1)画出函数f(x)的图象,并写出其单调递增区间;

(2)求函数f(x)在区间上的最大值.

题组二　函数最大(小)值的应用

5.(2021山东淄博期中)若函数f(x)=x2+(m+1)x+3在区间(3,5)内存在最小值,则m的取值范围是(　　)

A.(5,9)　　　　　　B.(-11,-7)

C.[5,9]　　　　　　D.[-11,-7]

6.(2022河北张家口期中)若不等式x2+ax-1≤0对于一切x∈[1,4]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.　　　　　　B.

C.{a|a>0}　　　　　　D.

7.已知函数f(x)=-x2+4x+m,若∃x∈[0,1],f(x)=0,则m的取值范围是(　　)

A.[-4,+∞)　　　　　　B.[-3,+∞)

C.[-3,0]　　　　　　D.[-4,0]

8.(2022辽宁沈阳郊联体期中)已知函数f(x)=若f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则a+b的取值范围为　　　　. 

9.已知函数f(x)=,x∈[3,5].

(1)判断函数f(x)的单调性并证明;

(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;

(3)若不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.

能力提升练

　题组一　求函数的最大(小)值

1.(2020河北承德一中月考)函数f(x)=2x-的最小值为(　　)

A.-　　　　　B.-2　　　　　C.-　　　　　D.-

2.已知函数f(x)=,g(x)=x+(x>0),则y=f(g(x))的值域为(　　)

A.(-∞,2)∪(2,+∞)　　　　　　B.[5,+∞)

C.(2,+∞)　　　　　　D.(2,5]

3.函数f(x)=在区间[1,3]上的最大值、最小值分别为(　　)

A.,0　　　　　　B.,0

C.,无最小值　　　　　　D.,无最小值

4.若函数f(x)=|x-2|-|x+1|的最大值为m,最小值为n,则m+n=　　　　. 

5.(2022河北师大附中期中)记实数x1,x2,…,xn中的最小数为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-x+1,-x+6},则函数f(x)的最大值为　　　　. 

6.(2022天津南开中学期中)函数f(x)=(x-2)|x+a|(a∈R).

(1)当a=1时,

(i)求函数f(x)的单调区间;

(ii)求函数f(x)在区间[-4,1]上的值域;

(2)当x∈[-3,3]时,记函数f(x)的最大值为g(a),求g(a)的表达式.

题组二　函数最大(小)值的应用

7.已知函数f(x)=2x2-1,g(x)=ax,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},若M(x)的最小值为-,则实数a的值为(　　)

A.0　　　　　B.±1　　　　　C.±　　　　　D.±2

8.若f(x)=

对任意的x∈[m,+∞),都有f(x)≥-4,则m的最小值是(　　)

A.-4　　　　　B.-6　　　　　C.-　　　　　D.-

9.(多选)(2022湖北襄阳期中)若函数f(x)=x|x-a|在[0,2]上的最大值为2,则a的值可以为(　　)

A.1　　　　　　B.3

C.2　　　　　　D.4-4

10.(2022山东济宁第一中学期中)函数f(x)=ax2-2 020x+2 021(a>0),在区间[t-1,t+1](t∈R)上函数f(x)的最大值为M,最小值为N.若M-N的最小值为2,则a=　　　　. 

11.已知函数f(x)=

(1)当a=1时, 求f(x)的最小值;

(2)若f(x)≥a2恒成立,求a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题图可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.

2.A　易知函数f(x)=-2x在[1,2]上是减函数,

所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=-4=-.故选A.

3.答案　2;-2

解析　f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,故函数f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,

又f(-1)=-2,f(1)=2,f(2)=1,

所以f(x)max=2,f(x)min=-2.

4.解析　(1)f(x)=|x|(x+1)=其图象如下:

f(x)的单调递增区间为和[0,+∞).

(2)由(1)中图象可知,函数y=f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又f=, f=,

所以f(x)在区间上的最大值为.

5.B　由题意可得3<-<5,解得-11<m<-7.故选B.

6.D　若x2+ax-1≤0对于一切x∈[1,4]恒成立,

则a≤=-x在x∈[1,4]上恒成立.

设f(x)=-x,x∈[1,4],易知f(x)为减函数,

所以f(x)min=f(4)=-,所以a≤-.故选D.

7.C　∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m, f(x)min=f(0)=m,即函数f(x)在[0,1]上的值域为[m,m+3].

由方程f(x)=0在x∈[0,1]上有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+3≥0,解得-3≤m≤0.故选C.

8.答案　[8,12]

解析　当0≤x≤4时, f(x)=,为增函数,则0≤f(x)≤2,

当x>4时,f(x)=-x+6,为减函数,则f(x)<2.

因为f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2],

所以0≤a≤4, f(b)=-b+6=-2,即b=8,

故8≤a+b≤12.

9.解析　(1)f(x)在[3,5]上为增函数.

证明:任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=-=.

∵3≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在[3,5]上为增函数.

(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.

由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,

∴f(x)min=f(3)=,

∴>a,即a<,

故实数a的取值范围是.

(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知f(x)max>a.

由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,

∴f(x)max=f(5)=,∴>a,即a<,

故实数a的取值范围是.

能力提升练

1.A　设t=,则x=t2-1(t≥0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥0).易知函数g(t)=2t2-t-2在上单调递减,在上单调递增,

∴f(x)min=g(t)min=g=-,故选A.

2.D　易知g(x)=x+(x>0)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(1)=2,即g(x)∈[2,+∞).

f(x)==2+在(-∞,1),(1,+∞)上单调递减,

令t=g(x),则t≥2,则y=f(t)在[2,+∞)上为减函数,∴f(t)∈(2,5].故选D.

解题模板　求形如y=f(g(x))的值域时,通常把g(x)的值域看作f(x)的定义域,利用换元的方法,结合函数的图象、单调性求解.

3.A　在区间[1,3]上,函数f(x)===,

令t=x-(1≤x≤3),易知t=x-在x∈[1,3]上单调递增,因此t∈.

令y=,t∈.

当0<t≤时,y>0,且y==≤=当且仅当t=,即t=时,取等号,

当t=0时,y==0.故选A.

4.答案　0

解析　当x<-1时, f(x)=-x+2+x+1=3,

当-1≤x≤2时, f(x)=-x+2-x-1=-2x+1,

此时f(x)min=f(2)=-3, f(x)max=f(-1)=3,

当x>2时, f(x)=x-2-x-1=-3.

综上, f(x)的最大值m=3,最小值n=-3,所以m+n=0.

5.答案　

解析　画出函数f(x)的图象,如图中实线部分所示.

由图可知, f(x)的最大值为.

6.解析　(1)当a=1时,f(x)=(x-2)|x+1|.

(i)若x≤-1,则f(x)=(x-2)(-x-1)=-x2+x+2,

易知f(x)在(-∞,-1]上单调递增;

若x>-1,则f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2,

易知f(x)在上单调递减,在上单调递增.

综上所述, f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],;单调递减区间为.

(ii)由(i)可得f(x)在[-4,-1],上单调递增,在上单调递减,

∴f(x)min=min,f(x)max=max{f(-1),f(1)}.

∵f(-4)=-18, f=-, f(-1)=0, f(1)=-2,

∴f(x)min=-18,f(x)max=0,

∴f(x)在[-4,1]上的值域为[-18,0].

(2)f(x)=

①当-a≥3,即a≤-3时, 若x∈[-3,3],则f(x)=-x2+(2-a)x+2a,易知y=-x2+(2-a)x+2a的图象开口向下,对称轴为直线x=.易知≥.

当≥3,即a≤-4时,f(x)在[-3,3]上单调递增,∴g(a)=f(3)=-a-3;

当≤<3,即-4<a≤-3时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,

∴g(a)=f=.

②当-a≤2,即a≥-2时,若x∈[-3,2],则f(x)≤0;若x∈(2,3],则f(x)>0.

当x∈(2,3]时,f(x)=x2+(a-2)x-2a,易知y=x2+(a-2)x+2a的图象的对称轴为直线x=,又≤2,

∴f(x)在(2,3]上单调递增,∴g(a)=f(3)=a+3.

③当2<-a<3,即-3<a<-2时,

f(x)在,[-a,3]上单调递增,在上单调递减,

∴g(a)=max=maxa+3,,

若a+3≥,即-2≤a<-2,则g(a)=a+3;

若a+3<,即-3<a<-2,则g(a)=.

综上所述,g(a)=

导师点睛　解决含有绝对值的函数问题,常利用绝对值的定义对自变量的取值范围进行分类讨论,含参数的函数问题,要对参数进行分类讨论,本题(1)中对自变量分x≤-1和x>-1两种情况讨论;(2)中对参数分-a≥3、-a≤2、2<-a<3三种情况讨论,结合二次函数图象的对称轴与区间的相对位置可确定最大值,由此得到g(a).

7.B　当a>0时,画出函数f(x)=2x2-1,g(x)=ax的大致图象,如图,

则M(x)=max{f(x),g(x)}在两函数图象的交点A处取得最小值-.

令2x2-1=-,得x=±,故A,代入g(x)=ax,得-=-a,解得a=1.

同理可得当a<0时,a=-1.

故a=±1.故选B.

8.D　作出y=f(x)的部分图象,如图所示.易得当x∈(-6,-5)时,f(x)=8(x+5),令f(x)=-4,解得x=-.结合f(x)的图象可得,若对任意的x∈[m,+∞),都有f(x)≥-4,则m≥-,即m的最小值是-.故选D.

9.AC　若a≤0,则f(x)在[0,2]上单调递增,

f(x)max=f(2)=2|2-a|=2,解得a=1(舍去)或a=3(舍去).

若a>0,则f(x)=

当>2,即a>4时, f(x)在[0,2]上单调递增,

f(x)max=f(2)=-2(2-a)=2,解得a=3(舍去).

当x>a时,令f(x)=f,即x(x-a)=-·=,

解得x=.

当≤2≤,即4(-1)≤a≤4时,

f(x)max=f==2,解得a=2(负值舍去).

当2>,即a<4(-1)时,

f(x)max=f(2)=2(2-a)=2,解得a=1.

故选AC.

10.答案　2

解析　函数f(x)=ax2-2 020x+2 021(a>0)的图象的对称轴为直线x=,区间[t-1,t+1]的长度为2,

要使M-N最小,t-1与t+1必关于对称轴对称,

所以t=,①

则f(t+1)-f(t)=a(t+1)2-2 020(t+1)+2 021-at2+2 020t-2 021=2at+a-2 020=2,②

联立①②,消去t得2×1 010+a-2 020=2,∴a=2.

11.解析　(1)当a=1时,若x≤0,则f(x)=(x-1)2≥1,若x>0,则f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.所以f(x)的最小值为1.

(2)当x≤0时, f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立,所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0.

当x>0时, f(x)≥a2,即x+≥a2恒成立,因为x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,所以a2≤2,所以-≤a≤.

综上所述,a的取值范围是[0,].