高中数学上教版（2020）必修 第二册第7章 三角函数7.1 正弦函数的图像与性质课后测评

【学生版】

7.1.1  正弦函数的图像

【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；

1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）

①函数y＝sin x的图像与y轴只有一个交点；（    ）

②函数y＝sin x的图像介于直线y＝1与y＝－1之间；（    ）

③用五点法作函数y＝－2sin x在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0) ；（    ）

④正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称；（    ）

⑤将函数y＝sin x，x∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|，x∈[－π，π]的图像；（    ）√

【提示】；

【答案】；

【解析】；

【说明】；

2、关于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是（    ）

A．关于原点对称  B．有最大值1   C．与y轴有一个交点    D．关于y轴对称

【提示】；

【答案】；

【解析】；

【说明】；

3、下列函数图像相同的是（    ）

A．y＝sin x与y＝sin(x＋π)          B．y＝sin与y＝sin

C．y＝sin x与y＝sin(－x)           D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x

【提示】；

【答案】；

【解析】；.

【说明】；

4、函数y＝sin x的图像与函数y＝－sin x的图像关于(　　)

A．x轴对称    B．y轴对称    C．原点对称    D．直线y＝x对称

【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；

5、请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像时的列表.

①________；②________；③________.

6、已知正弦函数过点，则m的值为                  

7、用“五点法”作三角函数的图像：在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－sinx－1的简图；

8、用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：

（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间：①y>1；②y<1：

（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；

（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值；

【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。

9、方程sin x＝lg x的实根个数有（    ）

A．1个     B．2个    C．3个     D．无穷多个

10、函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图像与直线y＝k的交点个数最多为           (个)

11、利用正弦曲线，求满足的的集合；

12、作出函数的图像．

【教师版】

7.1.1  正弦函数的图像

【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；

1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）

①函数y＝sin x的图像与y轴只有一个交点；（    ）

②函数y＝sin x的图像介于直线y＝1与y＝－1之间；（    ）

③用五点法作函数y＝－2sin x在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0) ；（    ）

④正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称；（    ）

⑤将函数y＝sin x，x∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|，x∈[－π，π]的图像；（    ）√

【提示】注意：“五点法”画草图的方法与图像特征；

【答案】①√；②√；③√；④×；⑤√；

【解析】对于①；由观察正弦函数的图像知y＝sin x的图像与y轴只有一个交点；所以，①是真命题；

对于②；观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y＝1与y＝－1之间；所以，②是真命题；

对于③；在函数y＝－2sin x，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)；所以，③是真命题；

对于④；结合图像；所以，④是假命题；

对于⑤；当x∈[－π，π]时，y＝|sin x|＝于是，将函数y＝sin x，x∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像翻折到x轴上方即可得函数y＝|sin x|，x∈[－π，π]的图像；所以，⑤是真命题；

【说明】本题考查了正弦函数图像的画法与图像特征，并与图像对称进行了简单的交汇；

2、关于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是（    ）

A．关于原点对称  B．有最大值1   C．与y轴有一个交点    D．关于y轴对称

【提示】“五点法”画出草图，据图判断；

【答案】D；

【解析】正弦函数y＝sin x的图像如图所示．

根据y＝sin x，x∈R的图像可知A，B，C均正确，D错误．

【说明】本题考查了正弦函数的图像与数形结合的解题思路；

3、下列函数图像相同的是（    ）

A．y＝sin x与y＝sin(x＋π)          B．y＝sin与y＝sin

C．y＝sin x与y＝sin(－x)           D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x

【提示】注意与诱导公式的结合；

【答案】D；

【解析】对A，由于y＝sin(x＋π)＝－sin x，故排除A；对B，由于y＝sin＝－sin，故排除B；对C，由于y＝sin(－x)＝－sin x，故排除C；对D，由于y＝sin(2π＋x)＝sin x，故选D.

【说明】本题考查了诱导公式、判断函数相等与正弦函数图像的交汇；

4、函数y＝sin x的图像与函数y＝－sin x的图像关于(　　)

A．x轴对称    B．y轴对称    C．原点对称    D．直线y＝x对称

【提示】注意：数形结合解题；

【答案】A；

【解析】在同一直角坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x在[0，2π]上的图像，

可知两函数的图像关于x轴对称．

【说明】本题考查了正弦函数图像的画法与图像变换；当然，也可以尝试根据解析式判断对称性，建议：不妨一试；

【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；

5、请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像时的列表.

①________；②________；③________.

【提示】注意：理解“五点法”；

【答案】①π；②0；③1；

【说明】在要求不高的前提下，利用“五点法”画正弦函数的草图并据图解题也是非常奏效滴；

6、已知正弦函数过点，则m的值为                  

【提示】注意：函数解析式与对应图像的“一一对应”；

【答案】；

【解析】由题意知m＝sin＝；

【说明】本题考查了函数图像上点的坐标适合解析式；

7、用“五点法”作三角函数的图像：在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－sinx－1的简图；

【提示】理解：“五点法”及其操作过程；

【解析】①列表：

②描点并用光滑曲线连接可得其图像如图所示．

【说明】方法归纳：作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图像的三个步骤；列表、描点、连线；

8、用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：

（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间：①y>1；②y<1：

（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；

（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值；

【提示】注意：“五点法”与利用函数图像的进行解题；

【解析】按五个关键点列表如下：

描点连线得：

（1）由图像可知：①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1；

（2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，

所以，a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)；

（3）由图像可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝；

【说明】1、解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，作出图像；2、点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保证光滑，注意凸凹方向；3、仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值、最小值点，进而正确解答问题；

【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。

9、方程sin x＝lg x的实根个数有（    ）

A．1个     B．2个    C．3个     D．无穷多个

【提示】注意：审题“实根个数”；

【答案】C；

【解析】在同一直角坐标系中作出函数y＝sin x与y＝lgx的图像；

由图中可以看出两函数图像有三个交点(xi，yi)，

其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)是方程sin x＝lg x的解；

【说明】本题考查了正弦函数与对数函数的图像；以及利用函数图像数形结合解题直、简捷；

特别提醒：本题在画y＝lg x的图像时，如果只作了草图，则很可能因无法找准临界点的坐标而导致出错；同时，得到一法：有些方程从正面直接求解较困难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图像，利用数形结合求解；

10、函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图像与直线y＝k的交点个数最多为           (个)

【提示】注意：正确画出已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|的图像；

【答案】4；

【解析】由已知，化简，得：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝

在同一坐标系内分别作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，

当k>3或k<0时，两图像无交点；

当k＝3时，两图像有1个交点；

当1<k<3时，两图像有2个交点；

当k＝1或k＝0时，两图像有3个交点；

当0<k<1时，两图像有4个交点；

【说明】对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解，这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握；

11、利用正弦曲线，求满足的的集合；

【提示】注意：借助正弦曲线，数形结合借之；

【答案】

【解析】首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象；

如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，

可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；

作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.

观察图象可知，在[0，2π]上，当<x≤，或≤x<时，不等式<sin x≤成立．

所以<sin x≤的解集为：；

【说明】用正弦曲线解三角不等式：如：sin x≥a的步骤：

1、作函数y=sin x的图像；2、作直线y=a；3、取sin x≥a的x的取值；4、根据题设要求回答；

12、作出函数的图像．

【提示】注意：先定义域再等价化简；

【解析】由得，且，即，

此时有，即；

其图像如下图所示．

【说明】本题主要考查了三角函数的等价转化；特别注意：不要忽视函数定义域；